आप n tosses से k शीर्षासन करते हैं। क्या सिक्का उचित है?

Question

मुझे एक साक्षात्कार में के साथ यह प्रश्न पूछा गया था । क्या कोई "सही" उत्तर है?$(n, k) = (400, 220)$

मान लें कि टॉस iid हैं और हेड्स की संभावना । 400 टोस में सिर की संख्या का वितरण सामान्य (200, 10 ^ 2) के करीब होना चाहिए, ताकि 220 सिर मतलब से 2 मानक विचलन हो। इस तरह के परिणाम (अर्थात किसी भी दिशा में औसत से अधिक 2 एसडी) दूर देखने की संभावना 5% से थोड़ी कम है।$p=0.5$

साक्षात्कारकर्ता ने मुझे बताया, अनिवार्य रूप से, "अगर मैं कुछ> = 2 एसडी का मतलब से निरीक्षण करता हूं, तो मैं निष्कर्ष निकालता हूं कि कुछ चल रहा है। मैं सिक्के के निष्पक्ष होने के खिलाफ शर्त लगाऊंगा।" यह उचित है - आखिरकार, यही सबसे अधिक परिकल्पना परीक्षण है। लेकिन क्या यह कहानी का अंत है? साक्षात्कारकर्ता के लिए जो "सही" उत्तर प्रतीत हो रहा था। मैं यहाँ क्या पूछ रहा हूँ कि क्या कुछ बारीकियों का औचित्य है।

मैं मदद नहीं कर सका, लेकिन यह निर्णय लेना कि सिक्का उचित नहीं है, इस सिक्के को उछालने के संदर्भ में एक विचित्र निष्कर्ष है। क्या मैं यह कहने के लिए सही हूं? मैं कोशिश करूँगा और नीचे समझाता हूँ।

सबसे पहले, मैं - और मैं ज्यादातर लोगों को भी मानूंगा - सिक्कों के बारे में पहले से एक मजबूत है: वे निष्पक्ष होने की बहुत संभावना रखते हैं। बेशक, जो इस बात पर निर्भर करता है कि हम निष्पक्ष होने का क्या मतलब है - एक संभावना "निष्पक्ष" को "0.5 के करीब सिर 'की संभावना होने के रूप में परिभाषित करना होगा, 0.49 और 0.51 के बीच।"

(आप भी 'उचित' जिसका अर्थ है कि सिर की संभावना बिल्कुल 0.50 के रूप में निर्धारित कर सकते हैं, जिस स्थिति होने में एक पूरी तरह से निष्पक्ष सिक्का अब बल्कि लगता है संयुक्त राष्ट्र की संभावना है।)

आपका पूर्व केवल सिक्कों के बारे में आपकी सामान्य मान्यताओं पर ही नहीं बल्कि संदर्भ पर भी निर्भर हो सकता है। यदि आपने अपनी जेब से सिक्का निकाला है, तो आप लगभग निश्चित हो सकते हैं कि यह उचित है; यदि आपके जादूगर मित्र ने इसे अपने हाथ से खींच लिया है, तो आपके पूर्व ने दो-सिर वाले सिक्कों पर अधिक भार डाला हो सकता है।

किसी भी मामले में, उचित पुजारियों के साथ आना आसान है, (i) सिक्के के निष्पक्ष होने की एक बड़ी संभावना है और (ii) आपके पोस्टीरियर को काफी हद तक आगे ले जाते हैं, यहां तक ​​कि 220 प्रमुखों के अवलोकन के बाद भी। तब आप यह निष्कर्ष निकालेंगे कि मतलबी होने के बावजूद सिक्का काफी हद तक सही था।

वास्तव में, आप ऐसे उदाहरणों का भी निर्माण कर सकते हैं जहां 400 सिर में 220 सिर का अवलोकन आपके सिक्के के निष्पक्ष होने पर अधिक भार डालता है, उदाहरण के लिए यदि सभी अनुचित सिक्कों में में सिर की संभावना है ।$\{0, 1\}$

क्या कोई मेरे लिए इस पर कुछ प्रकाश डाल सकता है?

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यह प्रश्न लिखने के बाद मुझे याद आया कि मैंने इस सामान्य स्थिति के बारे में पहले सुना था - क्या यह लिंडले का "विरोधाभास" नहीं है ?

