Bayesian प्रायिकता के दृष्टिकोण से, 95% विश्वास अंतराल में 95% प्रायिकता के साथ सही पैरामीटर क्यों नहीं है?

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विश्वास अंतराल पर विकिपीडिया पृष्ठ से :

... यदि आत्मविश्वास अंतरालों का निर्माण दोहराया (और संभवतः अलग) प्रयोगों के कई अलग-अलग डेटा विश्लेषणों में किया जाता है, तो ऐसे अंतरालों का अनुपात जिसमें पैरामीटर का सही मूल्य होता है, आत्मविश्वास स्तर से मेल खाते हैं ...

और उसी पेज से:

एक विश्वास अंतराल यह अनुमान नहीं लगाता है कि पैरामीटर का सही मूल्य विश्वास अंतराल में होने की एक विशेष संभावना है जो वास्तव में प्राप्त आंकड़ों को दिया गया है।

अगर मैंने इसे सही समझा, तो यह अंतिम कथन प्रायिकता की अक्सर व्याख्या के साथ बनाया गया है। हालांकि, एक बायेसियन संभावना परिप्रेक्ष्य से, 95% विश्वास अंतराल में 95% संभावना के साथ सही पैरामीटर क्यों नहीं है? और अगर यह नहीं है, तो निम्नलिखित तर्क के साथ क्या गलत है?

अगर मेरे पास एक ऐसी प्रक्रिया है जो मुझे पता है कि 95% समय सही उत्तर देता है तो अगले उत्तर के सही होने की संभावना 0.95 है (यह देखते हुए कि मुझे प्रक्रिया के बारे में कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं है)। इसी तरह अगर कोई मुझे एक आत्मविश्वास अंतराल दिखाता है जो एक ऐसी प्रक्रिया द्वारा बनाया गया है जिसमें 95% समय के सच्चे पैरामीटर शामिल होंगे, तो क्या मुझे यह कहने में सही नहीं होना चाहिए कि इसमें 0.95 प्रायिकता के साथ सही पैरामीटर है, जो मुझे पता है?

यह प्रश्न समान है, लेकिन समान नहीं है, 95% CI का मतलब होने के 95% संभावना क्यों नहीं है? उस प्रश्न के उत्तर इस बात पर ध्यान केंद्रित कर रहे हैं कि 95% सीआई एक 95% संभावना क्यों नहीं रखते हैं, जो लगातार दृष्टिकोण से मतलब रखते हैं। मेरा प्रश्न एक ही है, लेकिन एक बायेसियन संभावना परिप्रेक्ष्य से।

bayesian confidence-interval

— रासमस बैसथ
स्रोत

यह सोचने का एक तरीका है 95% सीआई एक "लंबे समय तक चलने वाला औसत" है। अब आपके "शॉर्ट रन" मामलों को विभाजित करने के कई तरीके हैं ताकि काफी मनमानी कवरेज प्राप्त हो - लेकिन जब औसतन कुल मिलाकर 95% देते हैं। एक अन्य, अधिक सार जिस तरह से उत्पन्न है

के लिए

ऐसी है कि

। ऐसा करने के लिए अनंत तरीके हैं। यहाँ

x_{i} \sim B e r n o u l l i (p_{i})

$x_i\sim Bernoulli (p_i)$

i = 1, 2, \dots

$i=1, 2,\dots$

\sum_{i = 1}^{\infty} p_{i} = 0.95

$\sum_{i=1}^{\infty} p_i=0.95$

x_{i}

$x_i$ इंगित करता है कि क्या ith डेटा सेट के साथ बनाया गया सीआई पैरामीटर को समाहित करता है या नहीं, और

इस मामले के लिए कवरेज संभावना है।

p_{i}

$p_i$

— probabilityislogic

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अद्यतन : कुछ वर्षों के लाभ के साथ, मैंने एक समान प्रश्न के जवाब में अनिवार्य रूप से एक ही सामग्री का अधिक संक्षिप्त उपचार किया है।

कॉन्फिडेंस रीजन कैसे बनाएं

हमें विश्वास क्षेत्रों के निर्माण के लिए एक सामान्य विधि के साथ शुरू करते हैं। यह एक एकल पैरामीटर पर लागू किया जा सकता है, एक आत्मविश्वास अंतराल या अंतराल के सेट को प्राप्त करने के लिए; और यह दो या दो से अधिक मापदंडों पर लागू किया जा सकता है, ताकि उच्च आयामी विश्वास क्षेत्रों का उत्पादन किया जा सके।

