क्या होगा यदि संभावनाएँ ".632 नियम" में समान नहीं हैं?

यह प्रश्न ".632 नियम" के बारे में इस एक से लिया गया है । मैं user603 के उत्तर / अंकन के लिए विशेष संदर्भ के साथ लिख रहा हूं, यह उस हद तक है जो मामलों को सरल करता है।

यह उत्तर आकार एक नमूने के साथ शुरू होता है $n,$ प्रतिस्थापन के साथ, संग्रह में $n$ अलग-अलग वस्तुओं से (कॉल) यह एन। संभावना है कि $i^{th}$ नमूना , N के $s_i$ एक विशेष तत्व से अलग $m$ है $(1 - 1/n).$

उस उत्तर में N के सभी तत्वों को बेतरतीब ढंग से खींचे जाने की समान संभावना है।

मेरा प्रश्न यह है: मान लीजिए कि इसके बजाय उपरोक्त प्रश्न में दिए जाने वाले आइटम ऐसे हैं कि वे सामान्य रूप से वितरित किए गए हैं। यही है, हम $Z = -4$ से $Z = 4$ में मानक सामान्य वक्र को उप-विभाजित करते हैं (कहते हैं) 100 समान लंबाई वाले उप-केंद्र। एन में 100 वस्तुओं में से प्रत्येक को खींचा जाने की संभावना है जो कि अपने संबंधित अंतराल में वक्र द्वारा घटाए गए क्षेत्र के बराबर है।

मेरी सोच इस प्रकार थी:

तर्क मुझे लगता है कि जुड़े हुए उत्तर के समान है। संभावना है कि $s_i \ne m$ , के साथ $m$ एन के एक तत्व है, $P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$ जिसमें $F_i$ निकलने की संभावना है $s_i.$

संभावना है कि एक विशेष तत्व एम आकार n के नमूने में है

P (m \in S) = 1 - P (m \notin S) = 1 - \prod_{1}^{n} P (s_{i} \neq m)

$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$

= 1 - \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) .

$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$

एक गणना कि subintervals की लंबाई पहले मामले में के रूप में एक ही नंबर के लिए छोटे जवाब converges हो जाता है के रूप में (की संभावनाओं को दिखाने के लिए लगता है सभी को समान)। $s_i$

ऐसा लगता है कि काउंटरिंटिवेटिव (मेरे लिए) क्योंकि निर्माण एन के तत्वों में फेंकने के लिए लगता है जो दुर्लभ हैं, इसलिए मैं संख्या की तुलना में छोटे नंबर की उम्मीद करूंगा ।632।

इसके अलावा, अगर यह सही है, तो मुझे लगता है कि हमारे पास होगा

lim_{n \to \infty} \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) = lim (1 - 1 / n)^{n} = 1 / e,

$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$

जो मुझे अभी तक सच या गलत होने का पता नहीं है।

संपादित करें: यदि यह सच है तो यह शायद कुछ सामान्य कर देगा।

किसी भी अंतर्दृष्टि के लिए धन्यवाद।

probability sampling

— डैनियल
स्रोत

मैंने सिर्फ गणित एसई (प्रश्न 791114) पर अंतिम समीकरण के बारे में पूछा क्योंकि मैं भी इस बात में दिलचस्पी रखता हूं कि यह सामान्य कैसे होता है, यदि बिल्कुल भी।

— डेनियल

... और संक्षिप्त उत्तर यह है कि अंतिम समानता अच्छी तरह से व्यवहार किए गए पीडीएफ के लिए सही है, इसलिए प्रश्न का उत्तर यह है कि .632 नियम विभिन्न प्रकार के अंतर्निहित वितरणों के लिए है।

— डेनियल

क्या मैं किसी अन्य साइट से किसी और के उत्तर को उठा सकता हूं और इसे यहां पोस्ट कर सकता हूं? इसलिए मैंने संक्षिप्त टिप्पणी पोस्ट की। शायद ऐसा करने का एक स्वीकृत तरीका है, अगर मैं ऐसा करने योग्य हूं।

— डेनियल

बेशक, आप कुछ बिंदु पर स्रोत का उल्लेख कर सकते हैं :)

