NFA के समतुल्य DFA के आकार में अधिकतम होने के लिए क्या स्थितियाँ हैं?

हम जानते हैं कि डीएफए अभिव्यंजक शक्ति में एनएफए के बराबर हैं; एनएफए को डीएफए में बदलने के लिए एक ज्ञात एल्गोरिथ्म भी है (दुर्भाग्य से मुझे अब उस एल्गोरिथ्म के आविष्कारक को पता है), जो सबसे खराब स्थिति में हमें राज्य देता है , अगर हमारे एनएफए में राज्य थे। $2^S$ $S$

मेरा सवाल है: सबसे खराब स्थिति का निर्धारण क्या है?

यहाँ अस्पष्टता के मामले में एक एल्गोरिथ्म का एक प्रतिलेखन है:

आज्ञा देना एक एनएफए हो। हम एक DFA का निर्माण जहां $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $A' = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$

$Q' = \mathcal{P}(Q)$ ,
$F' = \{S \in Q' | F \cap S \neq \emptyset \}$ ,
$\delta'(S,a) =\bigcup_{s \in S} (\delta(s,a) \cup \hat \delta(s,\varepsilon))$ , और
$q'_0 = \{q_0\} \cup \hat \delta(q_0, \varepsilon)$ ,

जहाँ का विस्तारित संक्रमण कार्य है । $\hat\delta$ $A$

— Daniil
स्रोत

टिप्पणियों के अनुसार, आप DFA (एक खुली समस्या) के लिए "न्यूनतम" NFA पूछकर इस क्यू को बचा सकते हैं। हमेशा सोचा कि यह समस्या P = से निकटता से जुड़ी हुई है? विभिन्न तरीकों से NP प्रश्न और कुछ समान सूत्र हैं जो यह सुझाव देते हैं कि। यह समान है कि आप "असंगत" बनाम "असंगत" डीएफए के बारे में पूछ रहे हैं जहां "अयोग्य" सबसे खराब स्थिति है जैसे कि न्यूनतम एनएफए लगभग डीएफए के आकार का है। शायद कुछ प्रमेय हैं जैसे, "अधिकांश डीएफए, यादृच्छिक रूप से लिया गया, अतुलनीय हैं [एनएफए में]" जैसा कि सूचना सिद्धांत में इसी तरह के थम्स फिर से हैं जैसे कि कल्मोगोरोव जटिलता के तार आदि

— vzn

जवाबों:

आपके द्वारा संदर्भित एल्गोरिथ्म को पॉवर्स कंस्ट्रक्शन कहा जाता है, और पहली बार 1959 में माइकल राबिन और डाना स्कॉट द्वारा प्रकाशित किया गया था।

शीर्षक में बताए गए आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए, एक नियमित भाषा के लिए कोई अधिकतम डीएफए नहीं है , क्योंकि आप हमेशा डीएफए ले सकते हैं और उन दोनों के बीच संक्रमण के साथ जितने चाहें उतने राज्यों को जोड़ सकते हैं, लेकिन मूल राज्यों में से किसी के बीच कोई संक्रमण नहीं है और नए लोगों में से एक। इस प्रकार, नए राज्यों प्रारंभिक अवस्था से पहुंच योग्य नहीं किया जाएगा , इसलिए automaton द्वारा स्वीकार किए जाते हैं भाषा (के बाद से नहीं बदलेगा सभी के लिए एक ही रहेगा )। $q_0$ $\hat\delta(q_0,w)$ $w\in\Sigma^*$

इसने कहा, यह स्पष्ट है कि इसके समतुल्य डीएफए के अधिकतम होने के लिए एनएफए पर कोई शर्तें नहीं हो सकती हैं , क्योंकि कोई अद्वितीय समकक्ष डीएफए नहीं है। इसके विपरीत, न्यूनतम डीएफए आइसोमोर्फिज्म तक अद्वितीय है।

के साथ एक NFA द्वारा स्वीकार कर लिया एक भाषा की एक विहित उदाहरण के बराबर DFA साथ राज्यों राज्यों है के लिए एक NFA है $n+1$ $2^n$

L = {w \in {0, 1}^{*} : | w | \geq n and the n -th symbol from the last one is 1} .