हम जोर है कि मनाया आंकड़े $D$ एक वितरण से उत्पन्न मानकों के साथ $\theta$ , अर्थात् नमूना वितरण $s(d|\theta)$ से अधिक संभव आँकड़े $d$ , और के लिए एक आत्मविश्वास क्षेत्र की तलाश $\theta$ संभव मूल्यों के दस्तावेज़ में $\Theta$ । एक उच्च घनत्व क्षेत्र (HDR) को परिभाषित करें: PDF का $h$ -HDR अपने डोमेन का सबसे छोटा उपसमूह है जो प्रायिकता $h$ का समर्थन करता है । निरूपित $h$ के -HDR $s(d|\psi)$ के रूप में $H_\psi$ , किसी के लिए $\psi \in \Theta$ । फिर, $h$ के लिए आत्मविश्वास क्षेत्र $\theta$ , डेटा दिया $D$ , सेट है $C_D = \{ \phi : D \in H_\phi \}$ । $h$ का एक विशिष्ट मान0.95 होगा।

एक आवृत्तिवादी व्याख्या

एक आत्मविश्वास क्षेत्र के पूर्ववर्ती परिभाषा इस प्रकार से

d \in H_{ψ} ⟷ ψ \in C_{d}

$d \in H_\psi \longleftrightarrow \psi \in C_d$ के साथ

C_{d} = {ϕ : d \in H_{ϕ}}

$C_d = \{ \phi : d \in H_\phi \}$ । अब ( काल्पनिक ) अवलोकनों के एक बड़े सेट की कल्पना करें

{D_{i}}

$\{D_i\}$ , समान परिस्थितियों में

D

$D$ से लिया गया । अर्थात वे

s (d | θ)

$s(d|\theta)$ से नमूने हैं । चूंकि

H_{θ}

$H_\theta$ PDF

प्रायिकता द्रव्यमान

h

$h$ का समर्थन करता है

s (d | θ)

$s(d|\theta)$ ,

P (D_{i} \in H_{θ}) = h

$P(D_i \in H_\theta) = h$ सभी के लिए

i

$i$ । इसलिए, के अंश

{D_{i}}

$\{D_i\}$ जिसके लिए

D_{i} \in H_{θ}

$D_i \in H_\theta$ है

h

$h$ । और इसलिए, उपरोक्त समानता का उपयोग करते हुए,

{D_{i}}

$\{D_i\}$ का अंशजिसके लिए

θ \in C_{D_{i}}

$\theta \in C_{D_i}$ भी

h

$h$ ।

यह है, तो, क्या frequentist दावा है $h$ के लिए आत्मविश्वास क्षेत्र $\theta$ के बराबर है:

नमूना वितरण से बड़ी संख्या में काल्पनिक अवलोकनों को $\{D_i\}$ , जो मनाया गया को जन्म देता है । फिर, सादृश्य लेकिन काल्पनिक आत्मविश्वास क्षेत्रों के एक अंश के भीतर स्थित है । $s(d|\theta)$ $D$ $\theta$ $h$ $\{C_{D_i}\}$

आत्मविश्वास क्षेत्र $C_D$ इसलिए कि संभावना के बारे में कोई दावा नहीं करे $\theta$ झूठ कहीं! कारण बस इतना है कि फोमुलेशन में ऐसा कुछ भी नहीं है जो हमें $\theta$ से अधिक संभावना वितरण की बात करने की अनुमति देता है । व्याख्या सिर्फ विस्तृत अधिरचना है, जो आधार में सुधार नहीं करती है। आधार ही है $s(d | \theta)$ और $D$ , जहां $\theta$ एक वितरित मात्रा के रूप में प्रकट नहीं होता है, और कोई जानकारी हमने उस पते पर उपयोग कर सकते हैं नहीं है। $\theta$ पर वितरण पाने के लिए मूल रूप से दो तरीके हैं :

हाथ में जानकारी से सीधे एक वितरण असाइन करें: $p(\theta | I)$ ।
संबंधित $\theta$ एक और वितरित मात्रा करने के लिए: $p(\theta | I) = \int p(\theta x | I) dx = \int p(\theta | x I) p(x | I) dx$ ।

