सकारात्मक सामयिक आदेश

Question

मान लीजिए कि मेरे पास एक सीधा चक्रीय ग्राफ है, जिसके निचले सिरे पर वास्तविक संख्या के वजन हैं। मैं डीएजी का एक टोपोलॉजिकल ऑर्डर ढूंढना चाहता हूं, जिसमें टॉपोलॉजिकल ऑर्डरिंग के प्रत्येक उपसर्ग के लिए, वेट का योग गैर-ऋणात्मक हो। या यदि आप ऑर्डर-थ्योरैटिक शब्दावली पसंद करते हैं, तो मेरे पास एक भारित आंशिक ऑर्डर है और मैं एक रैखिक विस्तार चाहता हूं जैसे कि प्रत्येक उपसर्ग का गैर-नकारात्मक वजन हो। इस समस्या के बारे में क्या ज्ञात है? क्या यह एनपी-पूर्ण या बहुपद समय में हल है?

Comments

इस ग्राफ पर लालची एल्गोरिथ्म आज़माएं: 1 -> 2 -> 3, 1 -> 4 -> 5, शीर्ष भार 1: +2, 2: -2, 3: +3, 4: -1 है , 5: -2। लालची एल्गोरिथ्म v1 से शुरू होता है, फिर v4 चुनें, और फिर अटक जाते हैं। सही क्रम v1, v2, v3, v4, v5 है।

— रोबिन कोठारी

"कुछ फ़्रेचेट दूरी की समस्याएं जेफ़ई और अन्य देख रहे हैं" - अच्छा अमूर्त! दूसरों के लाभ के लिए, यहां एक संस्करण है: मान लीजिए कि आपको एक बढ़त-भारित विमान ग्राफ G दिया गया है, और दो कोने हैं और बाहरी चेहरा tn है। आप प्राथमिक चालों के एक क्रम से एक सीमा पथ को दूसरे में बदलना चाहते हैं। प्रत्येक चाल कुछ चेहरे की सीमा के साथ अपने सममित अंतर के साथ वर्तमान पथ को बदल देती है। हम कितनी जल्दी एमवी सीक्वेंस पा सकते हैं जो विकसित पथ की अधिकतम लंबाई को कम करता है?

— जेफ़

त्सुयोशी, इस बारे में क्षमा करें, मैंने टिप्पणी करते समय एक नई पंक्ति जोड़ने का प्रयास किया और इसने मेरी टिप्पणी को काट दिया। तो विचार यह है कि, आपकी कलाई के चारों ओर कसकर एक तार बंधा हुआ है और आप जानना चाहते हैं कि क्या आप इसे बंद कर सकते हैं। आपकी कलाई को बहुभुज जाल के रूप में दर्शाया गया है, जिनमें से कोशिकाएं एक आंशिक क्रम के तत्व हैं (पहले स्ट्रिंग के करीब, बाद में क्रम में बंद होने के करीब)। एक सेल का वजन इसकी आंतरिक और बाहरी सीमाओं के बीच की लंबाई में अंतर है।

— डेविड एप्पस्टीन

@ डेविड: स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद। इस बार मैं समझ सकता हूं कि यह वर्तमान प्रश्न से कैसे संबंधित है, और यह दिलचस्प है!

— त्सुयोशी इतो

एक नहीं-उपयोगी लेकिन मज़ेदार अवलोकन: यह समस्या एकल-मशीन अनुक्रमण समस्या के समय सीमा और पूर्ववर्ती बाधाओं के बराबर है जहां प्रत्येक कार्य का प्रसंस्करण समय नकारात्मक हो सकता है । गैर-प्रसंस्करण समय के साथ, यह समस्या पी (लॉलर और मूयर 1969 jstor.org/stable/2628367 ) में है, और यदि कोई समाधान मौजूद है, तो एक समाधान मौजूद है जो प्रसंस्करण समय से स्वतंत्र है। यह स्पष्ट रूप से टूट जाता है अगर कुछ नौकरियों में नकारात्मक प्रसंस्करण समय होता है।

— त्सुयोशी इतो

Answer 1

यह समस्या गैरी एंड जॉन्सन में समस्या [SS7] के लिए अधिकतम MAXIMUM CUMULATIVE COST, SEQUENCING TO MINIMIZE के समान प्रतीत होती है । अर्थात:

उदाहरण: सेट कार्यों में से, आंशिक आदेश पर , एक "लागत" से प्रत्येक के लिए (यदि है, यह एक "लाभ" के रूप में देखी जा सकती है) , और एक निरंतर ।≺ टी सी ( टी ) ∈ जेड टी ∈ टी सी ( टी ) < 0 कश्मीर ∈ $T$$\prec$$T$$c(t) \in Z$$t \in T$$c(t) < 0$$K \in Z$

