कौन सी भारी पूंछ, तार्किक या गामा है?

(यह एक प्रश्न पर आधारित है जो अभी ईमेल के माध्यम से मेरे पास आया था; मैंने पिछले संदर्भ से उसी व्यक्ति के साथ कुछ बातचीत को जोड़ा है।)

पिछले साल मुझे बताया गया था कि गामा वितरण लॉगऑनॉर्मल की तुलना में भारी है, और मुझे बताया गया है कि ऐसा नहीं है।

कौन है भारी पूंछ?
रिश्ते का पता लगाने के लिए मैं कुछ संसाधनों का उपयोग कर सकता हूं?

— Glen_b
स्रोत

उस व्यक्ति को जो अभी-अभी अस्वीकृत हुआ है: यह जानना उपयोगी होगा कि प्रश्न के साथ कथित समस्या क्या है।

— Glen_b

क्या मैं नहीं था, मैंने बहुत समय पहले तक उत्थान किया था। हालांकि, मुझे संदेह है कि यह आउटलेयर की उपस्थिति में टी-टेस्टिंग धारणाओं के संदर्भ में भारी-पूंछता बनाम कुर्टोसिस की उपयोगिता के बारे में था, जो आपके द्वारा पूछे जाने के साथ बिल्कुल कुछ नहीं है। डाउनवोटिंग, IMHO, समस्याग्रस्त है ।

— कार्ल

जवाबों:

वितरण की (दाएं) पूंछ बड़े मूल्यों पर अपने व्यवहार का वर्णन करती है। अध्ययन के लिए सही वस्तु इसका घनत्व नहीं है - जो कई व्यावहारिक मामलों में मौजूद नहीं है - बल्कि इसके वितरण समारोह । विशेष रूप से, क्योंकि asymptotically तक की वृद्धि चाहिए बड़ा तर्क के लिए (कुल संभाव्यता के कानून द्वारा), हम में कैसे तेजी से रुचि कर रहे हैं यह दृष्टिकोण उस asymptote: हम अपने के व्यवहार की जांच करने की जरूरत है जीवित रहने समारोह के रूप में । $F$ $F$ $1$ $x$ $1- F(x)$ $x \to \infty$

विशेष रूप से, एक वितरण एक यादृच्छिक चर के लिए "भारी" एक और एक से है प्रदान की है कि अंत में की तुलना में बड़े मूल्यों में और अधिक संभावना है । इसे औपचारिक रूप दिया जा सकता है: एक परिमित संख्या मौजूद होनी चाहिए, जैसे कि सभी , $F$ $X$ $G$ $F$ $G$ $x_0$ $x \gt x_0$

{Pr}_{F} (X > x) = 1 - F (x) > 1 - G (x) = {Pr}_{G} (X > x) .

${\Pr}_F(X\gt x) = 1 - F(x) \gt 1 - G(x) = {\Pr}_G(X\gt x).$

आकृति

इस आंकड़े में लाल वक्र एक पॉइज़न वितरण के लिए उत्तरजीविता फ़ंक्शन है । नीला वक्र एक गामा वितरण के लिए है, जिसमें समान विचरण है। अंततः नीला वक्र हमेशा लाल वक्र से अधिक होता है, यह दर्शाता है कि इस गामा वितरण में इस पॉइसन वितरण की तुलना में भारी पूंछ है। इन वितरणों का घनत्व की तुलना में आसानी से तुलना नहीं की जा सकती है, क्योंकि पॉइसन वितरण में कोई घनत्व नहीं है। $(3)$ $(3)$

यह सच है कि जब घनत्व और मौजूद होते हैं और लिए तो , तुलना में भारी होता है । हालांकि, कांसेप्ट झूठा है - और यह घनत्व के बजाय जीवित रहने के कार्यों पर पूंछ के भारीपन की परिभाषा को आधार बनाने के लिए एक सम्मोहक कारण है, भले ही अक्सर पूंछ का विश्लेषण घनत्व का उपयोग करके अधिक आसानी से किया जा सकता है। $f$ $g$ $f(x) \gt g(x)$ $x \gt x_0$ $F$ $G$

