क्या यह संभव है कि lognormal प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा गुणा

सबसे पहले, विश्लेषणात्मक रूप से एकीकृत करने से मेरा मतलब है कि क्या संख्यात्मक विश्लेषण (जैसे कि ट्रैपेज़ॉइडल, गॉस-लीजेंड या सिम्पसन के नियमों) के विपरीत इसे हल करने के लिए एक एकीकरण नियम है?

मेरे पास एक फ़ंक्शन $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$ जहां

g (x; μ, σ) = \frac{1}{σ x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}}

$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$ एक तार्किक वितरण का प्रायिकता घनत्व कार्य है पैरामीटर

μ

$\mu$ और

σ

$\sigma$ । नीचे, मैं अंकन को

लिए संक्षिप्त करूँगा

g (x)

$g(x)$ और संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए

उपयोग करूँगा

G (x)

$G(x)$ ।

मुझे इंटीग्रल गणना करने की आवश्यकता है

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$

वर्तमान में, मैं गॉस-लीजेंड्रे पद्धति का उपयोग करके संख्यात्मक एकीकरण के साथ कर रहा हूं। क्योंकि मुझे इसे बड़ी संख्या में चलाने की आवश्यकता है, प्रदर्शन महत्वपूर्ण है। इससे पहले कि मैं संख्यात्मक विश्लेषण / अन्य टुकड़ों का अनुकूलन करूं, मैं यह जानना चाहूंगा कि क्या इसे हल करने के लिए कोई एकीकरण नियम हैं।

मैंने एकीकरण-बाइ-पार्ट्स नियम को लागू करने की कोशिश की, और मुझे यह मिला, जहां मैं फिर से फंस गया हूं,

$\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$ ।
$u=x \implies \rd u = \rd x$
$\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$
$u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

मैं फंस गया हूं, क्योंकि मैं मूल्यांकन नहीं कर सकता $\int G(x) \rd x$ ।

यह मेरे द्वारा बनाए जा रहे सॉफ़्टवेयर पैकेज के लिए है।

distributions lognormal

— रोश
स्रोत

@Rosh, द्वारा आप lognormal वितरण का मतलब प्रायिकता घनत्व?

l o g n o r m a l

$lognormal$

— mpiktas

यह लगातार सामान्य दो cdfs के अंतर के रूप में अभिव्यक्त होता है। सामान्य cdfs कुशलता से डब्ल्यू। कोडी के तर्कसंगत चेबीशेव सन्निकटन का उपयोग करके गणना की जाती है। आपको इसकी आवश्यकता नहीं है और, लगभग निस्संदेह , इस के लिए संख्यात्मक-एकीकरण विकल्प पसंद नहीं करना चाहिए । यदि आपको अधिक विवरण की आवश्यकता है, तो मैं उन्हें पोस्ट कर सकता हूं।

— कार्डिनल

@mpiktas, Yes, lognormal प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है और lognormalCDF संचयी घनत्व फ़ंक्शन है।

— रोश

@ रोश में एक लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन है जिसका मतलब है कि सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। इस प्रकार, अपने मूल अभिन्न अंग में स्थानापन्न करें । अभिन्न एक घातांक है जिसका तर्क का द्विघात कार्य है । वर्ग को पूरा करने से यह एक सामान्य पीडीएफ के कई में बदल जाता है, इसलिए आपका उत्तर सामान्य सीडीएफ और मूल समापन बिंदु के घातांक के रूप में लिखा जाता है। सामान्य CDF (त्रुटि फ़ंक्शन का एक से अधिक) के लिए कई अच्छे अनुमान हैं।

x

$x$

\log (x)

$\log(x)$

x = \exp (y)

$x = \exp(y)$

y

$y$

— whuber

हां, @whuber और मैं एक ही बात का वर्णन कर रहे थे। आपको जहां जैसे कुछ मिलना चाहिए और और सामान्य cdf को दर्शाता है। ध्यान दें कि, , , और के मूल्यों के आधार पर , इस अभिव्यक्ति को अधिक संख्यात्मक रूप से स्थिर करने के लिए फिर से लिखने के तरीके हैं।

e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α))

$e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} (\Phi(\beta) - \Phi(\alpha))$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu+\sigma^2))/\sigma$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

a

$a$

b

$b$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— कार्डिनल

संक्षिप्त उत्तर : नहीं, यह संभव नहीं है, कम से कम प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में। हालांकि, बहुत अच्छी (और यथोचित तेजी से!) संख्यात्मक एल्गोरिदम इतनी मात्रा की गणना करने के लिए मौजूद हैं और उन्हें इस मामले में किसी भी संख्यात्मक एकीकरण तकनीक पर प्राथमिकता दी जानी चाहिए।

सामान्य सीएफडी के संदर्भ में ब्याज की मात्रा

जिस मात्रा में आप रुचि रखते हैं, वह वास्तव में एक लीनियर रैंडम वैरिएबल के सशर्त माध्य से निकटता से संबंधित है। यही है, अगर को पैरामीटर और साथ एक लॉगऑनॉर्मल के रूप में वितरित किया जाता है , तो, अपने अंकन का उपयोग करके, $X$ $\mu$ $\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}} d x = P (a \leq X \leq b) E (X ∣ a \leq X \leq b) .

$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$

इस अभिन्न के लिए एक अभिव्यक्ति पाने के लिए, प्रतिस्थापन । यह पहली बार में थोड़ा असम्बद्ध दिखाई दे सकता है। लेकिन, ध्यान दें कि इस प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए, और बस चरों के परिवर्तन से, हमें जहां और । $z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ $x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{α}^{β} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} z^{2}} d z,

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

इसलिए, जहां मानक है सामान्य संचयी वितरण समारोह।

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α)),

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

संख्यात्मक सन्निकटन

यह अक्सर कहा जाता है कि लिए कोई ज्ञात बंद फ़ॉर्म अभिव्यक्ति मौजूद नहीं है। हालांकि, 1800 के शुरुआती दौर से लिउविले का एक प्रमेय कुछ अधिक मजबूत है: इस फ़ंक्शन के लिए कोई बंद फ़ॉर्म अभिव्यक्ति नहीं है । (इस विशेष मामले में सबूत के लिए, ब्रायन कोनराड का राइटअप देखें ।) $\Phi(x)$

इस प्रकार, हमें वांछित मात्रा को अनुमानित करने के लिए संख्यात्मक एल्गोरिथ्म का उपयोग करने के लिए छोड़ दिया जाता है। यह डब्ल्यूजे कोडी के एल्गोरिथ्म के माध्यम से आईईईई डबल-सटीक फ़्लोटिंग पॉइंट के भीतर किया जा सकता है। यह है इस समस्या के लिए मानक एल्गोरिथ्म, और एक काफी कम आदेश के तर्कसंगत भाव का उपयोग, यह बहुत कुशल, भी है।

यहाँ एक संदर्भ है जो सन्निकटन पर चर्चा करता है:

डब्ल्यूजे कोडी, त्रुटि समारोह के लिए तर्कसंगत चेबीशेव अनुमोदन , गणित। अनि। , 1969, पीपी। 631--637

यह उन दोनों के बीच MATLAB और में उपयोग किया जाने वाला कार्यान्वयन भी है , यदि वे उदाहरण कोड प्राप्त करना आसान बनाते हैं। $R$

यहाँ एक संबंधित प्रश्न है, यदि आप रुचि रखते हैं।

— कार्डिनल
स्रोत