क्या कोई "यादृच्छिक चर की राशि" की अवधारणा को स्पष्ट कर सकता है

Question

मेरी प्रायिकता कक्षा में "यादृच्छिक चर की रकम" का उपयोग लगातार किया जाता है। हालाँकि, मैं क्या वास्तव में इसका मतलब पर अटक गया हूँ?

क्या हम एक यादृच्छिक चर से अहसास के एक समूह के योग के बारे में बात कर रहे हैं? यदि हां, तो क्या यह एक एकल संख्या तक नहीं है? रैंडम वेरिएबल रियलाइजेशन का योग हमें किसी वितरण, या किसी भी तरह के cdf / pdf / फ़ंक्शन के लिए कैसे प्रेरित करता है? और अगर यह यादृच्छिक चर बोध नहीं है, तो वास्तव में क्या जोड़ा जा रहा है?

Comments

'एक यादृच्छिक चर की प्रतीति' द्वारा मुझे लगता है कि आप वास्तविक मनाया मूल्यों का मतलब है। 'यादृच्छिक चर के योग' में जो सम्‍मिलित किया जा रहा है, वह देखे जाने से पहले यादृच्छिक चर है। लिफ्ट पर पाने के लिए अगले 5 लोगों के वजन की गणना करने की कल्पना करें। आप उनके वजन (अभी तक) नहीं जानते हैं और इसलिए वे प्रत्येक एक यादृच्छिक चर हैं। लेकिन आप शायद उनके वजन के योग के वितरण के बारे में कुछ जानना चाहेंगे।

— पीटरआर

@PeterR यह मुझे समझ में नहीं आता है। यह भी कैसे कुछ है कि अभी तक एक मूल्य नहीं है जोड़ने के बारे में बात करने के लिए समझ में नहीं आता है? क्या यह एक प्रकार का रूपक है?

— Gosset

मुझे लगता है कि आपकी समस्या यह है कि आप यह नहीं समझते कि एक यादृच्छिक चर क्या है। यदि आपको यह अवधारणा मिलती है तो योग भी आसानी से आ जाएगा।

— अक्कल

@ अक्षल यह तथ्य नहीं है कि मैंने यह प्रश्न साक्ष्य पहले ही पोस्ट कर दिया है? शायद अगर आप इसे जानते हैं, तो आप अवधारणा को स्पष्ट कर सकते हैं?

— Gosset

शानदार जवाब दिए गए हैं। एक और अच्छा उदाहरण दो पासा, का योग है । परिणाम स्पष्ट रूप से यादृच्छिक है (आप पहले से नहीं जानते कि दोनों की मृत्यु का योग क्या होगा)। हम जानते हैं कि एक्स , वाई ~ यू एन मैं च ( 1 , 6 ) और स्वतंत्र। यह पता चला है कि X + Y में त्रिकोणीय वितरण है। $X+Y$$X,Y\sim Unif(1,6)$$X+Y$

— bdeonovic

Answer 1

एक यादृच्छिक चर का एक भौतिक, सहज ज्ञान युक्त मॉडल कागज के एक या एक से अधिक पर्चियों पर आबादी के हर सदस्य के नाम को लिखना है - "टिकट" - और उन टिकटों को एक बॉक्स में डाल दें। बॉक्स की सामग्री को अच्छी तरह से मिश्रण करने की प्रक्रिया, उसके बाद आँख बंद करके एक टिकट खींचना - बिल्कुल एक लॉटरी में - यादृच्छिकता मॉडल के रूप में। गैर-समान संभावनाएं बॉक्स में टिकटों की परिवर्तनीय संख्याओं को प्रस्तुत करके तैयार की जाती हैं: अधिक संभावित सदस्यों के लिए अधिक टिकट, कम संभावित के लिए कम।

