डीएफए के लिए न्यूनतम एनएफए कंप्यूटिंग

Question

कई साल पहले मैंने सुना है कि कंप्यूटिंग एक DFA (नियतात्मक) से कम से कम NFA (गैर नियतात्मक परिमित automaton) एक खुला प्रश्न था, के रूप में दिशा विपरीत उपाध्यक्ष जो दशकों के लिए जाना जाता रहा है और अच्छी तरह से एक कुशल के साथ शोध किया है करने का विरोध किया एल्गोरिथ्म। क्या कोई एल्गोरिथम लेकर आया है?$O(n \lg n)$

एक त्वरित खोज ने मुझे यह पेपर दिया जो साबित करता है कि इसकी निश्चित रूप से एक कठिन समस्या है। जाहिर है, कोई एल्गोरिथ्म नहीं दिया गया है।

[१] न्यूनतम एनएफए समस्याएं कठिन हैं / ताओ जियांग और बी। रविकुमार

मुझे CS.SE साइट पर निम्नलिखित प्रश्न के द्वारा इस समस्या की याद दिलाई गई थी, जिसके लिए एक DFA-> NFA न्यूनतमकरण एल्गोरिथ्म बारीकी से संबंधित होगा। यह निम्नलिखित प्रश्न मुझे अनुसंधान स्तर का लगता है। मैंने इसे TCS में माइग्रेट करने का सुझाव दिया और मैंने एक सांख्यिकीय / आनुभविक हमले का सुझाव देते हुए एक उत्तर लिखा।

[२] NFA के समतुल्य DFA के आकार में अधिकतम होने के लिए क्या स्थितियाँ हैं?

Comments

आप जिस पेपर का हवाला देते हैं वह PSPACE-पूर्णता दिखाता है। विशेष रूप से, समस्या PSPACE में है, जो तुरंत एक एल्गोरिदम का सुझाव देती है। आप किस प्रकार के एल्गोरिदम की तलाश कर रहे हैं? प्रैक्टिकल और / या विधर्मी? चल रहे समय के प्रतिपादक पर सबसे प्रसिद्ध सीमाएं? कुछ और?

— जोशुआ ग्रोचो

यह वास्तव में असामान्य नहीं है। इससे पहले कि समस्या को PSPACE- पूर्ण होने के लिए जाना जाता था, कुशल एल्गोरिदम विकसित करने के सभी प्रयास विफल हो गए, इसलिए बहुत कम प्रकाशित किया गया था। समस्या को PSPACE-complete होने के बाद, किसी ने भी कुशल एल्गोरिदम को विकसित करने की कोशिश नहीं की, क्योंकि वे जानते थे कि वे असफल होंगे, इसलिए भी कम प्रकाशित किया गया था।

— जेफ

(1) "विपरीत दिशा जो दशकों से जानी जाती है और एक कुशल ओ (n lg n) एल्गोरिथ्म" के साथ अच्छी तरह से शोध की जाती है उसका क्या मतलब है? एन राज्यों के साथ एनएफए के लिए न्यूनतम डीएफए में एन में आकार घातीय हो सकता है, इसलिए इसे कुछ nontrivial आउटपुट एन्कोडिंग की आवश्यकता होगी। (२) दी गई नियमित भाषा के लिए "न्यूनतम एनएफए" जैसी कोई चीज नहीं है। इसकी तुलना न्यूनतम DFA के अस्तित्व से करें।

— Tsuyoshi Ito

JEFFE आपके पास एक अच्छा बिंदु है लेकिन मुझे यकीन है कि कई Pspace पूर्ण समस्याएँ हैं जिनमें अभी भी परिष्कृत एल्गोरिदम हैं जो समस्या संरचना का लाभ उठाते हैं इसके अलावा केवल सभी संभव समाधानों की गणना करते हैं, सच है? स्वीकार करते हैं, मैं अपने सिर के ऊपर से कोई भी नहीं सोच सकता। शायद आप कर सकते हैं? लगता है कि यहाँ एक और दिलचस्प सवाल होगा।

— vzn

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Answer 1

यह वास्तव में एक जिद्दी - और अच्छी तरह से अध्ययन - समस्या है। सकारात्मक परिणामों के बारे में, केमडा एंड वेनर द्वारा एक सटीक एल्गोरिथ्म, पोलाक द्वारा एक हेयुरिस्टिक दृष्टिकोण, और गेलडेनहिस एट अल द्वारा सैट सॉल्वर का उपयोग करके हाल ही में एक दृष्टिकोण। विचार आना। लेकिन अन्य संभावित दृष्टिकोण (जैसे सन्निकटन एल्गोरिदम, विशेष मामले, एनएफए के कम शक्तिशाली मॉडल, ...) के संदर्भ में कुछ और नकारात्मक संदर्भों को खारिज करते हुए कहीं अधिक नकारात्मक परिणाम प्रतीत होते हैं।

