सबमॉड्यूलरिटी की मजबूती

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एक सेट समारोह एक लय submodular है अगर सभी के लिए , $f$ $A,B$

f (A) + f (B) \geq f (A \cup B) + f (A \cap B) .

$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$

एक मजबूत संपत्ति है लेना

\begin{matrix} f (A) + f (B) + f (C) + f (A \cup B \cup C) \geq \\ f (A \cup B) + f (B \cup C) + f (A \cup C) + f (A \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$

, इस संपत्ति का तात्पर्य है मोनोटोन सबमॉड्यूलरिटी।

C = A \cup B

$C = A\cup B$

क्या यह संपत्ति ज्ञात है?

पृष्ठभूमि

कवरेज कार्यों को चिह्नित करने की कोशिश करते हुए यह संपत्ति सामने आई। कुछ भारित ब्रह्मांड को देखते हुए (सभी वजन गैर नकारात्मक कर रहे हैं) और एक परिवार के के सबसेट के , कवरेज समारोह के लिए परिभाषित किया गया है में सेट के अंतर्गत आने वाले तत्वों का कुल वजन के रूप में । फ़ंक्शन हमेशा एकरस और सबमॉडुलर होता है। यह सच नहीं है। $U$ $X$ $U$ $f(S)$ $S \subseteq X$ $S$ $f$

प्रश्न में संपत्ति का मतलब है कि मामले में एक कवरेज फ़ंक्शन है । इसी तरह, अधिक जटिल गुण बड़े लिए काम करते हैं । ये सभी गुण कवरेज कार्यों से संतुष्ट हैं, इसलिए यह एक पूर्ण लक्षण वर्णन है। $f$ $|X| = 3$ $X$

ds.algorithms approximation-algorithms submodularity

— युवल फिल्मस
स्रोत

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$k^{th}$

$f(B)-f(A)\ge 0$ $A\subseteq B$

$(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

$n$

कुछ इसी तरह की संभावना में पहले से ही जाना जाता था। एक कवरेज फ़ंक्शन को प्रायिकता उपाय (स्केलिंग स्थिरांक तक) के रूप में भी सोचा जा सकता है। एकमात्र संदर्भ जिसे मैं खोदने में सक्षम था, वह संभावना पर फेलर की पुस्तक से पृष्ठ 439 था।

— अश्विनकुमार बी.वी.
स्रोत

f (A \cup {x}) \geq f (A)

$f(A \cup \{x\}) \geq f(A)$

f (A \cup {x}) + f (A \cup {y}) \geq f (A \cup {x, y}) + f (A)

$f(A \cup \{x\}) + f(A \cup \{y\}) \geq f(A \cup \{x,y\}) + f(A)$

A, B

$A,B$

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\begin{matrix} f (A \cap B) + f (A \cap C) + f (B \cap C) + f ((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f (A \cap (B \cup C)) + f (B \cap (A \cup C)) + f (C \cap (A \cup B)) + f (A \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$ कागज में "एग्रीगेट" स्थिति का उल्लेख किया गया है "क्रैम्मा, हैमर और होल्टज़मैन (असमानता) (4)), जो दुर्लभ संग्रह का हिस्सा है" क्वांटिटेटिव मेथेन "का हिस्सा है। in Wirtschaftswissenschaften "। यह अवस्था मेरी जैसी ही होनी चाहिए।

\begin{matrix} f (A) + f (B) + f (C) + f (A \cap B \cap C) \geq \\ f (A \cup B \cup C) + f (A \cap B) + f (A \cap C) + f (B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$

C = \emptyset

$C = \varnothing$

— युवल फिल्मस
स्रोत