काउंटर-उदाहरणों को एक सकारात्मक वितरण के असतत वितरण का उपयोग करके बनाया जा सकता है, फिर भी तुलना में कोई भारी-पूंछ नहीं है (विवेक चाल करेंगे)। एक सतत वितरण में बड़े पैमाने पर की संभावना बदल कर भी इस मुड़ें अपना समर्थन अंक में से प्रत्येक में , लिखा (माना) एक स्केल बीटा द्वारा, एक उपयुक्त अंतराल पर समर्थन के साथ वितरण और द्वारा भारित । यह देखते हुए एक छोटे से सकारात्मक संख्या चुनें $H$ $G$ $G$ $H$ $k$ $h(k)$ $(2,2)$ $[k-\varepsilon(k), k+\varepsilon(k)]$ $h(k)$ $\delta,$ $\varepsilon(k)$ यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त रूप से छोटा है कि इस स्केल किए गए बीटा वितरण का शिखर घनत्व । निर्माण से, मिश्रण एक निरंतर वितरण है जिसका पूंछ की तरह दिखता है (यह एक राशि द्वारा एक समान रूप से थोड़ा कम है ) लेकिन इसमें स्पाइक्स हैं के समर्थन में घनत्व और उन सभी स्पाइकों के बिंदु हैं जहां वे के घनत्व को पार करते हैं । इस प्रकार Prime तुलना में हल्का-पूंछ वाला है, लेकिन हम पूंछ में कितनी भी बाहर निकले, वहां ऐसे बिंदु होंगे जहां इसका घनत्व से अधिक होता है । $f(k)/\delta$ $\delta H + (1-\delta )G$ $G^\prime$ $G$ $\delta$ $H$ $f$ $G^\prime$ $F$ $F$

आकृति

लाल वक्र एक गामा वितरण की पीडीएफ है, सोने की वक्र एक लॉगनॉर्मल वितरण की पीडीएफ है , और ब्लू वक्र (स्पाइक्स के साथ) एक मिश्रण की पीडीएफ है निर्माण प्रतिरूप में किया गया है। (लॉगरिदमिक घनत्व अक्ष पर ध्यान दें।) का उत्तरजीविता फ़ंक्शन गामा वितरण (तेजी से क्षय होने वाले विगल्स के साथ) के करीब है: यह अंततः की तुलना में कम बढ़ेगा , भले ही इसका पीडीएफ हमेशा इसके साथ स्पाइक होगा की कोई बात नहीं कितनी दूर पूंछ में बाहर हम देखो। $G$ $F$ $G^\prime$ $G^\prime$ $F$ $F$

विचार-विमर्श

संयोग से, हम इस विश्लेषण को लॉगऑनॉर्मल और गामा डिस्ट्रीब्यूशन के अस्तित्व कार्यों पर सीधे प्रदर्शन कर सकते हैं, उनके आस-पास के व्यवहार को खोजने के लिए आसपास उनका विस्तार करते हैं, और यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी lognormals में सभी गामा के लिए भारी पूंछ हैं। लेकिन, क्योंकि इन वितरणों में "अच्छा" घनत्व है, विश्लेषण यह दिखा कर आसानी से किया जाता है कि पर्याप्त रूप से बड़े , एक तार्किक घनत्व एक गामा घनत्व से अधिक है। हालांकि, हम इस विश्लेषणात्मक सुविधा को एक भारी पूंछ के अर्थ के साथ भ्रमित नहीं करते हैं । $x=\infty$ $x$

इसी तरह, हालांकि उच्च क्षण और उनके वेरिएंट (जैसे तिरछा और कुर्तोसिस) पूंछ के बारे में थोड़ा सा कहते हैं, वे पर्याप्त जानकारी प्रदान नहीं करते हैं। एक सरल उदाहरण के रूप में, हम किसी भी बड़े वितरण को इतने बड़े मूल्य पर काट सकते हैं कि उसके किसी भी क्षण को बदल दिया जाएगा - लेकिन ऐसा करते हुए हमने इसकी पूँछ को पूरी तरह से हटा दिया, जिससे यह बिना किसी वितरण के किसी भी वितरण की तुलना में हल्का हो जाएगा। समर्थन (जैसे एक गामा)।

