जब वास्तविक मूल्य शून्य हो तो सापेक्ष त्रुटि की गणना कैसे करें?

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वास्तविक मूल्य शून्य होने पर मैं सापेक्ष त्रुटि की गणना कैसे करूं?

कहें कि मेरे पास और । अगर मैं सापेक्ष त्रुटि को परिभाषित करता हूं: $x_{true} = 0$ $x_{test}$

$\text{relative error} = \frac{x_{true}-x_{test}}{x_{true}}$

फिर सापेक्ष त्रुटि हमेशा अपरिभाषित होती है। अगर इसके बजाय मैं परिभाषा का उपयोग करता हूं:

$\text{relative error} = \frac{x_{true}-x_{test}}{x_{test}}$

फिर सापेक्ष त्रुटि हमेशा 100% होती है। दोनों तरीके बेकार लगते हैं। क्या कोई और विकल्प है?

error measurement-error

— okj
स्रोत

मैं मोंटे कार्लो सिमुलेशन में पैरामीटर पूर्वाग्रह के बारे में सटीक एक ही सवाल था, अपनी पहली परिभाषा का उपयोग कर। मेरा एक पैरामीटर मान 0 था, इसलिए मैंने इस विशेष पैरामीटर के लिए पैरामीटर पूर्वाग्रह की गणना नहीं की ...

— पैट्रिक कॉल्मॉबे

2

समाधान इस मामले में सापेक्ष त्रुटि का उपयोग नहीं करना है।

— मार्क क्लेसेन

2

एक विकल्प, जो आपके प्रश्न का पत्र नहीं होने पर इरादे के प्रति प्रतिक्रिया करता है, थोड़ा अलग उपाय का उपयोग करना है जो सापेक्ष त्रुटि के साथ निकटता से सहमत है, जब सापेक्ष त्रुटि छोटी होती है, जैसे कि | (प्रयोग जब ।) यह विशेष रूप से समाधान यह माप की इकाई में बदलाव के तहत अपरिवर्तनीय है कि में सार्वभौमिक है (क्योंकि यह कोई मनमाना स्थिरांक शामिल है)।

2 (x_{true} - x_{test}) / (| x_{true} | + | x_{test} |)

$2(x_\text{true} - x_\text{test}) / (|x_\text{true}| + |x_\text{test}|)$

0

$0$

x_{true} = x_{test} = 0

$x_\text{true}=x_\text{test}=0$

— whuber

@ मुझे लगता है कि आपको उस टिप्पणी को एक उत्तर के रूप में पोस्ट करने पर विचार करना चाहिए, क्योंकि यह मौजूदा लोगों से बेहतर लगता है।

— सिल्वरफिश

@Silver आप सही हैं - मैं एक टिप्पणी के रूप में जवाब पोस्ट करने के लिए माफी चाहता हूं। मैंने इसलिए थोड़ा विस्तार किया है कि एक उत्तर में टिप्पणी करें।

— whuber

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उद्देश्य के आधार पर, कई विकल्प हैं।

प्रयोगशाला गुणवत्ता नियंत्रण प्रक्रियाओं में उपयोग किया जाने वाला एक आम "सापेक्ष प्रतिशत अंतर" या RPD है। यद्यपि आप कई अलग-अलग सूत्र पा सकते हैं, वे सभी दो मूल्यों के अंतर की तुलना उनके औसत परिमाण से करते हैं:

d_{1} (x, y) = \frac{x - y}{(| x | + | y |) / 2} = 2 \frac{x - y}{| x | + | y |} .

$d_1(x,y) = \frac{x - y}{(|x| + |y|)/2} = 2\frac{x - y}{|x| + |y|}.$

यह एक है पर हस्ताक्षर किए अभिव्यक्ति, सकारात्मक जब से अधिक जब और नकारात्मक से अधिक । इसका मान हमेशा और बीच होता है । हर में निरपेक्ष मूल्यों का उपयोग करके यह एक उचित तरीके से नकारात्मक संख्याओं को संभालता है। अधिकांश संदर्भ जो मुझे मिल सकते हैं, जैसे कि न्यू जर्सी डीईपी साइट रीमेडिएशन प्रोग्राम डेटा क्वालिटी असेसमेंट और डेटा इवैल्यूएशन टेक्निकल गाइडेंस , डी 1 के निरपेक्ष मूल्य का उपयोग करते हैं क्योंकि वे केवल सापेक्ष त्रुटि के परिमाण में रुचि रखते हैं। $x$ $y$ $y$ $x$ $-2$ $2$ $d_1$