Whuber ने टिप्पणियों में एक बहुत ही दिलचस्प लिंक डाला: यू कैन लोड ए डाई, बट यू कैनट बीअस ए कॉइन । पेज 3 से:

यह कहने का कोई मतलब नहीं है कि सिक्के के सिर की संभावना पी है, क्योंकि यह पूरी तरह से उस तरीके से निर्धारित किया जा सकता है जिसमें इसे उछाला जाता है- जब तक कि यह तेजी से स्पिन के साथ हवा में ऊंचा न हो जाए और हवा में पकड़ा जाए कोई बाउंसिंग नहीं, जिस स्थिति में पी = 1/2।

बहुत अच्छा! यह मेरे सवाल को दिलचस्प तरीके से जोड़ता है: मान लीजिए कि हम जानते हैं कि सिक्का "तेज स्पिन के साथ हवा में ऊंचा हो गया और हवा में उछलता हुआ पकड़ा गया।" तब हमें निश्चित रूप से इस परिकल्पना को अस्वीकार नहीं करना चाहिए कि सिक्का उचित है (जहां "निष्पक्ष" का अर्थ है "" पी = 1/2 होने पर "ऊपर वर्णित तरीके से फेंक दिया जाता है), क्योंकि हमारे पास प्रभावी रूप से एक पूर्व है जो सभी संभाव्यता पर डालता है। सिक्का गोरा हो रहा है। हो सकता है कि कुछ हद तक यह उचित हो कि 220 सिर के अवलोकन के बाद मैं अशक्त को अस्वीकार करने में असहज क्यों हूं।

Comments

क्या आपके प्रश्न का कोई हिस्सा बदल जाएगा यदि आप "सिक्का" की व्याख्या किसी द्विआधारी प्रक्रिया के रूपक के रूप में करते हैं जिसके बारे में आपको कोई पूर्व ज्ञान नहीं था?

— whuber

@ एक अच्छा सवाल है। मुझे लगता है कि उस मामले में मैं "पी <= 0.05" को अस्वीकार करने के साथ और अधिक तैयार होना चाहूंगा, हालांकि मुझे इस बात का पूरा यकीन नहीं है कि अपने आप को कैसे सही ठहराया जाए।

— एड्रियन

एक और मुद्दा जो मुझे परेशान करता है, वह यह है कि सवाल पूछने वाला व्यक्ति इस परिकल्पना में दिलचस्पी रखता था कि पी = 0.50 बिल्कुल। लेकिन अगर आप पी को लगातार वितरित होने के बारे में सोचते हैं, तो यह संभावना शून्य है, चाहे आप जो भी देखें। यह मुझे कुछ अंतराल से संबंधित पी के बारे में बयान करने के लिए अधिक सार्थक बनाता है। यह उस स्थिति में एक मुद्दा होगा जहां मुझे कोई पूर्व ज्ञान नहीं था और उदाहरण के लिए एक समान पूर्व का उपयोग करने का निर्णय लिया।

— एड्रियन

यह समझ में आता है। सिक्का-केंद्रित सवाल थोड़ा विचलित करने वाला है, हालांकि, क्योंकि ऐसे सवालों के जवाब आम तौर पर सिक्का उछालने के भौतिकी (और स्लीप-ऑफ-हैंड) की चर्चा में विकसित होते हैं। आप कैसे विपरीत वास्तविक स्थिति के आधार पर, अपने मजबूत महंतों को हो सकता है पर हैरान हो सकता है कि कैसे सिक्का रूप से फ़्लिप किया। "यह मतलब नहीं है सिक्का एक संभावना है कि कहने के लिए प्रमुखों की"$p$ ।

— whuber

@ एड्रियन डीजेसी मैकके इस नि: शुल्क पाठ्यपुस्तक में इस सटीक समस्या (n = 250, k = 140) के साथ इस लिंक पर चर्चा करता है : inference.phy.cam.ac.uk/itprnn/book.pdf (p63।) यह दिलचस्प हो सकता है। वह क्या कहता है पढ़ें। वह आपके लिए एक समान निष्कर्ष पर पहुंचता है।

— फ्लॉडरर

Answer 1

इस समस्या को हल करने के लिए मानक बेयसियन तरीका (सामान्य सन्निकटन के बिना) स्पष्ट रूप से आपके पूर्व स्थिति में है, इसे अपनी संभावना के साथ संयोजित करें, जो कि बीटा-वितरित है। फिर अपने पीछे के हिस्से को 50% तक एकीकृत करें, दो मानक विचलन कहें या 49% -51% या जो भी आपको पसंद हो।

यदि आपका पूर्व विश्वास निरंतर है [0,1] - जैसे कि बीटा (100,100) (यह मोटे तौर पर उचित सिक्कों पर बहुत अधिक द्रव्यमान डालता है) - तो संभावना यह है कि सिक्का शून्य है क्योंकि संभावना भी निरंतर है [0] , १]।

भले ही सिक्का निष्पक्ष हो, इसकी संभावना शून्य है, आप आमतौर पर पूर्वाग्रह के साथ उत्तर देने के लिए जो भी प्रश्न का उत्तर देने जा रहे थे। उदाहरण के लिए, कैसिनो एज क्या है जिसे सिक्का संभावनाओं पर अधिक वितरण दिया गया है।