इन गणितीय विरोधाभासों पर एक निष्पक्ष आपत्ति यह है कि पूंछ में अब तक के व्यवहार का कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं है, क्योंकि कोई भी कभी भी यह विश्वास नहीं करेगा कि कोई भी वितरण मॉडल ऐसे चरम (शायद शारीरिक रूप से अप्राप्य) मूल्यों पर मान्य होगा। हालांकि, यह दर्शाता है कि अनुप्रयोगों में हमें यह पहचानने के लिए कुछ सावधानी बरतनी चाहिए कि पूंछ का कौन सा भाग चिंता का विषय है और तदनुसार इसका विश्लेषण करें। (बाढ़ की पुनरावृत्ति के समय, उदाहरण के लिए, इस अर्थ में समझा जा सकता है: 10 साल की बाढ़, 100 साल की बाढ़, और 1000 साल की बाढ़ बाढ़ वितरण की पूंछ के विशेष वर्गों की विशेषता है।) एक ही सिद्धांत लागू होते हैं: हालांकि। यहाँ विश्लेषण का मूल उद्देश्य वितरण कार्य है न कि इसका घनत्व।

— व्हीबर
स्रोत

+1 की उत्कृष्ट चर्चा क्यों यह उत्तरजीवी फ़ंक्शन पर आधारित होनी चाहिए। मैंने प्रश्न के मूल स्रोत के लिए सिफारिश की है कि उन्हें आपकी प्रतिक्रिया पर एक नज़र रखना चाहिए।

— Glen_b

(+1) उत्तरजीविता फ़ंक्शन की व्याख्या करने की अच्छी संभाव्य चर्चा के लिए।

भारी पूंछ की यह परिभाषा ठीक है, एक परिभाषा के रूप में । लेकिन इसमें गंभीर समस्याएं हैं। विशेष रूप से, ऐसे वितरित वितरण हैं जो यकीनन भारी पूंछ हैं, जैसे कि .9999 * यू (-1.11) + .0001 * यू (-1000,1000) वितरण। दी गई "परिभाषा" के अनुसार, N (0,1) वितरण में .9999 * U (-1,1) + .0001 * U (-1000,1000) वितरण की तुलना में भारी पूंछ हैं। यह स्पष्ट रूप से मूर्खतापूर्ण है। आइए इसका सामना करते हैं: वितरण की थकान को मापने के लिए असीम रूप से कई तरीके हैं।

— पीटर वेस्टफॉल

@Peter "silliness" उठता है क्योंकि आपको लगता है कि विचारों को पीछे की ओर ले जाया गया है। आपके उदाहरणों में से किसी में भी "भारी" पूंछ नहीं है, क्योंकि वे बंधे हुए हैं। दोनों अस्तित्व के कार्य अंततः शून्य हैं और इसलिए दोनों पूंछ समान रूप से प्रकाश हैं।

— whuber

@PeterWestfall आपके पास अनंत समर्थन वाले लोगों के साथ बंधे हुए समर्थन की तुलना है, जैसे कि वे सार्थक थे। कई संदर्भ मौजूद हैं जिनमें अनावश्यक, मूर्खतापूर्ण भी होगा। उन संदर्भों में जिनमें कोई उनकी तुलना करता है एक मात्रात्मक अंतर अनुपात उपयुक्त हो सकता है। उन से परे कई संदर्भ नहीं हैं और यदि आप एक के बारे में सोच सकते हैं, तो बताएं।

— कार्ल

गामा और लोगनॉर्मल दोनों सही तिरछा, निरंतर-गुणांक-की-भिन्नता वितरण , और वे अक्सर विशेष प्रकार की घटनाओं के लिए "प्रतिस्पर्धा" मॉडल का आधार हैं। $(0,\infty)$