सापेक्ष परिवर्तन और अंतर पर एक विकिपीडिया लेख यह देखता है कि

d_{\infty} (x, y) = \frac{| x - y |}{max (| x |, | y |)}

$d_\infty(x,y) = \frac{|x - y|}{\max(|x|, |y|)}$

अक्सर फ्लोटिंग पॉइंट संख्यात्मक एल्गोरिदम में एक रिश्तेदार सहिष्णुता परीक्षण के रूप में उपयोग किया जाता है। एक ही लेख यह भी बताता है कि और जैसे सूत्र सामान्यीकृत हो सकते हैं $d_1$ $d_\infty$

d_{f} (x, y) = \frac{x - y}{f (x, y)}

$d_f(x,y) = \frac{x - y}{f(x,y)}$

जहां फ़ंक्शन सीधे और के परिमाण पर निर्भर करता है (आमतौर पर और को सकारात्मक मानते हैं)। उदाहरण के रूप में यह उनके अधिकतम, न्यूनतम और अंकगणितीय माध्य ( और के पूर्ण मानों के बिना और स्वयं के बिना) प्रदान करता है, लेकिन कोई अन्य प्रकार के औसत पर विचार कर सकता है जैसे कि ज्यामितीय माध्य , हार्मोनिक माध्य और अर्थ है । ( से मेल खाती और के रूप में सीमा से मेल खाती है $f$ $x$ $y$ $x$ $y$ $x$ $y$ $\sqrt{|x y|}$ $2/(1/|x| + 1/|y|)$ $L^p$ $((|x|^p + |y|^p)/2)^{1/p}$ $d_1$ $p=1$ $d_\infty$ $p\to \infty$ ।) और के अपेक्षित सांख्यिकीय व्यवहार के आधार पर कोई एक चुन सकता है । उदाहरण के लिए, लगभग तार्किक वितरण के साथ ज्यामितीय माध्य लिए एक आकर्षक विकल्प होगा क्योंकि यह उस परिस्थिति में एक सार्थक औसत है। $f$ $x$ $y$ $f$

इनमें से अधिकांश सूत्र कठिनाइयों में तब चलते हैं जब भाजक शून्य के बराबर होता है। कई अनुप्रयोगों में जो या तो संभव नहीं है या होने पर अंतर को शून्य पर सेट करना हानिरहित है । $x=y=0$

ध्यान दें कि सभी इन परिभाषाओं एक मौलिक निश्चरता संपत्ति का हिस्सा: जो कुछ भी सापेक्ष अंतर समारोह हो सकता है, यह भी नहीं बदलता है जब तर्क समान रूप से पुनः पैमाना कर रहे हैं : $d$ $\lambda \gt 0$

d (x, y) = d (λ x, λ y) .

$d(x,y) = d(\lambda x, \lambda y).$

यह वह गुण है जो हमें को एक सापेक्ष अंतर मानने की अनुमति देता है । इस प्रकार, विशेष रूप से, एक गैर-अपरिवर्तनीय फ़ंक्शन जैसे $d$

d (x, y) = ? \frac{| x - y |}{1 + | y |}

$d(x,y) =?\ \frac{|x-y|}{1 + |y|}$

बस योग्य नहीं है। इसके जो भी गुण हो सकते हैं, वह सापेक्ष अंतर नहीं व्यक्त करते हैं ।

कहानी यहीं खत्म नहीं होती। हम भी इसे थोड़ा आगे बढ़ने के निहितार्थ को आगे बढ़ाने के लिए उपयोगी हो सकते हैं।

वास्तविक संख्याओं के सभी क्रमबद्ध जोड़े जहां को के समान माना जाता है वह वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा । एक सामयिक अर्थ और एक बीजीय अर्थ दोनों में, एक चक्र है। कोई भी मूल माध्यम से एक अनूठी रेखा निर्धारित करता है । जब इसकी ढलान $(x,y)\ne (0,0)$ $(x,y)$ $(\lambda x, \lambda y)$ $\mathbb{RP}^1$ $\mathbb{RP}^1$ $(x,y)\ne (0,0)$ $(0,0)$ $x\ne 0$ $y/x$ ; अन्यथा हम इसके ढलान को "अनंत" (और या तो नकारात्मक या सकारात्मक) मान सकते हैं। इस ऊर्ध्वाधर रेखा के एक पड़ोस में बहुत बड़ी सकारात्मक या बहुत बड़ी नकारात्मक ढलान वाली रेखाएं होती हैं। हम ऐसी सभी पंक्तियों को उनके कोण संदर्भ में , । इस तरह के प्रत्येक सर्कल के साथ एक बिंदु है, $\theta = \arctan(y/x)$ $-\pi/2 \lt \theta \le \pi/2$ $\theta$

(ξ, η) = (\cos (2 θ), \sin (2 θ)) = (\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}, \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}) .