$L=\{w\in\{0,1\}^*:|w|\geq n\text{ and the $n$-th symbol from the last one is 1}\}.$

L

$L$

और

के लिए

A = ⟨ Q, {0, 1}, δ, q_{0}, {q_{n + 1}} ⟩

$A=\langle Q,\{0,1\},\delta,q_0,\{q_{n+1}\}\rangle$

δ (q_{0}, 0) = {q_{0}}

$\delta(q_0,0)=\{q_0\}$

δ (q_{0}, 1) = {q_{0}, q_{1}}

$\delta(q_0,1)=\{q_0,q_1\}$

δ (q_{i}, 0) = δ (q_{i}, 1) = {q_{i + 1}}

$\delta(q_i,0)=\delta(q_i,1)=\{q_{i+1}\}$

। DFA इस NFA को अधिकारिक निर्माण को लागू करने के परिणामस्वरूप

होगा

i \in {1, \dots, n}

$i\in\{1,\ldots,n\}$

राज्य होंगे, क्योंकि आपको

में किसी शब्द के प्रत्यय के रूपमें लंबाई

सभी

शब्दों काप्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता है।

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

L

$L$

— Janoma
स्रोत

वैसे, यदि आप चाहते हैं कि घुंघराले ब्रैकेट डिस्प्ले गणित मोड में दिखाई दें तो \\ {और \\} का उपयोग करें।

— ज़च लैंगली

@ZachLangley मैंने पहले ही कोशिश की, यह काम नहीं करता है :-(

— Janoma

यह पूर्वावलोकन में मेरे लिए काम कर रहा है। हालांकि मैं संपादन प्रस्तुत नहीं कर सकता, क्योंकि मैं केवल चार वर्ण जोड़ रहा हूं और न्यूनतम छह है। आप दो बैकस्लैश का उपयोग कर रहे हैं और यह काम नहीं कर रहा है?

— Zach Langley

@ZachLangley यह अब काम करता है, लेकिन दो चीजें: 1, जब मैंने पहली बार उत्तर पोस्ट किया तो यह काम नहीं किया। 2, मुझे लगता है कि यह लाटेकस के व्यवहार के साथ असंगत है, क्योंकि मैं इसे गलत मानता हूं।

— Janoma

परिणामी DFA न्यूनतम है? क्या आप थोड़ा सा बोल सकते हैं कि कैसे साबित किया जाए कि यह न्यूनतम है?

— उपयोगकर्ता 834

का सबसे बुरा मामला एनएफए के राज्यों के सबसेट की संख्या से आता है। क्लेने के प्रमेय से एल्गोरिथ्म को राज्यों की सबसे खराब स्थिति के साथ एक समान डीएफए देना है, एनएफए में राज्यों के हर संभव सबसेट को प्राप्त करने का एक तरीका होना चाहिए। वर्णमाला पर दो राज्यों के साथ एक उदाहरण में प्रारंभिक अवस्था से लेकर प्रतीक पर एकमात्र स्वीकार करने वाले राज्य तक का संक्रमण है , स्वीकार करने वाले राज्य से वापस पर प्रारंभिक में संक्रमण, और स्वीकार करने वाले राज्य से संक्रमण वापस करने के लिए या तो या एक । तार , , और $2^{s}$ $\{a, b\}$ $a$ $b$ $a$ $b$ $\lambda$ $a$ $b$ सबसेट के लिए नेतृत्व , , , और , क्रमशः, और इन पृथक राज्यों की जरूरत है DFA क्लीन देता होगा। $ab$ $\{q_{1}\}$ $\{q_{2}\}$ $\{\}$ $\{q_{1}, q_{2}\}$

— Patrick87
स्रोत

सहमत लेकिन "एनएफए में राज्यों के हर संभव सबसेट को पाने का एक तरीका है" का सवाल यह है कि आगे के अध्ययन के लायक और अधिक मूल्यवान है ....

