दो सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के योग में योगदान की सहज व्याख्या

अगर मैं दो सामान्य रूप से वितरित स्वतंत्र यादृच्छिक चर और के साथ साधन और और मानक विचलन और और मुझे लगता है कि पता चलता है , तो (यह मानते हुए मैं किसी भी त्रुटि नहीं किया है) सशर्त वितरण की और दी भी सामान्य रूप से साधन के साथ वितरित कर रहे हैं $X$ $Y$ $\mu_X$ $\mu_Y$ $\sigma_X$ $\sigma_Y$ $X+Y=c$ $X$ $Y$ $c$

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

और मानक विचलन

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

$c$ $c$

$(c - \mu_X - \mu_Y)$

$\mu_X=\mu_Y=0$ $\sigma_X =3$ $\sigma_Y=1$ $c=4$ $E[X|c=4]=3.6$ $E[Y|c=4]=0.4$ $9:1$ $3:1$

यह एक Math.SE प्रश्न द्वारा उकसाया गया था

normal-distribution conditional-probability

— हेनरी
स्रोत

सवाल आसानी से मामले को कम कर देता है $\mu_X = \mu_Y = 0$ $X-\mu_X$ $Y-\mu_Y$

$X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ $\rho$ $\lambda$

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

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यह तुरंत इस प्रकार है कि सशर्त वितरण के तरीके (और इसलिए भी साधन) एसडी के नहीं, बल्कि भिन्न के अनुपात से निर्धारित होते हैं।

$X$ $Y$

— व्हीबर
स्रोत

यह बहुत प्रभावशाली है, और इससे भी अधिक पूर्ण है जो मैं पूछ रहा था। मुझे आरेख और एक कथन से संतुष्ट होना चाहिए कि दीर्घवृत्त के स्पर्शरेखा दीर्घवृत्त के केंद्र से नहीं गुजरता है, इसलिए स्पर्शरेखा लाल बिंदु को उच्चतर विचलन के साथ यादृच्छिक चर से अधिक अनुपात में लेना चाहिए।

— हेनरी

यह अच्छी तरह से शब्द नहीं था। मेरा मतलब था कि केंद्र से लाल बिंदु तक की रेखा स्पर्शरेखा के लंबवत नहीं है।

— हेनरी