$(\xi, \eta) = (\cos(2\theta), \sin(2\theta)) = \left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, \frac{2xy}{x^2+y^2}\right).$

इसलिए सर्कल पर परिभाषित किसी भी दूरी का उपयोग रिश्तेदार अंतर को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

एक उदाहरण के रूप में जहां यह नेतृत्व कर सकता है, सर्कल पर सामान्य (यूक्लिडियन) दूरी पर विचार करें, जिससे दो बिंदुओं के बीच की दूरी उनके बीच के कोण का आकार है। सापेक्ष अंतर कम से कम तब होता है जब , (या जब और विपरीत संकेत होते हैं) के अनुरूप । इस दृष्टिकोण से सकारात्मक संख्या और लिए एक प्राकृतिक सापेक्ष अंतर इस कोण की दूरी होगी: $x=y$ $2\theta = \pi/2$ $2\theta = -3\pi/2$ $x$ $y$ $x$ $y$

d_{S} (x, y) = | 2 \arctan (\frac{y}{x}) - π / 2 | .

$d_S(x,y) = \left|2\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi/2\right|.$

पहले आदेश के लिए, यह सापेक्ष दूरी है- लेकिन यह होने पर भी काम करता है । इसके अलावा, यह ऊपर नहीं उड़ता है, लेकिन इसके बजाय (एक हस्ताक्षरित दूरी के रूप में) और बीच सीमित है , क्योंकि यह ग्राफ इंगित करता है: $|x-y|/|y|$ $y=0$ $-\pi/2$ $\pi/2$

यह इस बात पर संकेत देता है कि सापेक्ष अंतर को मापने के तरीके का चयन करते समय विकल्प कितने लचीले होते हैं।

— व्हीबर
स्रोत

व्यापक उत्तर के लिए धन्यवाद, आपको क्या लगता है कि इस पंक्ति के लिए सबसे अच्छा संदर्भ क्या है: "अक्सर फ्लोटिंग पॉइंट संख्यात्मक एल्गोरिदम में एक रिश्तेदार सहिष्णुता परीक्षण के रूप में उपयोग किया जाता है। एक ही लेख यह भी बताता है कि सूत्र d1d1 और d∞d∞ जैसे सूत्र हो सकते हैं। सामान्यीकृत "

— हम्माद हलीम

1

btw, कोई बात नहीं मैं इस के लिए एक शैक्षणिक संदर्भ मिला :) tandfonline.com/doi/abs/10.10/80/00031305.1985.10479385

— हम्माद हलीम

4

इसे उत्तर के रूप में क्यों नहीं चुना गया है? (खेद है कि यह एक उपयुक्त टिप्पणी नहीं है, लेकिन यह अब तक का बेहतर जवाब है)

— ब्राश इक्विलिब्रियम

2

@ आशीर्वाद मैं भावना की सराहना करता हूं। स्वीकृति विशिष्ट प्रस्तावक का प्रांत है: कोई भी इसे ओवरराइड नहीं कर सकता (सिवाय स्वीकृत पद को हटाए)। कुछ अवसरों पर जब मुझे लगता है कि आप ऐसा करते हैं, तो मैं टिप्पणी करता हूं जो स्पष्ट रूप से बताते हैं कि कैसे और क्यों मुझे लगता है कि कुछ उत्तर दूसरों की तुलना में बेहतर या अधिक उल्लेखनीय हैं। यहां तक कि अगर वह कुछ भी बदलने में विफल रहता है, तो इस तरह की टिप्पणियां सामग्री को भविष्य के पाठकों के लिए थोड़ा अधिक उपयोगी या समझने योग्य बना सकती हैं: और, अंततः, इस साइट पर हमारे काम का बिंदु है।

— whuber

1

@KutalmisB इस बात पर ध्यान देने के लिए धन्यवाद: "मिनट" का कोई मतलब नहीं है। ऐसा लगता है कि यह एक और अधिक जटिल सूत्र का संकेत हो सकता है जिसने और सभी संभावित संकेतों को संभाला है जिसे मैंने बाद में सरल बनाया है। मैंने इसे हटा दिया है।

x

$x$

y

$y$

— whuber

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सबसे पहले, ध्यान दें कि आप आमतौर पर सापेक्ष त्रुटि की गणना करने में पूर्ण मूल्य लेते हैं।

समस्या का एक सामान्य समाधान गणना करना है

relative error = \frac{| x_{true} - x_{test} |}{1 + | x_{true} |} .