— फायरबग

@ फ़ायरबग: क्या आप एक ऐसे उदाहरण की ओर इशारा कर सकते हैं जहाँ यह किया जाता है इसलिए मैं देख सकता हूँ कि आपका क्या मतलब है? धन्यवाद।

— डेनियल

सवाल के सीमित व्यवहार के बारे में पूछता है

\begin{matrix} (1) & = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) \end{matrix}

$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$

के रूप में बढ़ता है और समान रूप से इस तरह से हटना है कि (क) सभी गैर नकारात्मक और (ख) वे एकता के लिए योग कर रहे हैं। (ये के निर्माण और संभाव्यता के स्वयंसिद्धों का अनुसरण करते हैं ।) $n$ $F_i$ $F_i$

परिभाषा के अनुसार, यह उत्पाद अपने लघुगणक का घातांक है:

\prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) = \exp (\sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i})) .

$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$

टेलर के प्रमेय (शेष के लैगरेंज रूप के साथ) , लागू होता है , वह स्थापित करता है $\log$

\log (1 - F_{i}) = - F_{i} - \frac{1}{2} ϕ_{i}^{2} \geq - F_{i} - \frac{1}{2} F_{i}^{2}

$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$

अंतराल में कुछ के लिए । दूसरे शब्दों में, ये लघुगणक ऐसे शब्दों के बराबर हैं, जो कि अधिकतम गुना पर कुछ हैं । लेकिन जब यह आश्वस्त करने के लिए पर्याप्त है कि सभी दिए गए ( के समान संकोचन द्वारा आश्वस्त स्थिति ) से छोटे हैं, तो (b) का तात्पर्य और इसीलिए $\phi_i$ $[0, F_i]$ $-F_i$ $1/2$ $F_i^2$ $n$ $F_i$ $\epsilon\gt 0$ $F_i$ $n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

\sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{n} ϵ^{2} < \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{1}{n})}^{2} = \frac{1}{n} .

$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$

इसके फलस्वरूप

- 1 = - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} \geq \sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i}) \geq - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} - \frac{1}{2} \frac{1}{n} = - 1 - \frac{1}{2 n}

$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$

परिवर्तित दो अनुक्रमों के बीच लघुगणक निचोड़ता है । चूँकि निरंतर है, उत्पाद इस सीमा के घातांक में परिवर्तित होता है, । इसके फलस्वरूप $-1$ $\exp$ $\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$ $\exp(-1)$

lim_{n \to \infty} (1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i})) = 1 - \exp (- 1) \approx 0.632,

$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$

QED ।

इस विश्लेषण पर एक नज़दीकी नज़र रखने से पता चलता है कि इस सन्निकटन में त्रुटि (जो हमेशा एक कम बाउंड होगी) आकार में उदाहरण के लिए, मानक वितरण स्लाइस में और बीच मोड पास एक अधिकतम पैदा करता है , जहां यह लगभग एक आयत के क्षेत्र के बराबर होगा, । पूर्वगामी बाध्य सूत्र का मान स्थापित करता है इसके सीमित मान के के भीतर होगा । वास्तविक त्रुटि कम परिमाण का एक क्रम है,

(\exp ((n / 2) max (F_{i}^{2})) - 1) \exp (- 1) .

$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$

n = 400

$n=400$

- 4

$-4$

4

$4$

F_{i}

$F_i$

0

$0$

\exp (- 1 / 2) / 50 \approx 0.012

$\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$

(1)

$(1)$

0.011

$0.011$

0.001041

$0.001041$ । यहां गणना है R(जिसमें हम भरोसा कर सकते हैं क्योंकि से कोई भी वास्तव में सापेक्ष छोटा नहीं है ):

f_{i}

$f_i$

1

$1$

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

दरअसल, 1 - prod(1-f)है जबकि है । $0.6331615\ldots$ $1-\exp(-1)$ $0.6321206\ldots$

— व्हीबर
स्रोत

त्रुटि विश्लेषण इस उत्तर का एक बहुत ही उपयोगी पहलू है।

— डेनियल