दोनों मामलों में, $\theta$ बाईं कहीं पर दिखाई देना चाहिए। फ़्रीक्वॉन्सर या तो विधि का उपयोग नहीं कर सकते हैं, क्योंकि दोनों को एक आनुवांशिक पूर्व की आवश्यकता होती है।

एक बायसियन व्यू

सबसे एक बायेसियन के लिए कर सकते हैं $h$ आत्मविश्वास क्षेत्र $C_D$ , योग्यता के बिना दिए गए हैं, बस प्रत्यक्ष व्याख्या है: यह है कि यह का सेट है $\phi$ जिसके लिए $D$ में गिर जाता है $h$ -HDR $H_\phi$ नमूना वितरण की $s(d|\phi)$ । यह जरूरी नहीं कि हमें $\theta$ बारे में ज्यादा बताए , और यहाँ क्यों है।

संभावना है कि $\theta \in C_D$ , यह देखते हुए $D$ और पृष्ठभूमि जानकारी $I$ , है:

\begin{aligned} P (θ \in C_{D} | D I) & = \int_{C_{D}} p (θ | D I) d θ \\ = \int_{C_{D}} \frac{p (D | θ I) p (θ | I)}{p (D | I)} d θ \end{aligned}

$\begin{align*} P(\theta \in C_D | DI) &= \int_{C_D} p(\theta | DI) d\theta \\ &= \int_{C_D} \frac{p(D | \theta I) p(\theta | I)}{p(D | I)} d\theta \end{align*}$ ध्यान दें कि, frequentist व्याख्या के विपरीत, हम तुरंत पर एक वितरण की मांग की है

θ

$\theta$ । पृष्ठभूमि जानकारी

I

$I$ हमें बताता है, के रूप में पहले, कि नमूना वितरण है

s (d | θ)

$s(d | \theta)$ :

\begin{aligned} P (θ \in C_{D} | D I) & = \int_{C_{D}} \frac{s (D | θ) p (θ | I)}{p (D | I)} d θ \\ = \frac{\int_{C_{D}} s (D | θ) p (θ | I) d θ}{p (D | I)} \\ i.e. P (θ \in C_{D} | D I) & = \frac{\int_{C_{D}} s (D | θ) p (θ | I) d θ}{\int s (D | θ) p (θ | I) d θ} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\theta \in C_D | DI) &= \int_{C_D} \frac{s(D | \theta) p(\theta | I)}{p(D | I)} d \theta \\ &= \frac{\int_{C_D} s(D | \theta) p(\theta | I) d\theta}{p(D | I)} \\ \text{i.e.} \quad\quad P(\theta \in C_D | DI) &= \frac{\int_{C_D} s(D | \theta) p(\theta | I) d\theta}{\int s(D | \theta) p(\theta | I) d\theta} \end{align*}$ अब इस अभिव्यक्ति सामान्य करने के लिए मूल्यांकन में नहीं है

h

$h$ है, जो कहने के लिए है,

h

$h$ आत्मविश्वास क्षेत्र

C_{D}

$C_D$ हमेशा शामिल नहीं है

θ

$\theta$ संभावना के साथ

h

$h$ । वास्तव में यह st से

h

$h$ से भिन्न हो सकता है। हालाँकि, कई सामान्य स्थितियाँ हैं जिनमें यह

मूल्यांकनकरता है, यही कारण है कि आत्मविश्वास क्षेत्र अक्सर हमारे संभाव्य अंतर्ज्ञान के अनुरूप होते हैं।

h

$h$

उदाहरण के लिए, की है कि पूर्व संयुक्त पीडीएफ लगता $d$ और $\theta$ कि में सममित है $p_{d,\theta}(d,\theta | I) = p_{d,\theta}(\theta,d | I)$ । (जाहिर है यह एक धारणा में एक ही डोमेन पर पीडीएफ पर्वतमाला शामिल हैं जो $d$ और $\theta$ फिर, पहले है अगर।) $p(\theta | I) = f(\theta)$ , हमारे पास $s(D | \theta) p(\theta | I) = s(D | \theta) f(\theta) = s(\theta | D) f(D)$ । इसलिए

\begin{aligned} P (θ \in C_{D} | D I) & = \frac{\int_{C_{D}} s (θ | D) d θ}{\int s (θ | D) d θ} \\ i.e. P (θ \in C_{D} | D I) & = \int_{C_{D}} s (θ | D) d θ \end{aligned}