$\text{relative error}=\frac{\left| x_{\text{true}}- x_{\text{test}} \right|}{1+\left|x_{\text{true}} \right|} .$

— ब्रायन बोरचर्स
स्रोत

3

इसमें यह समस्या है कि यह मूल्यों के लिए चुनी गई माप की इकाइयों के आधार पर भिन्न होता है।

— whuber

1

यह बिल्कुल सच है। यह समस्या का एक सही समाधान नहीं है, लेकिन यह एक सामान्य दृष्टिकोण है जो यथोचित रूप से अच्छी तरह से काम करता है जब अच्छी तरह से स्केल किया जाता है।

x

$x$

— ब्रायन बॉर्कर्स

क्या आप अपने जवाब में विस्तार से बता सकते हैं कि "वेल स्कैल्ड" से आपका क्या मतलब है? उदाहरण के लिए, मान लें कि डेटा और मोल / लीटर के बीच सांद्रता के लिए डिज़ाइन किए गए एक जलीय रासायनिक माप प्रणाली के अंशांकन से उत्पन्न होता है , जो तीन महत्वपूर्ण अंकों की सटीकता प्राप्त कर सकता है, कह सकता है। इसलिए आपकी "सापेक्ष त्रुटि" स्पष्ट रूप से गलत माप को छोड़कर लगातार शून्य होगी। इसके प्रकाश में, आप वास्तव में इस तरह के डेटा को कैसे पुनर्विक्रय करेंगे?

0

$0$

0.000001

$0.000001$

— whuber

1

आपका उदाहरण वह है जहां चर अच्छी तरह से नहीं बढ़ाया गया है। "अच्छी तरह से स्केल किया गया" से मेरा मतलब है कि उस चर को छोटा किया जाता है ताकि यह एक छोटी सी श्रेणी (जैसे परिमाण के आदेशों के एक जोड़े) में मूल्यों पर ले जाए। 1. यदि आपका चर आपके मुकाबले परिमाण के कई आदेशों पर मान लेता है ' अधिक गंभीर स्केलिंग समस्याएँ आईं और यह सरल तरीका पर्याप्त नहीं है।

— ब्रायन बोरचर्स

2

इस दृष्टिकोण के लिए कोई संदर्भ? इस विधि का नाम? धन्यवाद।

— क्रोको

0

मैं थोड़ी देर के लिए इस पर थोड़ा उलझन में था। अंत में, इसकी वजह यह है कि यदि आप शून्य के संबंध में सापेक्ष त्रुटि को मापने की कोशिश कर रहे हैं, तो आप कुछ ऐसा करने के लिए मजबूर करने की कोशिश कर रहे हैं जो बस मौजूद नहीं है।

यदि आप इसके बारे में सोचते हैं, तो आप सेब की तुलना संतरे से कर रहे हैं जब आप शून्य से मापी गई त्रुटि के सापेक्ष त्रुटि की तुलना करते हैं, क्योंकि शून्य से मापा गया त्रुटि मापा मूल्य के बराबर है (इसीलिए जब आप विभाजित करते हैं तो आपको 100% त्रुटि मिलती है। परीक्षण संख्या)।

उदाहरण के लिए, गेज दबाव (वायुमंडलीय से सापेक्ष दबाव) बनाम पूर्ण दबाव की त्रुटि को मापने पर विचार करें। यह कहें कि आप सही वायुमंडलीय स्थितियों पर गेज दबाव को मापने के लिए एक उपकरण का उपयोग करते हैं, और आपके डिवाइस ने वायुमंडलीय दबाव स्थान को मापा है ताकि यह 0% त्रुटि रिकॉर्ड करे। आपके द्वारा प्रदत्त समीकरण का उपयोग करना, और पहले यह मानकर कि हमने मापा गेज दबाव का उपयोग किया है, सापेक्ष त्रुटि की गणना करने के लिए: तब और और आपको 0% त्रुटि नहीं मिलती है, इसके बजाय यह अपरिभाषित है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वास्तविक प्रतिशत त्रुटि इस तरह पूर्ण दबाव मान का उपयोग करना चाहिए:

relative error = \frac{P_{g a u g e, t r u e} - P_{g a u g e, t e s t}}{P_{g a u g e, t r u e}}

