विशेषता कार्यों का उद्देश्य क्या है?

Question

मैं उम्मीद कर रहा हूं कि कोई व्यक्ति यह बता सकता है कि आम आदमी की शर्तों में, एक विशिष्ट कार्य क्या है और इसका उपयोग कैसे किया जाता है। मैंने पढ़ा है कि यह पीडीएफ का फूरियर रूपांतरण है, इसलिए मुझे लगता है कि मुझे पता है कि यह क्या है, लेकिन मैं अभी भी इसके उद्देश्य को नहीं समझता हूं। अगर कोई अपने उद्देश्य का सहज विवरण प्रदान कर सकता है और शायद इसका उदाहरण यह है कि इसका आमतौर पर कैसे उपयोग किया जाता है, तो यह शानदार होगा!

बस एक आखिरी नोट: मैंने विकिपीडिया पृष्ठ को देखा है , लेकिन स्पष्ट रूप से यह समझने के लिए बहुत घना हूं कि क्या चल रहा है। मैं जो खोज रहा हूं, वह एक स्पष्टीकरण है कि कोई व्यक्ति संभाव्यता सिद्धांत के चमत्कार में डूबा नहीं है, कंप्यूटर वैज्ञानिक कहते हैं, समझ सकते हैं।

Answer 1

दिन में वापस, लोग तेजी से संख्याओं को गुणा करने के लिए लघुगणक तालिकाओं का उपयोग करते थे। ऐसा क्यों है? लघुगणक गुणन को इसके अलावा परिवर्तित करता है, क्योंकि । इसलिए दो बड़ी संख्याओं और को गुणा करने के लिए , आपको उनके लघुगणक मिले, लघुगणक को जोड़ा गया, , और फिर एक अन्य तालिका पर को देखा ।$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$$a$$b$$z = \log(a) + \log(b)$$\exp(z)$

अब, विशेषता कार्य संभाव्यता वितरण के लिए एक समान कार्य करते हैं। मान लीजिए कि का वितरण और का वितरण , और और स्वतंत्र हैं। फिर का वितरण और , का दृढ़ संकल्प है ।$X$$f$$Y$$g$$X$$Y$$X+Y$$f$$g$$f * g$

अब विशेषता फ़ंक्शन कनवल्शन के लिए "लॉगरिदम टेबल ट्रिक" का एक सादृश्य है, क्योंकि अगर की विशेषता फ़ंक्शन है , तो निम्न संबंध रखता है:$\phi_f$$f$

$$\phi_f \phi_g = \phi_{f * g}$$

इसके अलावा, यह भी कि लघुगणक के मामले में, विशेषता फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को खोजना आसान है: दिए गए जहां एक अज्ञात घनत्व है, हम व्युत्क्रम Fourier के द्वारा का प्राप्त कर सकते हैं ।$\phi_h$$h$$h$$\phi_h$

विशेषता समारोह धर्मान्तरित घुमाव के लिए गुणा घनत्व कार्यों के लिए एक ही रास्ता है कि लघुगणक परिवर्तित गुणन में इसके नंबरों के लिए। दोनों परिवर्तन एक अपेक्षाकृत जटिल ऑपरेशन को अपेक्षाकृत सरल में बदल देते हैं।

Comments

उल्लेख के लायक अन्य आइटम: (ए) विभेदीकरण के माध्यम से क्षणों की वसूली, (बी) तथ्य यह है कि सभी वितरणों में विशेषता कार्य होते हैं (जैसा कि क्षण-उत्पन्न करने वाले कार्यों की तुलना में), (ग) वितरणों के बीच एक-से-एक पत्राचार और उनके विशिष्ट कार्य, और (d) यह तथ्य कि कई अपेक्षाकृत सामान्य वितरणों में विशिष्ट प्रकार्य ज्ञात हैं, लेकिन घनत्व के लिए कोई ज्ञात अभिव्यक्ति नहीं है (उदाहरण के लिए, लेवी स्थिर वितरण)।

— कार्डिनल

अच्छी टिप्पणियाँ, @cardinal। कृपया उन्हें वास्तविक उत्तर में बदलने पर विचार करें।

— whuber

आप में से जो लोग इस विषय को समझते हैं, क्या यह वर्णनात्मक समीकरणों से संबंधित है, जैसा कि पुनरावृत्ति संबंधों (अर्थात नथ के कंक्रीट मठ) के साथ उपयोग किया जाता है? मेरा अनुमान है कि वे बहुत अलग हैं और संयोग से "विशेषता" शब्द को साझा करते हैं, लेकिन मुझे लगा कि मैं पूछूंगा।

— वेन

@ आपको इसे एक प्रश्न के रूप में पोस्ट करना चाहिए। मुझे लगता है कि एक निकट संबंध है: फूरियर ट्रांसफॉर्म से विशेषता कार्य निकलते हैं, जो वास्तविक लाइन पर वितरण से संबंधित गेलफैंड ट्रांसफॉर्म है। एक पुनरावृत्ति संबंध की विशेषता समीकरण संभावना उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन से उत्पन्न होती है, जो कि प्राकृतिक संख्याओं के साथ जुड़ा हुआ गेलफैंड ट्रांसफ़ॉर्म है। पुनरावृत्ति संबंधों में चर को असतत समय-चरणों, यानी प्राकृतिक संख्याओं पर मान लेने के रूप में सोचा जा सकता है।