$\begin{align*} P(\theta \in C_D | DI) &= \frac{\int_{C_D} s(\theta | D) d\theta}{\int s(\theta | D) d\theta} \\ \text{i.e.} \quad\quad P(\theta \in C_D | DI) &= \int_{C_D} s(\theta | D) d\theta \end{align*}$ एक hdr की परिभाषा हम जानते से उस के लिए किसी भी

ψ \in Θ

$\psi \in \Theta$

\begin{aligned} \int_{H_{ψ}} s (d | ψ) d d & = h \\ and therefore that \int_{H_{D}} s (d | D) d d & = h \\ or equivalently \int_{H_{D}} s (θ | D) d θ & = h \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{H_\psi} s(d | \psi) dd &= h \\ \text{and therefore that} \quad\quad \int_{H_D} s(d | D) dd &= h \\ \text{or equivalently} \quad\quad \int_{H_D} s(\theta | D) d\theta &= h \end{align*}$ इसलिए, यह देखते हुए कि

s (d | θ) f (θ) = s (θ | d) f (d)

$s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d)$ ,

C_{D} = H_{D}

$C_D = H_D$ का तात्पर्य

P (θ \in C_{D} | D I) = h

$P(\theta \in C_D | DI) = h$ । पूर्ववर्ती संतुष्ट

C_{D} = H_{D} ⟷ \forall ψ [ψ \in C_{D} \leftrightarrow ψ \in H_{D}]

$C_D = H_D \longleftrightarrow \forall \psi \; [ \psi \in C_D \leftrightarrow \psi \in H_D ]$ शीर्ष के निकट तुल्यता आवेदन:

C_{D} = H_{D} ⟷ \forall ψ [D \in H_{ψ} \leftrightarrow ψ \in H_{D}]

$C_D = H_D \longleftrightarrow \forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ]$ इस प्रकार, आत्मविश्वास क्षेत्र

C_{D}

$C_D$ में शामिल है

θ

$\theta$ संभावना के साथ

h

$h$ अगर के लिए सभी संभव मूल्यों

ψ

$\psi$ के

θ

$\theta$ ,

h

$h$ की -HDR

s (d | ψ)

$s(d | \psi)$ शामिल

D

$D$ यदि और केवल यदि

h

$h$ के -HDR

s (d | D)

$s(d | D)$ शामिल

ψ

$\psi$ ।

अब सममित संबंध $D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D$ सभी के लिए संतुष्ट हो जाता है $\psi$ जब $s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D)$ सभी के लिए $\delta$ इस बात का समर्थन अवधि $s(d | D)$ और $s(d | \psi)$ । इसलिए हम निम्नलिखित तर्क तैयार कर सकते हैं:

$s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d)$ (आधार)
$\forall \psi \; \forall \delta \; [ s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D) ]$ (आधार)
$\forall \psi \; \forall \delta \; [ s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D) ] \longrightarrow \forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ]$
$\therefore \quad \forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ]$
$\forall \psi \; [ D \in H_\psi \leftrightarrow \psi \in H_D ] \longrightarrow C_D = H_D$
$\therefore \quad C_D = H_D$
$[s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d) \wedge C_D = H_D] \longrightarrow P(\theta \in C_D | DI) = h$
$\therefore \quad P(\theta \in C_D | DI) = h$

Let's apply the argument to a confidence interval on the mean of a 1-D normal distribution $(\mu, \sigma)$ , given a sample mean $\bar{x}$ from $n$ measurements. We have $\theta = \mu$ and $d = \bar{x}$ , so that the sampling distribution is

s (d | θ) = \frac{\sqrt{n}}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{n}{2 σ^{2}} {(d - θ)}^{2}}

$s(d | \theta) = \frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{n}{2 \sigma^2} { \left( d - \theta \right) }^2 }$ Suppose also that we know nothing about

θ

$\theta$ before taking the data (except that it's a location parameter) and therefore assign a uniform prior:

f (θ) = k

$f(\theta) = k$ . Clearly we now have

s (d | θ) f (θ) = s (θ | d) f (d)

$s(d | \theta) f(\theta) = s(\theta | d) f(d)$ , so the first premise is satisfied. Let

s (d | θ) = g ((d - θ)^{2})

