कॉची वितरण में स्थान पैरामीटर का MLE

केंद्रित करने के बाद, दो माप x और ingx को संभावित घनत्व समारोह के साथ कॉची वितरण से स्वतंत्र अवलोकन माना जा सकता है:

$f(x :\theta) =$ $1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

यह दिखाएं कि यदि का MLE of the 0 है, लेकिन यदि में दो MLE का है, तो बराबर है $x^2≤ 1$ $\theta$ $x^2>1$ $\theta$ $\sqrt {x^2-1}$

मुझे लगता है कि MLE को खोजने के लिए मुझे लॉग संभावना को अलग करना होगा:

$dl\over d\theta$ $=\sum$ $2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ $2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ + $2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

इसलिए,

$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

जिसे मैंने बाद में सरल बनाया

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

अब मैं एक दीवार से टकरा गया हूं। मैं शायद किसी बिंदु पर गलत हो गया हूं, लेकिन किसी भी तरह से मुझे यकीन नहीं है कि प्रश्न का उत्तर कैसे दिया जाए। क्या कोई मदद कर सकता है?

— user123965
स्रोत

कृपया, स्पष्ट करें कि आपने x को -x और + x में क्यों विभाजित किया है? यह मेरा होमवर्क है और मैं उस कदम पर फंस रहा हूं। मुझे लगता है कि आपने न्यूटन की रैपसन विधि को इसके लिए लागू किया है। लेकिन मैं इसे लागू करने का तरीका नहीं पा रहा हूं। कृपया मुझे बताओगे?

— user89929

आपकी गणनाओं में एक गणित टाइपो है। अधिकतम के लिए पहली ऑर्डर की स्थिति है:

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial θ} = 0 & \Rightarrow \frac{2 (x + θ)}{1 + (x + θ)^{2}} - \frac{2 (x - θ)}{1 + (x - θ)^{2}} & = 0 \\ \Rightarrow (x + θ) + (x + θ) (x - θ)^{2} - (x - θ) - (x - θ) (x + θ)^{2} & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ + (x + θ) (x - θ) [x - θ - (x + θ] & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x + θ) (x - θ) = 0 \Rightarrow 2 θ - 2 θ (x^{2} - θ^{2}) & = 0 \\ \Rightarrow 2 θ (1 - x^{2} + θ^{2}) = 0 \Rightarrow 2 θ (θ^{2} + (1 - x^{2})) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$

यदि तो कोष्ठक में शब्द शून्य (निश्चित रूप से वास्तविक समाधानों के लिए) नहीं हो सकता है, इसलिए आपको केवल solution साथ छोड़ दिया जाता है । $x^2\leq 1$ $\hat \theta =0$

यदि आपके पास है, तो इसके अलावा उम्मीदवार बिंदु भी आप प्राप्त करते हैं $x^2 >1$ $2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$ $\theta =0$

\frac{\partial L}{\partial θ} = 0, for \hat{θ} = \pm \sqrt{x^{2} - 1}

$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$

आपको यह भी बताना होगा कि इस मामले में अब MLE क्यों नहीं है। $\hat \theta =0$

परिशिष्ट

के लिए लॉग-संभावना का ग्राफ है $x =\pm 0.5$ यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

जबकि के लिए लॉग-लाइबिलिटी का ग्राफ है, $x =\pm 1.5$ यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

अब आपको बस इतना करना है कि इसे बीजगणितीय रूप से साबित करना है और फिर आश्चर्य करना "ठीक है-मुझे दोनों में से किसे चुनना चाहिए?"

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

धन्यवाद! मैं यह नहीं देख सकता कि क्यों अब MLE नहीं होगा

θ = 0

$\theta=0$

— user123965

अधिकतम के लिए 2 डी क्रम की स्थिति पर काम करें, या उम्मीदवार समाधान में संभावना का मूल्यांकन करें

— एलेकोस पापाडोपोलोस

+1 शानदार जवाब। इसके अलावा, यह दिलचस्प हो सकता है: wolframalpha.com/share/… wolframalpha.com/share/…

— random_user

@random_user धन्यवाद! - मैंने उत्तर को साजिश में शामिल करने के लिए स्वतंत्रता ली।

— एलेकोस पापाडोपोलस

2 व्युत्पन्न सकारात्मक तो वास्तव में एक स्थानीय न्यूनतम

— एलेकोस पापाडोपोलोस