प्रश्न: क्या एक एक प्रोसेसर अनुसूची है के लिए कि अनुसरण करता है पूर्वता की कमी और जो संपत्ति है, हर काम के लिए , सभी कार्यों के लिए लागत की राशि के साथ सबसे ?टी टी ∈ टी टी ' σ ( टी ' ) ≤ σ ( टी ) $\sigma$$T$$t \in T$$t'$$\sigma(t') \leq \sigma(t)$$K$

मैं अनिश्चित हूं कि क्या समस्या एनपी-पूर्ण बनी हुई है, जब 0. जी एंड जे के लिए तय हो गया है, तो यह उल्लेख करें कि समस्या एन-पूर्ण बनी हुई है अगर सभी लिए ।ग ( टी ) ∈ { - 1 , 0 , 1 } टी ∈ $K$$c(t) \in \{-1,0,1\}$$t \in T$

Comments

यह अच्छा लग रहा है। तो मुझे लगता है कि एक समय लग सकता है व्यापकता की हानि के बिना के साथ एक स्वेच्छापूर्ण कार्य जोड़ने अन्यथा, ग -value - कश्मीर (या कश्मीर की नौकरियों ग -value - 1 )। $K=0$$c$$-K$$K$$c$$-1$

— daveagp

@ मम: मैं संबंधित परिणामों पर एक तकनीकी रिपोर्ट पर काम कर रहा हूं और आपको उद्धृत करना चाहता हूं। क्या आप मुझे अपना असली नाम देंगे? यदि आप चाहें, तो आप इसे मुझे ईमेल कर सकते हैं, या बस

— अननोन रह सकते हैं

Answer 2

खैर, मेरा जवाब मेरा सवाल है, जिसमें से यह पता चला है कि यदि आप पी में इस समस्या को हल कर सकते हैं, तो आप एक और खुली समस्या को भी हल कर सकते हैं: सकारात्मक टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग, 3 लें

संपादित करें: यह समस्या भी एनपी-पूर्ण हो गई है, इसलिए आपकी समस्या एनपी-पूर्ण पहले से ही है यदि आपके डीएजी के केवल दो स्तर हैं, अर्थात यदि दो किनारों के साथ कोई निर्देशित पथ नहीं हैं।

Answer 3

यदि मैं समस्या को सही ढंग से समझता हूं, तो मुझे लगता है कि पूर्ति समय की भारित राशि को कम करने के लिए पूर्ववर्ती एकल मशीन समयबद्धन समस्या को विवश करती है (आपकी रुचि के लिए समस्या को कम किया जा सकता है। समस्या 1 में। prec। \ Sum wc हमारे पास n कार्य हैं, प्रत्येक एक गैर-नकारात्मक वजन और एक प्रसंस्करण समय के साथ, नौकरियों पर एक स्थिति है और हम नौकरियों का एक रैखिक विस्तार चाहते हैं जैसे कि नौकरियों का भारित योग पूरा होने का समय कम से कम। समस्याएं एनपी-पूर्ण हैं भले ही हम मानते हैं कि प्रत्येक नौकरी का प्रसंस्करण समय 1 के बराबर है। क्या इसका कोई मतलब है?

Comments

यह निश्चित रूप से एक दिलचस्प संभावना है। लेकिन आप इस तरह से कटौती कैसे करते हैं कि ऑप्टिमाइज़ेशन मानदंड (पूरा होने का समय कम से कम) बाधाओं (गैर-नकारात्मक उपसर्गों) में तब्दील हो जाता है?

— डेविड एप्पस्टीन

मुझे शेड्यूलिंग समस्या का यह एनपी-पूर्णता परिणाम नहीं पता है, लेकिन मुझे लगता है कि यह निर्णय लेने की निर्णय समस्या को संदर्भित करता है कि क्या कोई रेखीय विस्तार है जैसे कि नौकरी पूरा होने का भारित योग सबसे अधिक कश्मीर पर है, इसलिए मुझे नहीं लगता है एक अनुकूलन मानदंड और एक बाधा के बीच अंतर यहां महत्वपूर्ण है। हालांकि, मुझे समझ में नहीं आया है कि मौजूदा समस्या में समय पूरा होने के भारित योग पर बाधा का प्रतिनिधित्व कैसे करें ।