$s(d | \theta) = g\left( (d - \theta)^2 \right)$ . (i.e. It can be written in that form.) Then

\begin{matrix} s (ψ + δ | ψ) = g ((ψ + δ - ψ)^{2}) = g (δ^{2}) \\ and s (D - δ | D) = g ((D - δ - D)^{2}) = g (δ^{2}) \\ so that \forall ψ \forall δ [s (ψ + δ | ψ) = s (D - δ | D)] \end{matrix}

$\begin{gather*} s(\psi + \delta | \psi) = g \left( (\psi + \delta - \psi)^2 \right) = g(\delta^2) \\ \text{and} \quad\quad s(D - \delta | D) = g \left( (D - \delta - D)^2 \right) = g(\delta^2) \\ \text{so that} \quad\quad \forall \psi \; \forall \delta \; [s(\psi + \delta | \psi) = s(D - \delta | D)] \end{gather*}$ whereupon the second premise is satisfied. Both premises being true, the eight-point argument leads us to conclude that the probability that

θ

$\theta$ lies in the confidence interval

C_{D}

$C_D$ is

h

$h$ !

We therefore have an amusing irony:

The frequentist who assigns the $h$ confidence interval cannot say that $P(\theta \in C_D) = h$ , no matter how innocently uniform $\theta$ looks before incorporating the data.
The Bayesian who would not assign an $h$ confidence interval in that way knows anyhow that $P(\theta \in C_D | DI) = h$ .

Final Remarks

We have identified conditions (i.e. the two premises) under which the $h$ confidence region does indeed yield probability $h$ that $\theta \in C_D$ . A frequentist will baulk at the first premise, because it involves a prior on $\theta$ , and this sort of deal-breaker is inescapable on the route to a probability. But for a Bayesian, it is acceptable---nay, essential. These conditions are sufficient but not necessary, so there are many other circumstances under which the Bayesian $P(\theta \in C_D | DI)$ equals $h$ . Equally though, there are many circumstances in which $P(\theta \in C_D | DI) \ne h$ , especially when the prior information is significant.

We have applied a Bayesian analysis just as a consistent Bayesian would, given the information at hand, including statistics $D$ . But a Bayesian, if he possibly can, will apply his methods to the raw measurements instead---to the $\{x_i\}$ , rather than $\bar{x}$ . Oftentimes, collapsing the raw data into summary statistics $D$ destroys information in the data; and then the summary statistics are incapable of speaking as eloquently as the original data about the parameters $\theta$ .

— CarbonFlambe--Reinstate Monica
स्रोत

Would it be correct to say that a Bayesian is committed to take all the available information into account, while interpretation given in the question ignored D in some sense?

— qbolec

Is it a good mental picture to illustrate the situation: imagine a grayscale image, where intensity of pixel x,y is the joint ppb of real param being y and observed stat being x. In each row y, we mark pixels which have 95% mass of the row. For each observed stat x, we define CI(x) to be the set of rows which have marked pixels in column x. Now, if we choose x,y randomly then CI(x) will contain y iff x,y was marked, and mass of marked pixels is 95% for each y. So, frequentists say that keeping y fixed, chance is 95%, OP says, that not fixing y also gives 95%, and bayesians fix y and don't know

— qbolec

@qbolec It is correct to say that in the Bayesian method one cannot arbitrarily ignore some information while taking account of the rest. Frequentists say that for all

y

$y$ the expectation of

y \in C I (x)

$y \in \mathrm{CI}(x)$ (as a Boolean integer) under the sampling distribution

p r o b (x | y, I)

$\mathrm{prob}(x\, |\, y, I)$ is 0.95. The frequentist 0.95 is not a probability but an expectation.

— CarbonFlambe--Reinstate Monica

6

from a Bayesian probability perspective, why doesn't a 95% confidence interval contain the true parameter with 95% probability?

Two answers to this, the first being less helpful than the second

There are no confidence intervals in Bayesian statistics, so the question doesn't pertain.
In Bayesian statistics, there are however credible intervals, which play a similar role to confidence intervals. If you view priors and posteriors in Bayesian statistics as quantifying the reasonable belief that a parameter takes on certain values, then the answer to your question is yes, a 95% credible interval represents an interval within which a parameter is believed to lie with 95% probability.

If I have a process that I know produces a correct answer 95% of the time then the probability of the next answer being correct is 0.95 (given that I don't have any extra information regarding the process).

yes, the process guesses a right answer with 95% probability

Similarly if someone shows me a confidence interval that is created by a process that will contain the true parameter 95% of the time, should I not be right in saying that it contains the true parameter with 0.95 probability, given what I know?