एक यादृच्छिक चर जनसंख्या के प्रत्येक सदस्य के साथ जुड़ी संख्या है। (इसलिए, स्थिरता के लिए, किसी दिए गए सदस्य के लिए प्रत्येक टिकट पर एक ही नंबर लिखा होता है।) एक से अधिक संख्या के लिए टिकटों पर स्थान आरक्षित करके कई यादृच्छिक चर बनाए जाते हैं। हम आम तौर पर की तरह उन रिक्त स्थान नाम दे वाई , और जेड । योग , योग के लिए हर टिकट पर एक नया स्थान आरक्षित के मूल्यों बंद पढ़ें: उन यादृच्छिक चर के सामान्य योग है एक्स $X,$ $Y,$$Z$$X,$ आदिप्रत्येक टिकट पर, और कहा कि नए अंतरिक्ष में उनका योग लिखें। यह टिकटों पर संख्या लिखने का एक सुसंगत तरीका है, इसलिए यह एक और यादृच्छिक चर है।$Y,$

यह आंकड़ा एक बॉक्स की आबादी का प्रतिनिधित्व करने का चित्रण और तीन यादृच्छिक परिवर्तनीय एक्स , वाई , और एक्स + वाई । यह छह टिकट शामिल हैं: के लिए तीन α (नीला) इसके बारे में एक संभावना दे 3 / 6 , के लिए दो β (पीला) इसके बारे में एक संभावना दे 2 /$\Omega=\{\alpha,\beta,\gamma\}$$X$$Y$$X+Y$$\alpha$$3/6$$\beta$$2/6$ , और के लिए एक (हरा) इसके बारे में एक संभावना देना 1 /$\gamma$$1/6$। टिकटों पर जो लिखा गया है उसे प्रदर्शित करने के लिए, उन्हें मिश्रित होने से पहले दिखाया गया है।

इस दृष्टिकोण की सुंदरता यह है कि प्रश्न के सभी विरोधाभासी भाग सही हो जाते हैं:

• यादृच्छिक चर का योग वास्तव में एकल, निश्चित संख्या (जनसंख्या के प्रत्येक सदस्य के लिए) है,

• फिर भी यह एक वितरण की ओर जाता है (आवृत्तियों द्वारा दिया जाता है जिसके साथ बॉक्स में योग प्रकट होता है), और

• यह अभी भी प्रभावी रूप से एक यादृच्छिक प्रक्रिया को मॉडल करता है (क्योंकि टिकट अभी भी बॉक्स से नेत्रहीन रूप से तैयार हैं)।

इस फैशन में योग एक साथ एक निश्चित मूल्य हो सकता है (प्रत्येक टिकट पर संख्याओं पर लागू किए गए नियमों के अनुसार दिया जाता है), जबकि बोध - जो बॉक्स से लिया गया टिकट होगा - तब तक कोई मूल्य नहीं है यह किया जाता है।

एक बॉक्स से टिकट खींचने का यह भौतिक मॉडल सैद्धांतिक साहित्य में अपनाया गया है और नमूना स्थान (आबादी), सिग्मा अल्जेब्रा (उनके सम्बद्ध संभाव्यता उपायों के साथ) की परिभाषाओं के साथ कठोर बना दिया गया है, और नमूना स्थान पर परिभाषित औसत दर्जे के रूप में यादृच्छिक चर ।

रैंडम वैरिएबल का यह खाता विस्तृत है, यथार्थवादी उदाहरणों के साथ, "रैंडम वैरिएबल का क्या मतलब है?"।

Comments

+1 अनुकरणीय पद। मुझे आशा है कि आप अभेद्य प्रश्न का बुरा नहीं मानते, लेकिन इसमें किया गया चित्रण क्या था?

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@Glen_b PowerPoint :-)। एक बॉक्स की छवि mymiddlec.files.wordpress.com/2013/09/empty-box.jpg से है । टिकट PowerPoint ग्राफिक्स हैं। (इस तरह के सवालों के बारे में कुछ भी असंगत नहीं है!) मैंने पूरे झुंड को समूहीकृत किया, इसे पेंट में चिपकाया, और इसे एक पीपीपी फ़ाइल के रूप में सहेजने के लिए इस्तेमाल किया।

— whuber

मुझे कुछ याद आ रहा है, लेकिन ऐसा लगता है जैसे आप आबादी के प्रत्येक सदस्य पर कई संख्यात्मक लेबल लिख रहे हैं। सभी अल्फ़ाज़ों में X = 1, Y = 2 और इसलिए X + Y = 3 .. X, Y और X + Y का समान वितरण होता है, एक मान द्वारा यहाँ स्थानांतरित किया जाता है, अलग-अलग lebels के कारण

