वर्दी और सामान्य वितरण का अनुपात क्या है?

चलो एक समान वितरण का पालन करें और एक सामान्य वितरण का पालन करें। बारे में क्या कहा जा सकता है $X$ $Y$ ? क्या इसके लिए कोई वितरण है? $\frac X Y$

मैंने पाया कि दो मानदंडों का अनुपात शून्य से काउची है।

— rrpp
स्रोत

जो इसके लायक है, उसके लिए

वितरण

Y / X

$Y/X$ को स्लैश वितरण कहा जाता है । मुझे नहीं पता कि क्या पारस्परिक का नाम या कोई बंद फॉर्म है।

— डेविड जे। हैरिस

और जो बड़ा वर्ग है, दोनों का अनुपात अनुपात वितरण प्रतीत होता है !

— निक स्टॉनर

@ DavidJ.Harris काफी ऐसा; +1। मैंने देखा है कि स्लेश का उपयोग कई बार मजबूती के अध्ययन में किया जाता है। शायद

X / Y

$X/Y$ - एक औंधा स्लैश के रूप में - को " बैकस्लैश वितरण " कहा जाना चाहिए ।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@rrpp क्या आप किसी मानक

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$ , या एक सामान्य

U n i f o r m (a, b)

$Uniform(a,b)$ ? यदि उत्तरार्द्ध, तो हमें यह जानना होगा कि क्या

a > 0

$a>0$ ,

a < 0

$a<0$ आदि

— wolfies

आपके जवाबों के लिए आप सभी का धन्यवाद। @wolfies

और

का सकारात्मक अर्थ है

X

$X$

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

Y

$Y$

— rrpp

जवाबों:

चलो यादृच्छिक चर पीडीएफ के साथ : $X \sim \text{Uniform}(a,b)$ $f(x)$

जहां मैंने (यह मानक केस घोंसला करता है) ग्रहण किया है । [अलग परिणाम प्राप्त हो जाएगा अगर कहते हैं पैरामीटर है, लेकिन प्रक्रिया बिल्कुल वैसा ही है। ] $0<a<b$ $\text{Uniform}(0,1)$ $a<0$

इसके अलावा, चलो , और पीडीएफ के साथ : $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ $W=1/Y$ $g(w)$

फिर, हम उत्पाद की पीडीएफ की तलाश , कहते हैं , जिसके द्वारा दिया जाता है: $V = X*W$ $h(v)$

जहां मैं मैथ्सटिका के TransformProductफंक्शन का इस्तेमाल कर रहा हूं, वहीं नॉटी-ग्रिटिज को ऑटोमेट करने के लिए, और जहां Erfएरर फंक्शन को दर्शाता है: http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

सब कुछ कर दिया।

भूखंड

यहाँ पीडीएफ के दो भूखंड हैं:

प्लॉट 1: , , ... और ... $\mu = 0$ $\sigma = 1$ $b = 3$ $a = 0, 1, 2$

प्लॉट 2: $\mu = {0,\frac12,1}$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

मोंटे कार्लो की जाँच

$\mu = \frac12$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

$h(v)$

— wolfies
स्रोत

के वितरण को खोजना संभव है $Z=\frac{X}{Y}$ $X\sim U[0,1]$ $Y \sim N(\mu,\sigma^2)$ $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (\frac{X}{Y} \leq z)

$F_Z(z) = P(Z\le z) = P\left(\frac{X}{Y} \le z \right)$

$Y>0$ $Y<0$ $Y>0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \le zY$ $Y<0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \ge zY$

$-\infty<Z<\infty$ $z>0$ $z<0$

$z>0$ $(X,Y)$

एकीकरण क्षेत्र

F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} \int_{x / z}^{\infty} f_{Y} (y) d y d x + \int_{0}^{1} \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y d x

$F_Z(z) = \int_0^1 \int_{x/z}^\infty f_Y(y) dy dx + \int_0^1 \int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy dx$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

Y

$Y$

$Z$

\begin{aligned} f_{Z} (z) & = \frac{d}{d z} \int_{0}^{1} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial z} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{z^{2}} f_{Y} (\frac{x}{z}) d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2 π} σ z^{2}} \exp (- \frac{{(\frac{x}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}) d x \end{aligned}

$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{d}{dz}\int_0^1 \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial z} \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{z^2} f_Y\left(\frac{x}{z}\right) dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma z^2} \exp \left( - \frac{\left( \frac{x}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dx \end{align*}$

परिवर्तनों के निम्नलिखित अनुक्रम का उपयोग करके उपरोक्त अभिन्न का मूल्यांकन किया जा सकता है:

$u=\frac{x}{z}$
$v=u-\mu$
$v$ $v$

f_{Z} (z) = \frac{σ}{\sqrt{2 π}} [\exp (\frac{- μ^{2}}{2 σ^{2}}) - \exp (\frac{- {(\frac{1}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}})] + μ [Φ (\frac{\frac{1}{z} - μ}{σ}) - Φ (\frac{- μ}{σ})]

$f_Z(z) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\left[ \exp\left(\frac{-\mu^2}{2\sigma^2}\right)-\exp\left(\frac{-\left(\frac{1}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \right] + \mu \left[ \Phi\left(\frac{\frac{1}{z}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right) \right]$

$\Phi(x)$ $z<0$

यह उत्तर सिमुलेशन द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। R में निम्न स्क्रिप्ट इस कार्य को करता है।

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

सत्यापन के लिए यहां कुछ रेखांकन दिए गए हैं:

$Y\sim N(0,1)$
$Y\sim N(1,1)$
$y\sim N(1,2)$

$z=0$

— Comp_Warrior
स्रोत

+1 बहुत अच्छा! बुनियादी सिद्धांतों से व्युत्पत्ति हमेशा संतोषजनक होती है और ग्राफिक्स पाठक को तुरंत यह समझने में मदद करते हैं कि आप क्या कर रहे हैं।

— whuber

$Y$ $Y=\mathcal N(7,1)$ $\min(Y)>1$ $N\le1\rm M$ $Y<1$ $\frac X Y$ $Y<0$ set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
^runif

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

— निक स्टैनर
स्रोत

अत्यधिक पूंछ घनत्व को पिघला रहे हैं। वितरण एक काउची की तरह है। (जिज्ञासा से बाहर, क्यों नहीं का उपयोग करें runif? यह अधिक मुहावरेदार लगता है और तेज भी लगता है)

— Glen_b -Reinstate Monica

क्योंकि मुझे अभी भी आर के बारे में इतना पता नहीं है, जाहिर है! :) पारितोषिक के लिए धन्यवाद!

— निक स्टॉनर

कोई चिंता नहीं। गति में अंतर इतना बड़ा नहीं है, लेकिन 10 ^ 7 तत्वों के साथ, नोटिस करने के लिए पर्याप्त है। आपको देखने लायक हिस्टोग्राम मिल सकता है ( hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))) (वितरण का लगभग 96% उन सीमाओं के अंदर लगता है)

— Glen_b -Reinstate Monica

वाह! यकीन है कि पर्याप्त। इन घनत्व भूखंडों को काफी भ्रामक बनाता है मुझे डर है! मैं उस हिस्टोग्राम में एडिट करूंगा ...

— निक स्टानर

ओह ठीक है। कोई चिंता नहीं। आप उस मामले में एक अच्छे सौदे को छोटा करना चाहते हैं। मुझे लगता है कि आदर्श रूप से सलाखों को बहुत संकीर्ण होना चाहिए, लेकिन सिर्फ काली रेखाएं नहीं।

— Glen_b -रिटनेट मोनिका