एक ग्राफ पैरामीटर संभवतः ट्रेविद से संबंधित है

Question

मैं पर रेखांकन में रुचि रखता हूं $n$जिसे निम्नलिखित प्रक्रिया के माध्यम से उत्पादित किया जा सकता है।

1. एक मनमाना ग्राफ के साथ शुरू करो $G$ पर $k\le n$ कोने। सभी कोने $G$को अप्रयुक्त के रूप में लेबल करें ।
2. एक नया ग्राफ उत्पादन $G'$ नया शीर्ष जोड़कर $v$ है, जो एक या अधिक से जुड़ा है अप्रयुक्त में कोने $G$ , और किसी भी से जुड़ा नहीं है प्रयुक्त में कोने $G$ । लेबल $v$ को अप्रयुक्त के रूप में ।
3. में कोने की लेबल एक $G'$ जो करने के लिए $v$ के रूप में जुड़ा हुआ है इस्तेमाल किया ।
4. सेट $G$ को $G'$ और जब तक चरण 2 से दोहराने $G$ शामिल हैं $n$ कोने।

ऐसे रेखांकन को "जटिलता के रेखांकन $k$ " (अस्पष्ट शब्दावली के लिए क्षमा याचना) कहें। उदाहरण के लिए, यदि $G$ जटिलता 1 का ग्राफ है, $G$ एक पथ है।

मैं जानना चाहूंगा कि क्या इस प्रक्रिया का पहले अध्ययन किया गया है। विशेष रूप से, मनमाना के लिए $k$ , यह एन पी-सम्पूर्ण निर्धारित करने के लिए एक ग्राफ जटिलता है कि क्या है $k$ ?

यह समस्या कुछ हद तक है कि क्या के सवाल के समान प्रतीत होता है $G$ एक है आंशिक $k$ पेड़ , अर्थात् है treewidth $k$ । यह ज्ञात है कि यह निर्धारित करता है कि $G$ पास ट्रेविदथ $k$ एनपी-पूर्ण है या नहीं। हालांकि, कुछ ग्राफ़ (सितारों, उदाहरण के लिए) में यहां चर्चा की गई जटिलता के माप की तुलना में बहुत कम छोटे हो सकते हैं।

4 अक्टूबर 2012: एक सप्ताह के बाद कोई निर्णायक जवाब नहीं होने के बाद भी MathOverflow में क्रॉस-पोस्ट किया गया (हालांकि कारण प्रवाह के बारे में जानकारी के लिए धन्यवाद)।

Answer 1

हालाँकि हमने इस बारे में पहले व्यक्ति से बात की है, मैं इसे इस उम्मीद में जोड़ूंगा कि यह किसी और को पूर्ण उत्तर प्रदान करने की अनुमति देगा।

वर्टिकल जोड़ने की आपकी प्रक्रिया में, एक आंशिक फ़ंक्शन को प्रत्येक वर्टेक्स v से परिभाषित किया जाता है, जिसका उपयोग उस वर्टेक्स में किया जाता है, जिसे तब जोड़ा जाता था जब v का उपयोग किया जाता था। तब यह पता चलता है कि एफ एक (कारण) प्रवाह फ़ंक्शन (पृष्ठ 39) है, जो एक पथ कवर का प्रतिबंधित संस्करण है। वास्तव में, "जटिलता k " के इन रेखांकन का वर्णन (ऐसे शीर्षकों का एक सेट दिया गया है, जो शुरू में अप्रयुक्त कोने हैं, और अंतिम अप्रयुक्त कोने) एक कारण प्रवाह (पी) के साथ "ज्यामिति" का तारा अपघटन है। उपरोक्त लेख के ४६)।$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

हालांकि इन "कारण प्रवाह" का अध्ययन मुख्य रूप से (माप-आधारित) क्वांटम कम्प्यूटेशन के संदर्भ में किया गया है - जहां वे एकात्मक सर्किटों की कुछ संरचनाओं से प्रेरित हैं - उनके बारे में ग्राफ-प्रमेय परिणाम हैं जो क्वांटम गणना से पूरी तरह से तलाकशुदा हैं:

विशिष्टता सापेक्ष अंतिमबिंदुओं : "जटिलता के साथ रेखांकन  " ठीक उन जिसके लिए वहाँ मौजूद हैं (संभवतः अन्तर्विभाजक) सेट कर रहे हैं एस , टी ⊆ वी ( जी ) , आकार के दोनों कश्मीर , ऐसी है कि जी आकार के ठीक एक पथ आवरण है कश्मीर जिसका पथ S में शुरूऔर T में अंत।$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

$n$$k$$kn - \binom{k+1}{2}$

इन परिणामों का उपयोग करना, और सेट एक उम्मीदवार की जोड़ी को निर्धारित करना, यह निर्धारित करना कि वे इस तरह से एक अद्वितीय पथ कवर को "सबटेंड" करते हैं या नहीं, यह समय में निर्धारित किया जा सकता है ; लेकिन यह पता लगाना कि एंडपॉइंट के ऐसे सेट मौजूद हैं या नहीं, यह स्पष्ट कठिनाई है, और ऊपर का चरम परिणाम (जो केवल एक आवश्यक शर्त है) इस तरह के सेट मौजूद हैं या नहीं यह निर्धारित करने के लिए कुशल मानदंडों में कला की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है।ओ ( के 2 एन $S,T$$O(k^2 n)$

Answer 2

जटिलता सभी ग्राफ़ में अधिकांश पर पथ-चौड़ाई है । प्रत्येक चरण में अप्रयुक्त नोड्स का सेट एक विभाजक है जो पहले से निर्मित लोगों से उपयोग किए गए नोड्स को अलग करता है। इसलिए हर कदम पर, जब आप एक वर्टेक्स जोड़ते हैं, तो आप एक बैग बना सकते हैं जिसमें वर्टेक्स प्लस सभी अप्रयुक्त कोने होते हैं और पथ अपघटन के अंत में बैग को कनेक्ट करते हैं। यह एक मान्य पथ अपघटन होगा।$k$$k$

बिंदु 3 और 2 में "कौन सा जुड़ा हुआ है" के कारण पथ-चौड़ाई से बहुत छोटी हो सकती है । मुझे यह तय करने के बारे में निश्चित नहीं है कि क्या एक जटिलता , लेकिन जैसा कि निएल कहते हैं, आकार का एक पथ कवर होना चाहिए, लेकिन न केवल एक पथ कवर, पथ को प्रेरित करना होगा। और रास्ते को हम इन जिग-जैग पैटर्न से जोड़ सकते हैं। हम समय में एक इष्टतम पथ अपघटन की गणना कर सकते हैं, फिर हम इस अपघटन का उपयोग इन के विभिन्न खंडों पर नज़र रखते हुए गतिशील प्रोग्रामिंग करने के लिए कर सकते हैं।कश्मीर जी कश्मीर च ( कश्मीर ) ⋅ पी ओ एल y ( एन ) $v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$पथ, वे किस पथ से संबंधित हैं और उसी पथ से संबंधित खंडों का क्रम। और अलग-अलग रास्तों से संबंधित प्रत्येक जोड़े के लिए हमें केवल जिग-ज़ैग का पहला और आखिरी रास्ता जानना होगा।

इसलिए मुझे लगता है कि हम तय कर सकते हैं कि क्या ग्राफ में समय में जटिलता है ।च ( कश्मीर ) ⋅ पी ओ एल y ( एन $k$$f(k) \cdot poly(n)$