टी। केमेडा और पी। वेनर। नॉनडेटर्मिनिस्टिक परिमित ऑटोमेटा की राज्य में कमी। कंप्यूटर पर आईईईई लेनदेन, सी -19 (7): 617–627, 1970।

ए मलचर। परिमित ऑटोमेटा को न्यूनतम करना कठिन है। सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 327: 375-390, 2004।

एल। पोलाक। सार्वभौमिक ऑटोमेटोन का उपयोग करके एनएफए की न्यूनतम। कंप्यूटर विज्ञान की नींव के अंतर्राष्ट्रीय जर्नल, 16 (5): 999-1010, 2005।

जी। ग्रामलिच और जी। श्नाइटर। एनएफए और नियमित अभिव्यक्ति को न्यूनतम करना। कंप्यूटर विज्ञान के सैद्धांतिक पहलुओं पर संगोष्ठी (एसटीएसीएस 2005), एलएनसीएस 3404, पीपी। 399-411।

एच। ग्रुबर और एम। होल्ज़र। P <> NP को मानने वाले nondeterministic स्थिति और संक्रमण जटिलता की अनुचितता। लैंग्वेज थ्योरी (DLT 2007), LNCS 4588, पीपी 205-216 में विकास।

एच। ग्रुबर और एम। होल्ज़र। परिमित और एकात्मक भाषाओं के लिए एनएफए कम से कम की कम्प्यूटेशनल जटिलता। भाषा और ऑटोमेटा सिद्धांत और अनुप्रयोग (LATA 2007), पीपी। 261-272।

एच। ब्योर्क्लकुंड और डब्ल्यू। मार्टेंस। NFA न्यूनतमकरण के लिए ट्रैक्टेबिलिटी सीमा। ऑटोमेटा, भाषाएँ और प्रोग्रामिंग (ICALP 2008) पर अंतर्राष्ट्रीय बोलचाल, LNCS 5126, पृष्ठ 27-38।

जे। गेल्डेनह्यूज़, बी। वैन डेर मेरवे, एल। वैन ज़िजल: जिजल सैट सॉल्वर के साथ नोंडेटर्मिनिस्टिक परिमित ऑटोमेटा को कम करना। परिमित राज्य के तरीके और प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण (FSMNLP 2009), LNCS 6062, 81-92।

EDIT (8 जून, 2015)

अद्यतन: निम्नलिखित कागज यादृच्छिक ऑटोमेटा पर प्रयोगों के साथ-साथ नोंदेर्मिनिस्टिक बुची ऑटोमेटा के आकार को कम करने के लिए एक अनुमानी एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करता है। जैसा कि वे निष्कर्ष में बताते हैं, उनकी पद्धति एनएफए पर भी लागू होती है: "जबकि हमने बुची ऑटोमेटा के संदर्भ में अपने तरीके प्रस्तुत किए हैं, उनमें से ज्यादातर तुच्छ शब्दों के ऊपर ऑटोमेटा के सरल मामले में ले जाते हैं।"

रिचर्ड मेयर, लोरेंजो क्लेमेंटे। उन्नत ऑटोमेटा न्यूनतमकरण।POPL 2013. विस्तारित तकनीकी रिपोर्ट EDI-INF-RR-1414।

उनके कमांड-लाइन टूल Reduce v1.2 को दिए गए NFA को कम करने के विकल्प "-finite" के साथ लागू किया जा सकता है। कार्यान्वयन खुला स्रोत है और जीएनयू जनरल पब्लिक लाइसेंस के तहत जारी किया गया है।

Comments

क्या आपको पता है कि इनमें से किसी भी किकिंग के ओपन-सोर्स कार्यान्वयन हैं?

— 19

हाय हरमन, आप सभी की जानकारी के लिए बहुत बहुत धन्यवाद! मुझे पता है कि एनएफए को देखते हुए, सबसे छोटे समकक्ष एनएफए को खोजना मुश्किल है। लेकिन, निम्नलिखित के बारे में क्या: डीएफए को देखते हुए, सबसे छोटा समकक्ष एनएफए खोजें। क्या यह कठिन है? कितना मुश्किल?

— माइकल वीहर

क्षमा करें, मैं अभी देखता हूं! पहला सूचीबद्ध पेपर इसे संबोधित करता है: springerlink.com/content/y61724u571v487x5 इसके अलावा, एक और पेपर जिसे आपने परिमित नियमित भाषाओं के लिए संबोधित किया है: hermann-gruber.com/data/lata07.final.pdf मेरे लिए इसे स्पष्ट करने के लिए धन्यवाद! :)

— माइकल वीहर