क्या कोई प्रमेय है जो कहता है कि एक वितरण में रूपांतरित होता है क्योंकि अनंत तक जाता है?

को परिभाषित माध्य, और मानक विचलन, साथ कोई भी वितरण होने दें । केंद्रीय सीमा प्रमेय का कहना है कि एक सामान्य सामान्य वितरण में वितरण में कनवर्ट करता है। यदि हम नमूना मानक विचलन द्वारा को प्रतिस्थापित करते हैं , तो क्या कोई प्रमेय है जो यह बताता है कि एक वितरण में परिवर्तित करता है? चूंकि बड़े $X$ $\mu$ $\sigma$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$

σ

$\sigma$

S

$S$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{S}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$

n

$n$ एक टी-वितरण एक सामान्य दृष्टिकोण, प्रमेय, अगर यह मौजूद है, तो यह बता सकता है कि सीमा एक मानक सामान्य वितरण है। इसलिए, यह मुझे प्रतीत होगा कि टी-डिस्ट्रीब्यूशन बहुत उपयोगी नहीं हैं - कि वे केवल तभी उपयोगी होते हैं जब लगभग एक सामान्य होता है। क्या यह मामला है?

X

$X$

यदि यह संभव है, आप संदर्भ हैं जो इस CLT जब का एक सबूत युक्त संकेत मिलता है द्वारा की जगह है ? इस तरह के एक संदर्भ अधिमानतः उपाय सिद्धांत अवधारणाओं का उपयोग कर सकते हैं। लेकिन इस बिंदु पर मेरे लिए कुछ भी बहुत अच्छा होगा। $\sigma$ $S$

— Esp फ़्लो
स्रोत

स्लटस्की के प्रमेय का एक अनुप्रयोग, जिसके संस्करणों को कभी-कभी एक साथ लेम्मा के रूप में परिवर्तित करने के रूप में संदर्भित किया जाता है , यह दर्शाता है कि सीमा सामान्य है।

— कार्डिनल

@Cardinal की टिप्पणी पर विस्तार करने के लिए, कुछ वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर से आकार एक iid नमूने पर विचार करें , और कुछ क्षणों का अर्थ है, और मानक विचलन । यादृच्छिक चर को परिभाषित करें $n$ $X$ $\mu$ $\sigma$

Z_{n} = \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - μ)

$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$ मूल केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि

Z_{n} \to_{d} Z \sim N (0, σ^{2})

$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$

अब यादृच्छिक चर जहां का नमूना मानक विचलन है । $Y_n = \frac 1{S_n}$ $S_n$ $X$

नमूना आईआईडी है और इसलिए नमूना क्षण लगातार जनसंख्या क्षणों का अनुमान लगाते हैं। इसलिए

Y_{n} \to_{p} \frac{1}{σ}

$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$

@Cardinal दर्ज करें: स्लटस्की की प्रमेय (या लेम्मा) अन्य बातों के अलावा, यह कहती है कि जहां एक स्थिरांक है। । यह हमारा मामला है

{Z_{n} \to_{d} Z, Y_{n} \to_{p} c} \Rightarrow Z_{n} Y_{n} \to_{d} c Z

$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$

c

$c$

Z_{n} Y_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X_{n}} - μ}{S_{n}} \to_{d} \frac{1}{σ} Z \sim N (0, 1)

$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$

छात्र के वितरण की उपयोगिता के लिए, मैं केवल उल्लेख करता हूं कि, सांख्यिकीय परीक्षणों से संबंधित "पारंपरिक उपयोग" में यह अभी भी अपरिहार्य है जब नमूना आकार वास्तव में छोटे होते हैं (और हम अभी भी ऐसे मामलों से सामना कर रहे हैं), लेकिन यह भी, कि यह है विशेष रूप से वित्त अर्थमिति के संदर्भ में, जहां इस तरह के डेटा अक्सर उत्पन्न होते हैं, के साथ व्यापक रूप से मॉडल सशर्त श्रृंखला के लिए लागू किया गया है (सशर्त) विषमलैंगिकता।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

+1, हमेशा अच्छा लगता है जब सैद्धांतिक प्रश्नों के उत्तर अभ्यास में उनकी उपयोगिता से संबंधित होते हैं

— एंडी

@ और मैं सहमत हूं, यह आदर्श है।

— एलेकोस पापाडोपोल्स