— MiloMinderbinder

@ शुभकर्ता - लिखित आवृत्तियाँ होनी चाहिए। गणितीय शब्दजाल में 'अंतर्निहित संभावना मापक' कहने में अच्छी तरह से पारंगत नहीं हैं। किसी भी तरह तुम मेरे बहाव हो रही है। मैं यह देखने के लिए शुरुआत कर रहा हूं कि मैं इसे वांछित संभावना वितरण देने के लिए टिकटों पर संख्याओं के साथ कैसे खेल सकता हूं। सरसरी स्तर पर यह दृष्टिकोण अलग-अलग 'लेबल' के साथ एक शब्दकोष की तरह लग रहा था और इसलिए इसे स्पष्ट रूप से नहीं देख रहा था। यह 50 वीं बार होगा जब आपने इस साइट पर मेरी मदद की है। धन्यवाद

— MiloMinderbinder

@ मिलो आपका स्वागत है। अब मैं देख रहा हूं कि आप इस उत्तर में उदाहरण के बजाय प्रतिक्रिया दे रहे थे जो मैंने पूर्ववर्ती टिप्पणियों में दिया था। जवाब का उदाहरण वास्तव में रिश्तेदार आवृत्ति 1: 2: 3 के साथ तीन अलग-अलग टिकट हैं, और इस मामले में "संभावना माप" का मतलब है। यह सिर्फ शब्दजाल नहीं है, हालांकि: अंतर्निहित अवधारणाओं के लिए एक गहन आवश्यकता है। देखें, कुछ अच्छे खातों के लिए , अन्य बातों के साथ, आंकड़े . stackexchange.com/questions/199280 ।

— whuber

Answer 2

इस वाक्यांश के पीछे कोई रहस्य नहीं है, यह उतना ही सरल है जितना आप सोच सकते हैं: यदि X और Y दो यादृच्छिक चर हैं, तो उनका योग X + Y है और यह योग एक यादृच्छिक चर भी है। यदि X_1, X_2, X_3, ..., X_n और n यादृच्छिक चर हैं, तो उनका योग X_1 + X_2 + X_3 + ... + X_n है और यह योग एक यादृच्छिक चर भी है (और इस राशि का बोध एक एकल है) संख्या, अर्थात् n बोध का योग)।

आप कक्षा में यादृच्छिक चर की रकम के बारे में इतनी बात क्यों करते हैं? एक कारण (अद्भुत) केंद्रीय सीमा प्रमेय है: अगर हम कई स्वतंत्र यादृच्छिक चर योग करते हैं, तो हम इस राशि के वितरण का स्वतंत्र रूप से अनुमान लगा सकते हैं (लगभग) योग में एकल चर का वितरण! यह राशि सामान्य वितरण बन जाती है और यही कारण है कि हम वास्तविक दुनिया में सामान्य वितरण का अक्सर निरीक्षण करते हैं।

Answer 3

आर.वी. एक घटना की घटना और एक वास्तविक संख्या के बीच एक संबंध है। कहते हैं, यदि यह मान 1 की बारिश कर रहा है, तो यदि यह 0. नहीं है, तो आपके पास ठंडा होने पर 10 के बराबर एक और आरवी वाई हो सकता है, और गर्म होने पर 100। तो, अगर बारिश हो रही है और ठंड है तो X = 1, Y = 10, और X + Y = 11।

एक्स + वाई मान 10 हैं (ठंड की बारिश नहीं); 11 (बारिश, ठंड), 100 (बारिश नहीं, गर्म) और 110 (बारिश, गर्म)। यदि आप घटनाओं की हमारी संभावनाओं का पता लगाते हैं, तो आपको इस नए आरवी एक्स + वाई का पीएमएफ मिलेगा।

Answer 4

$X,Y$$X+Y$$\Omega_1\times \Omega_2$$X,Y$$\Omega=\{Head,Tail\}$$X(Head)=Y(Head)=1, X(Tail)=Y(Tail)=0$$(X+Y)$$X,Y$$\sigma-$$X,Y$