— त्सुयोशी इतो

मुझे लगता है कि शुरुआत में जितना मैंने सोचा था कि कमी उतनी आसान नहीं है। मुझे अब अपने उत्तर पर यकीन नहीं है।

— 19

मुझे अपनी पिछली टिप्पणी में केवल एक त्रुटि का एहसास हुआ है। जब मैंने इसे पोस्ट किया था, तो मैंने सोचा कि अनलमिटेड योग पर एक बाधा का प्रतिनिधित्व करना आसान था (इसलिए भारित पर जोर दिया गया था), लेकिन यह पूरी तरह से गलत था।

— त्सुयोशी इतो

Answer 4

क्या होगा अगर हम हमेशा कम से कम वजन के साथ अधिकतम तत्व (आंशिक क्रम में) लेते हैं। तत्वों को समाप्त करने के बाद, हम उन्हें आउटपुट के रूप में रिवर्स ऑर्डर में वापस करते हैं।

Comments

समस्या आंशिक आदेश को उलटने और सभी भार को नकारने के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है। इसलिए मैं यह नहीं देखता कि यह कैसे आगे-लालची एल्गोरिथ्म से अलग हो सकता है, रॉबिन के ने टिप्पणियों में एक प्रतिपक्ष दिया।

— डेविड एप्पस्टीन

लेकिन यह विधि उनके उदाहरण के लिए काम करती है: पहले, शीर्ष 5 को चुना जाएगा, फिर शीर्ष 4, फिर 3, 2, और अंत में 1. इसलिए अंतिम आदेश 1, 2, 3, 4, 5 होगा। वास्तव में, मैं डॉन यह नहीं लगता कि यह साबित करना कठिन है कि यह विधि काम करती है। मान लीजिए आपके पास एक समाधान है जिसमें अंतिम स्थिति में न्यूनतम वजन का अधिकतम तत्व (सिंक) नहीं है। फिर आप एक और समाधान पा सकते हैं जिसमें यह गुण है, बस इस तरह के तत्व की स्थिति को अंतिम में बदलकर, और बाकी के रूप में संरक्षित करना। जो बचा है उस पर इंडक्शन के द्वारा आगे बढ़ें, और आपको एक औपचारिक प्रमाण मिलता है।

— डैनियल मार्टिन

हाँ ... यह काम नहीं करता है ... 1 -> 2 -> 3, 1 -> 4 क्रमशः वजन 4, -7, 6, 3 के साथ।

— डैनियल मार्टिन

Answer 5

यह समस्या मुझे बहुत सारे निर्णय पेड़ों की याद दिलाती है। मैं इस प्रकार के समाधान पर विचार करूंगा, जो हमेशा सबसे आशाजनक मार्ग चुनने की कोशिश करता है, लेकिन पूरे उपसमूह को देखकर:

सिंक नोड्स से शुरू होकर, एक समय में एक स्तर, स्रोतों की ओर अपना काम करें। जब आप ऐसा करते हैं, तो हर बढ़त को एक वजन देते हैं। इस वजन को उस न्यूनतम राशि का प्रतिनिधित्व करना चाहिए जिसे आपको "भुगतान" करना होगा या आप नोड को किनारे से शुरू करने वाले सबग्राफ को ट्रेस करके "लाभ" करेंगे। मान लीजिए कि हम स्तर I + 1 पर हैं और हम स्तर i तक बढ़ रहे हैं। यह वह है जो मैं एक स्तर के नोड की ओर इशारा करते हुए बढ़त के लिए एक वजन असाइन करने के लिए करूंगा:

1. किनारे_वेट = इंगित_नोड_वेट।
2. अधिकतम वजन के साथ "पॉइंटिंग नोड" से शुरू होने वाले किनारे का पता लगाएं। इस वज़न को अगले_ वेज_वेट होने दें।
3. edge_weight + = next_edge_weight

फिर, निम्नानुसार ऑर्डर बनाएं:

1. बता दें कि S, फ्रंटियर यानी अगले से चुनने के लिए नोड्स का सेट है।
2. नोड का चयन करें ताकि (नोड_वेट + मैक्सिमम_वेट) अधिकतम हो।
3. ग्राफ से नोड निकालें और एस में नोड के "बच्चों" को जोड़ें।
4. यदि ग्राफ़ खाली नहीं है, तो चरण 1 पर जाएं।
5. हॉल्ट।

यह विचार उन सबग्राफ्स को ट्रेस करने के लिए है जो पहले जितना संभव हो उतना लाभ देंगे, ताकि बाद में नकारात्मक वजन वाले सबग्राफ की लागत को वहन करने में सक्षम हो सकें।