Just the same as your process, the confidence interval guesses the correct answer with 95% probability. We're back in the world of classical statistics here: before you gather the data you can say there's a 95% probability of randomly gathered data determining the bounds of the confidence interval such that the mean is within the bounds.

With your process, after you've gotten your answer, you can't say based on whatever your guess was, that the true answer is the same as your guess with 95% probability. The guess is either right or wrong.

And just the same as your process, in the confidence interval case, after you've gotten the data and have an actual lower and upper bound, the mean is either within those bounds or it isn't, i.e. the chance of the mean being within those particular bounds is either 1 or 0. (Having skimmed the question you refer to it seems this is covered in much more detail there.)

How to interpret a confidence interval given to you if you subscribe to a Bayesian view of probability.

There are a couple of ways of looking at this

Technically, the confidence interval hasn't been produced using a prior and Bayes theorem, so if you had a prior belief about the parameter concerned, there would be no way you could interpret the confidence interval in the Bayesian framework.
Another widely used and respected interpretation of confidence intervals is that they provide a "plausible range" of values for the parameter (see, e.g., here). This de-emphasises the "repeated experiments" interpretation.

Moreover, under certain circumstances, notably when the prior is uninformative (doesn't tell you anything, e.g. flat), confidence intervals can produce exactly the same interval as a credible interval. In these circumstances, as a Bayesianist you could argue that had you taken the Bayesian route you would have gotten exactly the same results and you could interpret the confidence interval in the same way as a credible interval.

— TooTone
स्रोत

but for sure confidence intervals exist even if I subscribe to a bayesian view of probability, they just wont dissapear, right? :)The situation I was asking about was how to interpret a confidence interval given to you if you subscribe to a Bayesian view of probability.

— Rasmus Bååth

The problem is that confidence intervals aren't produced using a Bayesian methodology. You don't start with a prior. I'll edit the post to add something which might help.

— TooTone

2

I'll give you an extreme example where they are different.

Suppose I create my 95% confidence interval for a parameter $\theta$ as follows. Start by sampling the data. Then generate a random number between $0$ and $1$ . Call this number $u$ . If $u$ is less than $0.95$ then return the interval $(-\infty,\infty)$ . Otherwise return the "null" interval.

Now over continued repititions, 95% of the CIs will be "all numbers" and hence contain the true value. The other 5% contain no values, hence have zero coverage. Overall, this is a useless, but technically correct 95% CI.

The Bayesian credible interval will be either 100% or 0%. Not 95%.

— probabilityislogic
स्रोत

So is it correct to say that before seeing a confidence interval there is a 95% probability that it will contain the true parameter, but for any given confidence interval the probability that it covers the true parameter depends on the data (and our prior)? To be honest, what I'm really struggling with is how useless confidence intervals sounds (credible intervals I like on the other hand) and the fact that I never the less will have to teach them to our students next week... :/

— Rasmus Bååth

This question has some more examples, plus a very good paper comparing the two approaches

— probabilityislogic

1

"from a Bayesian probability perspective, why doesn't a 95% confidence interval contain the true parameter with 95% probability? "

In Bayesian Statistics the parameter is not a unknown value, it is a Distribution. There is no interval containing the "true value", for a Bayesian point of view it does not even make sense. The parameter it's a random variable, you can perfectly know the probability of that value to be between x_inf an x_max if you know the distribuition. It's just a diferent mindset about the parameters, usually Bayesians used the median or average value of the distribuition of the parameter as a "estimate". There is not a confidence interval in Bayesian Statistics, something similar is called credibility interval.

Now from a frequencist point of view, the parameter is a "Fixed Value", not a random variable, can you really obtain probability interval (a 95% one) ? Remember that it's a fixed value not a random variable with a known distribution. Thats why you past the text :"A confidence interval does not predict that the true value of the parameter has a particular probability of being in the confidence interval given the data actually obtained."

The idea of repeating the experience over and over... is not Bayesian reasoning it's a Frequencist one. Imagine a real live experiment that you can only do once in your life time, can you/should you built that confidence interval (from the classical point of view )?.

But... in real life the results could get pretty close ( Bayesian vs Frequencist), maybe thats why It could be confusing.

— blew
स्रोत