$\text{relative error} = \frac{P_{gauge, true}-P_{gauge, test}}{P_{gauge, true}}$

P_{g a u g e, t r u e} = 0

$P_{gauge, true}=0$

P_{g a u g e, t e s t} = 0

$P_{gauge,test}=0$

relative error = \frac{P_{a b s o l u t e, t r u e} - P_{a b s o l u t e, t e s t}}{P_{a b s o l u t e, t r u e}}

$\text{relative error} = \frac{P_{absolute, true}-P_{absolute, test}}{P_{absolute, true}}$ अब और और आपको 0% त्रुटि मिलती है। यह सापेक्ष त्रुटि का उचित अनुप्रयोग है। मूल आवेदन जिसने गेज दबाव का उपयोग किया था, वह "सापेक्ष मूल्य के सापेक्ष त्रुटि" की तरह था जो "सापेक्ष त्रुटि" से अलग बात है। सापेक्ष त्रुटि को मापने से पहले आपको गेज दबाव को पूर्ण में बदलने की आवश्यकता है।

P_{a b s o l u t e, t r u e} = 1 a t m

$P_{absolute, true}=1atm$

P_{a b s o l u t e, t e s t} = 1 a t m

$P_{absolute,test}=1atm$

आपके प्रश्न का समाधान यह सुनिश्चित करना है कि आप सापेक्ष त्रुटि को मापते समय पूर्ण मूल्यों के साथ काम कर रहे हैं, ताकि शून्य संभावना न हो। तब आप वास्तव में सापेक्ष त्रुटि प्राप्त कर रहे हैं, और इसे अनिश्चितता या आपकी वास्तविक प्रतिशत त्रुटि के मीट्रिक के रूप में उपयोग कर सकते हैं। यदि आप सापेक्ष मूल्यों के साथ रहना चाहते हैं, तो आपको पूर्ण त्रुटि का उपयोग करना चाहिए, क्योंकि आपके संदर्भ बिंदु के आधार पर सापेक्ष (प्रतिशत) त्रुटि बदल जाएगी।

0 पर एक ठोस परिभाषा डालना कठिन है ... "शून्य पूर्णांक निरूपित है 0, जिसे जब एक गिनती संख्या के रूप में उपयोग किया जाता है, तो इसका मतलब है कि कोई भी वस्तु मौजूद नहीं है।" - वोल्फ्राम मठवर्ल्ड http://mathworld.wolfram.com/Zero.html

नाइट पिक लेने के लिए स्वतंत्र महसूस करें, लेकिन शून्य का अनिवार्य रूप से कुछ भी नहीं है, यह नहीं है। यही कारण है कि सापेक्ष त्रुटि की गणना करते समय गेज दबाव का उपयोग करने का कोई मतलब नहीं है। गेज दबाव, हालांकि उपयोगी है, मानता है कि वायुमंडलीय दबाव में कुछ भी नहीं है। हम जानते हैं कि यह मामला नहीं है, क्योंकि इसमें 1 एटीएम का पूर्ण दबाव है। इस प्रकार, कुछ भी नहीं के संबंध में सापेक्ष त्रुटि, बस मौजूद नहीं है, यह अपरिभाषित है।

इस के खिलाफ बहस करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें, सीधे शब्दों में कहें: किसी भी त्वरित सुधार, जैसे नीचे के मूल्य में एक जोड़ना, दोषपूर्ण है और सटीक नहीं है। वे अभी भी उपयोगी हो सकते हैं यदि आप बस त्रुटि को कम करने की कोशिश कर रहे हैं। यदि आप अनिश्चितता के सटीक माप बनाने की कोशिश कर रहे हैं, तो इतना नहीं ...

— टिम जॉन्सन
स्रोत

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MAPE ढूँढना,

यह बहुत बहस का विषय है और कई ओपनसोर्स योगदानकर्ताओं ने उपरोक्त विषय पर चर्चा की है। अब तक सबसे कुशल दृष्टिकोण डेवलपर्स द्वारा पीछा किया जाता है। अधिक जानने के लिए कृपया इस पीआर का संदर्भ लें ।

— layman_brother
स्रोत