निर्भर ची-वर्ग यादृच्छिक चर के अनुपात का वितरण

मान लें कि जहां स्वतंत्र हैं। $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

मेरा सवाल है, वितरण क्या करता है

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

का पालन करें? मैं यहाँ से जानता हूँ कि दो ची-वर्ग यादृच्छिक यादृच्छिक चर का अनुपात रूप में व्यक्त किया गया है जो बीटा वितरण का अनुसरण करता है। मुझे लगता है कि यह और बीच स्वतंत्रता को मानता है । हालांकि मेरे मामले में, के हर में वर्ग के घटक होते हैं । $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

मुझे लगता है कि को भी बीटा वितरण की भिन्नता का पालन करना चाहिए, लेकिन मुझे यकीन नहीं है। और अगर यह धारणा सही है, तो मुझे नहीं पता कि इसे कैसे साबित किया जाए। $Z$

— x0dros
स्रोत

क्योंकि भाजक का वितरण घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है, आप को बराबर , जो आपके प्रश्न को कुछ परिचित :-) तक कम कर देता है।

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$

— whuber

मुझे पूरा यकीन है @whuber का मतलब वही है जो वहाँ टाइप किया गया था। जब आप कहते हैं कि 'नॉमिनेट' का मतलब है 'न्यूमेरेटर'?

— Glen_b -Reinstate मोनिका

जब आप कुछ भी घुमाते हैं तो आप (परिभाषा के अनुसार) उसकी लंबाई को संरक्षित करते हैं। इसलिए के किसी भी घुमाए गए संस्करण का विचरण के विचरण के बराबर होना चाहिए , जो कि : है, जहां शब्द आता है।

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@ हमारा उत्तर वास्तव में बहुत दिलचस्प लगता है, लेकिन मुझे इसके बारे में कुछ संदेह है। जब आप कहते हैं कि मैं को बराबर बनने के लिए घुमा सकता , तो इसका मूल रूप से यह अर्थ है कि मैं के अंश को रूप में फिर से लिख सकता हूं और परिणामस्वरूप, स्वयं में बदल जाता है । अब, अगर मैं और और चूंकि और स्वतंत्र हैं, तो मैं मान सकता हूं कि पास है

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$ वितरण और आगे। क्या मैं अब आपकी बात पर ध्यान दे रहा हूं? तो, यहाँ मेरा भ्रम है। घूर्णी व्युत्क्रम और संशोधन की अवधारणा का उपयोग करने से पहले

— ssah

@ssah आप मेरे तर्क के अपने आवेदन में गलती करते हैं: भाजक में बिना , इसका वितरण अब मनमाने घुमाव के लिए अपरिवर्तित नहीं है और इसलिए निष्कर्ष अब पकड़ में नहीं आते हैं।

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

यह पोस्ट प्रश्नों के उत्तरों में विस्तार से बताती है।

चलो । किसी भी की इकाई लंबाई को ठीक करें। इस तरह के वेक्टर को हमेशा एक असामान्य आधार ( उदाहरण के लिए, ग्राम-श्मिट प्रक्रिया के माध्यम से ) पूरा किया जा सकता है। आधार का यह परिवर्तन (सामान्य से) ऑर्थोगोनल है: यह लंबाई नहीं बदलता है। इस प्रकार का वितरण $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

पर निर्भर नहीं करता है । ले रहा है से पता चलता है यह एक ही वितरण के रूप में है $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

चूँकि iid नॉर्मल हैं, इसलिए उन्हें टाइम्स के रूप में लिखा जा सकता है iid मानक नॉर्मल वैरिएबल और उनके वर्ग गुना डिस्ट्रीब्यूशन होते हैं। चूंकि स्वतंत्र वितरण का योग , हमने निर्धारित किया है कि का वितरण है $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

जहाँ और स्वतंत्र हैं। यह सर्वविदित है कि इस अनुपात में एक बीटा वितरण है। (इसके अलावा को बारीकी से संबंधित धागा देखने का वितरण अगर बीटा और ची-वर्ग के साथ डिग्री ।) $U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

चूँकि

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

इकाई वेक्टर के लिए , हम निष्कर्ष है कि है बार एक बीटा भिन्न। के लिए यह इसलिए घनत्व समारोह है $\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

अंतराल पर (और अन्यथा शून्य है)। $(0,n)$

एक जाँच के रूप में, मैंने लिए स्वतंत्र और , उनके हिस्टोग्राम को प्लॉट किया, और इसी बीटा घनत्व (लाल रंग में) के ग्राफ को । समझौते बेहतरीन हैं। $100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

यहाँ Rकोड है। यह सूत्र के माध्यम से अनुकरण किया जाता है sum(x)^2 / sum(x^2)के लिए , जहां लंबाई का एक वेक्टर है द्वारा उत्पन्न । बाकी सिर्फ लूपिंग ( , ) और प्लॉटिंग ( , ) है। $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— व्हीबर
स्रोत