— vzn

-1

मेरा मानना है कि यह ज्ञान की सीमा पर एक प्रश्न है, अर्थात मूल रूप से एक शोध प्रश्न है। एक त्वरित Google खोज से, यह ज्यादातर खुला हुआ प्रतीत होता है। साथ ही, कई वर्षों से मैंने इसे महत्वपूर्ण माना है और जटिलता सिद्धांत कम सीमा से जोड़ा है। आप सीधे एक सांख्यिकीय विश्लेषण का उल्लेख नहीं करते हैं, लेकिन वह वही है जो आपके प्रश्न से निहित है। यहां डीएफए / एनएफए पर सांख्यिकीय अध्ययन के दो उदाहरण हैं जो इस प्रकार के प्रश्नों के सामान्य दृष्टिकोण को दिखाने के लिए समान हैं। ऐसा प्रतीत होता है कि इस तरह के सवालों में बुनियादी अनुभवजन्य अनुसंधान अभी भी अस्पष्टीकृत है। निश्चित रूप से दूसरा आपके प्रश्न से सीधे संबंधित नहीं है, लेकिन यह निकटतम है जो मुझे वर्तमान शोध के बारे में मिल सकता है।

$x$

यह मीट्रिक ग्राफ थ्योरी मेट्रिक्स जैसे एज डेंसिटी वगैरह से संबंधित होगा। शायद कुछ बहुत ही महत्वपूर्ण ग्राफ सिद्धांत मीट्रिक या मेट्रिक्स का मिश्रण है जो "ब्लो-अप" का अनुमान लगाता है, लेकिन इसका तुरंत मेरे लिए स्पष्ट नहीं है। मैं शायद ग्राफ़िकल कलरिंग मेट्रिक्स या क्लिक मेट्रिक्स जैसा कुछ सुझा सकता हूं। फिर दो सेट "ब्लो-अप" बनाम "ब्लो-अप नहीं" के खिलाफ मीट्रिक का परीक्षण करें।

आपके प्रश्न के अन्य उत्तर अब तक केवल "ब्लो-अप" (केस स्टडी के लिए उपयोगी) का उदाहरण देते हैं, लेकिन सामान्य मीट्रिक के मुख्य मुद्दे को संबोधित नहीं करते हैं।

अनुभवजन्य अनुसंधान के एक सफलतापूर्वक विकसित कार्यक्रम को देखने के लिए एक और क्षेत्र एसएटी संक्रमण बिंदु अनुसंधान है। इसने भौतिकी और उष्मागतिकी अवधारणाओं के बहुत गहरे संबंध विकसित किए हैं। यह मेरे लिए संभावना है कि समान अवधारणाएं यहां लागू हैं। उदाहरण के लिए, किसी को एनालॉग ट्रांजिशन पॉइंट टाइप मेट्रिक्स मिलने की संभावना है; शायद किनारे घनत्व आदि। कोलमोगोरोव कम्प्रेसिबिलिटी थ्योरी पर ध्यान दें।

मैं यह भी अनुमान लगाता हूं कि एनएफए कि "ब्लो-अप" उन बनाम जो एनपी-पूर्ण समस्याओं के "कठिन" बनाम "आसान" उदाहरणों के लिए किसी भी तरह काफी अनुरूप नहीं हैं।

इस समस्या का अध्ययन करने का एक और तरीका एक एनएफए न्यूनतमकरण समस्या तैयार करना होगा। यही है, डीएफए को देखते हुए, न्यूनतम एनएफए खोजें, जो मैंने पिछली बार सुना था (कई साल पहले) अभी भी एक खुली समस्या थी।

[१] ऑटोमेटा मिनिमाइजेशन एल्गोरिदम मार्को अल्मीडा, नेलमा मोरिरा, रोजेरियो रीस के प्रदर्शन पर

[२] ऑटोमेटा रिकॉग्निज़िंग नो वर्ड्स: अ स्टैटिस्टिकल एप्रैस क्रिस्टियन एस। कैलूड, सीज़र कैम्पेनु, मोनिका डुमिट्रेस्कु

— vzn
स्रोत