— छावनी

@Wayne ... तो मुझे लगता है कि ऑपरेटर जो अपने विशेषता समीकरण के पुनरावृत्ति संबंध में एक चर लेता है, प्राकृतिक संख्याओं के वितरण से संबंधित "फूरियर ट्रांसफॉर्म" के रूप में सोचा जा सकता है। मैंने इस प्रश्न को खोजा और नहीं पाया, लेकिन यदि आपने इसे पोस्ट किया तो मुझे उत्तर देखने में बहुत रुचि होगी।

— कैंटहेड

Answer 2

@ charles.y.zheng और @cardinal ने बहुत अच्छे उत्तर दिए, मैं अपने दो सेंट जोड़ूंगा। हां, विशेषता फ़ंक्शन अनावश्यक जटिलता की तरह लग सकता है, लेकिन यह एक शक्तिशाली उपकरण है जो आपको परिणाम प्राप्त कर सकता है। यदि आप संचयी वितरण फ़ंक्शन के साथ कुछ साबित करने की कोशिश कर रहे हैं, तो हमेशा यह जांचना उचित है कि क्या विशेषता फ़ंक्शन के साथ परिणाम प्राप्त करना संभव नहीं है। यह कभी-कभी बहुत कम प्रमाण देता है।

हालाँकि पहली बार में विशेषता फ़ंक्शन संभाव्यता वितरण के साथ काम करने का एकतरफा तरीका दिखता है, लेकिन इसके साथ सीधे संबंधित कुछ शक्तिशाली परिणाम हैं, जिसका अर्थ है कि आप इस अवधारणा को केवल गणितीय मनोरंजन के रूप में नहीं छोड़ सकते हैं। उदाहरण के लिए प्रायिकता सिद्धांत में मेरा पसंदीदा परिणाम यह है कि किसी भी असीम रूप से विभाज्य वितरण में अद्वितीय Lévy-Khintchine प्रतिनिधित्व है । इस तथ्य के साथ संयुक्त है कि असीम रूप से विभाज्य वितरण स्वतंत्र यादृच्छिक चर की राशि के लिए एकमात्र संभव वितरण है (विचित्र मामलों को छोड़कर) यह एक गहरा परिणाम है जिसके उपयोग से केंद्रीय सीमा प्रमेय प्राप्त होता है।

Answer 3

चारित्रिक कार्यों का उद्देश्य यह है कि उनका उपयोग संभाव्यता सिद्धांत में वितरण के गुणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यदि आप ऐसी व्युत्पत्तियों में रुचि नहीं रखते हैं, तो आपको विशेषता कार्यों के बारे में जानने की आवश्यकता नहीं है।

Comments

मुझे लगता है कि मुझे इस तरह के व्युत्पन्नों में दिलचस्पी हो सकती है - मुझे बस इतना नहीं मिलता कि हमें विशेषता समारोह में जाने की आवश्यकता क्यों है? पीडीएफ / सीएफडी से सीधे निपटना आसान क्यों है?

— निक

@ यह कुछ लोककथाओं का तत्व है, जैसे "यह इतना सुरुचिपूर्ण है कि यह कुछ वितरण अवधारणा का प्रतिनिधित्व है, ..."। बेशक यह कुछ गणित के साथ मदद करता है, तो यह सिर्फ एक अनावश्यक खिलौना नहीं है, लेकिन हर रोज इस्तेमाल के लिए यह एक भौतिक विज्ञानियों के लिए मजबूर कर से मेल खाती है सिर्फ करने के लिए उपयोग ठीक संरचना लगातार एक क्लासिक समस्या के लिए। $\hbar$

हमें उनका उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। मैंने केवल इतना कहा कि उनका उपयोग किया जा सकता है। कभी-कभी वे एक त्वरित व्युत्पत्ति देते हैं, कभी-कभी वे बिल्कुल भी मदद नहीं करते हैं। क्या एक व्युत्पत्ति 'आसान' है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप पहले से ही क्या जानते हैं - यदि आप पहले से ही विशिष्ट कार्यों के बारे में नहीं जानते हैं तो यह आसान नहीं होगा। कुछ मामलों में पल उत्पन्न करने वाले कार्य एक विकल्प प्रदान करते हैं, और अधिक प्रत्यक्ष व्याख्या करते हैं।

— onestop

Answer 4

विशेषता फ़ंक्शन वितरण के घनत्व फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण है। यदि आपके पास फूरियर रूपांतरण के बारे में कोई अंतर्ज्ञान है, तो यह तथ्य ज्ञानवर्धक हो सकता है। फूरियर रूपांतरणों के बारे में आम कहानी यह है कि वे 'आवृत्ति अंतरिक्ष में' फ़ंक्शन का वर्णन करते हैं। चूँकि प्रायिकता घनत्व एकतरफा है (कम से कम वास्तविक दुनिया में, या वास्तविक दुनिया के बारे में बने मॉडल में), यह बहुत दिलचस्प नहीं लगता है।

Comments

नोट : एक संभावित संपादक का दावा है कि "विशेषता फ़ंक्शन उलटा फूरियर ट्रांसफॉर्म है"।

— गूँग - मोनिका

Answer 5

फूरियर रूपांतरण इसकी आवृत्तियों में फ़ंक्शन (गैर आवधिक) का अपघटन है। घनत्व के लिए व्याख्या?

फूरियर रूपांतरण एक फूरियर श्रृंखला का निरंतर संस्करण है क्योंकि कोई भी घनत्व "विशेषता श्रृंखला" जैसी आवधिक कोई अभिव्यक्ति नहीं है।