Comments

+1, लेकिन मैं इस उत्तर को थोड़ा पूरक करना चाहूंगा। मान लीजिए कि हम एक उचित सिक्के को रूप में परिभाषित करते हैं , जैसा कि ओपी सुझाव देता है, और हम इस मामले पर अपनी 99 % पूर्व संभाव्यता को रखना चाहते हैं । फिर एक उचित पूर्व है पी ~ बीटा ( 8300 , 8300 ) , ताकि पी ( पी ∈ ( 0.49 , 0.51 ) ) = .९९,००३। प्रश्न में आंकड़ों को देखते हुए, पश्च वितरण वितरण पी | डेटा ∼ बीटा $0.49 < p < 0.51$$99\%$$p \sim \text{Beta}(8300, 8300)$ $$P(p \in (0.49, 0.51)) = 0.99003.$$ : और एक निष्पक्ष सिक्का के पीछे संभावना अभी भी बहुत बड़ी है पी ( पी ∈ ( 0.49 , 0.51 ) | डेटा ) = $p|\text{data} \sim \text{Beta}(8300+220, 8300+180)$ $$P(p \in (0.49, 0.51)|\text{data}) = 0.9886.$$

— knrumsey

Answer 2

बर्नोली वितरण के लिए मान लीजिए, इस मामले में एक सिक्के का टॉस।

$B(n=400,p=0.5)$$N(\mu=200,\sigma^2=100)$

$k$$95\%$$B(n=400,p=0.5)$$p$$B(n=400,p=0.5,k=220)$

$p=0.5$$\pi(p=0.5)=0.5$$\pi(p\neq0.5)=0.5$

$\pi(0.49\leq p\leq0.51)=0.9$$\pi(p<0.49 \cup p>0.51)=0.1$$p$

$P(0.49\leq p\leq0.51|k=220)$

$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2=0.25)$$\sigma^2=0.1$

$p$$f(p|k=220)$

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प्रश्न के तहत टिप्पणी लिखने के लिए मेरी प्रतिष्ठा पर्याप्त नहीं है। इसके बजाय मैं यहाँ आप के बारे में कुछ लिखने जा रहा हूँ एक सिक्का बायस नहीं कर सकता । @Adrian

यहाँ हमारे पास क्या है

1. $B(n=400,k=220,p=\theta)$
2. सैद्धांतिक और प्रयोग अध्ययन आप एक सिक्का को बायस नहीं कर सकते

यहाँ हमारी परिकल्पना है

$H_0:$$\hat\theta=0.5$

$H_1$

यहाँ हमारा परिणाम है

1. $H_0$
2. $H_1$

$p$$H_0$$H_1$

अन्यथा हम यहाँ परिकल्पना परीक्षण के लिए दोयम दर्जे का निर्माण करते हैं। हम इस परिकल्पना को स्वीकार नहीं कर सकते हैं कि सिक्के का टॉस निष्पक्ष है और प्रयोग के आंकड़े सही दर्ज हैं ।

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यह कहने का कोई मतलब नहीं है कि सिक्के के सिर की संभावना है

इस परिकल्पना का समर्थन करने के लिए हमारे पास प्रयोग परिणाम है।

$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2)$

$\sigma^s$

Comments

शुक्रिया झांग। एक छोटी सी नाइटी: यदि आप सिर की संभावना पर अपने पूर्व के लिए सामान्य वितरण का उपयोग करना चाहते हैं, तो मैं कहूंगा कि आपको इसे छोटा करना चाहिए ताकि पी [0, 1] में निहित हो।

— एड्रियन

बेशक वहाँ कई उचित पूर्व वितरण और इसी posteriors हैं। मेरे प्रश्न का वास्तविक बिंदु अधिक सामान्य है: यह तय करना कि सिक्का उचित नहीं है, मुझे यह सिक्का-उछालने के संदर्भ में एक विचित्र निष्कर्ष लगता है। आप उसके बारे में क्या सोचते हैं - और क्यों?

— एड्रियन

यहाँ एक सुविधाजनक पूर्व बीटा वितरण होगा, क्योंकि यह द्विपद संभावना की तरह है। लेकिन फिर से, मेरे प्रश्न का वास्तविक जोर विशिष्ट पूर्व की तुलना में अधिक सामान्य है।

— एड्रियन

$\pi(p=0.5)$$p \sim U(0,1)$$E(p) \sim f(p|k=220)$$p=0.5$$E(p)$। और हम आसानी से इस परिकल्पना को स्वीकार करते हैं कि सिक्का उचित नहीं है। विशेष रूप से इस मामले में, आप सिक्के को एक विचित्र निष्कर्ष के रूप में उचित नहीं मानेंगे।

— झांग सुचो

@ user777 झांग की प्रतिक्रिया में सामान्य वितरण दो बार दिखाई देता है, पहला द्विपद (महान) के लिए एक सन्निकटन के रूप में, और दूसरा एक पूर्व के रूप में प्रमुखों की संभावना के लिए (जब वह कहता है "पूर्व एक सामान्य वितरण p ~ N" है)। झांग - नल के बारे में आपका संपादन "सिक्का उचित है और डेटा सही ढंग से दर्ज किया गया" दिलचस्प है, इसे पोस्ट करने के लिए धन्यवाद।

— एड्रियन