पूंछ के भारीपन को परिभाषित करने के लिए विभिन्न तरीके हैं, लेकिन इस मामले में मुझे लगता है कि सभी सामान्य बताते हैं कि लॉगेनॉल भारी है। (जो पहले व्यक्ति के बारे में बात कर रहा है वह वही है जो दूर की पूंछ में नहीं जाता है, लेकिन मोड के दाईं ओर थोड़ा सा (नीचे के पहले भूखंड पर 75 वें प्रतिशत के आसपास कहते हैं, जो कि लॉगऑनॉर्मल 5 से ठीक नीचे है) और गामा केवल 5 से ऊपर)

हालाँकि, चलिए शुरू करने के लिए केवल सरल तरीके से प्रश्न का पता लगाते हैं।

नीचे माध्य 4 और विचरण 4 के साथ गामा और लॉगेनॉर्मल घनत्व हैं (शीर्ष प्लॉट - गामा गहरा हरा है, लॉगनॉर्मल नीला है), और फिर घनत्व (नीचे) का लॉग, ताकि आप पूंछ में रुझानों की तुलना कर सकें:

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

शीर्ष भूखंड में बहुत विस्तार देखना मुश्किल है, क्योंकि सभी कार्रवाई 10. के दाईं ओर है, लेकिन यह दूसरे भूखंड में काफी स्पष्ट है, जहां गामा लॉगनॉमिक की तुलना में बहुत तेजी से नीचे जा रहा है।

रिश्ते का पता लगाने का एक और तरीका लॉग्स के घनत्व को देखना है, जैसा कि यहां जवाब में है ; हम देखते हैं कि लॉगनॉर्मल के लिए लॉग का घनत्व सममित है (यह सामान्य है!), और गामा के लिए बाएं-तिरछा, दाईं ओर एक हल्की पूंछ है।

हम इसे बीजगणितीय रूप से कर सकते हैं, जहां हम घनत्व के अनुपात को (या अनुपात के लॉग) के रूप में देख सकते हैं। चलो एक गामा घनत्व और हो lognormal: $x\rightarrow\infty$ $g$ $f$

\log (g (x) / f (x)) = \log (g (x)) - \log (f (x))

$\log(g(x)/f(x)) = \log(g(x)) - \log(f(x))$

= \log (\frac{1}{Γ (α) β^{α}} x^{α - 1} e^{- x / β}) - \log (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ x} e^{- \frac{(\log (x) - μ)^{2}}{2 σ^{2}}})

$=\log\left(\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}\right)-\log\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{(\log(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)$

= - k_{1} - (α - 1) \log (x) - x / β - (- k_{2} - \log (x) - \frac{(\log (x) - μ)^{2}}{2 σ^{2}})

$=-k_1-(\alpha-1)\log(x)-x/\beta - (-k_2-\log(x)-\frac{(\log(x)-\mu)^2}{2\sigma^2})$

= [c - (α - 2) \log (x) + \frac{(\log (x) - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] - x / β

$=\left[c-(\alpha-2)\log(x)+\frac{(\log(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]-x/\beta$

[] में पद एक द्विघात है in , जबकि शेष पद में रैखिक रूप से घट रहा है । कोई फर्क नहीं पड़ता कि, क्या है कि अंत में तेजी से नीचे चला जाएगा की तुलना में द्विघात बढ़ जाता है, भले ही पैरामीटर मान क्या हो । रूप में सीमा में , घनत्व के अनुपात का लॉग घटता जा रहा है , जिसका अर्थ है कि गामा pdf अंततः lognormal pdf की तुलना में बहुत छोटा है, और यह अपेक्षाकृत कम हो जाता है। यदि आप अनुपात को दूसरे तरीके से लेते हैं (शीर्ष पर लॉगनॉर्मल के साथ), तो अंततः इसे किसी भी सीमा से आगे बढ़ना चाहिए। $\log(x)$ $x$ $-x/\beta$ $x\rightarrow\infty$ $-\infty$

यही है, किसी भी दिए गए लॉगनॉर्मल को अंततः किसी भी गामा की तुलना में भारी पूंछ है ।

भारीपन की अन्य परिभाषाएँ:

कुछ लोग सही पूंछ के भारीपन को मापने के लिए तिरछा या कुर्तोसिस में रुचि रखते हैं। भिन्नता के दिए गए गुणांक में, लॉगनोर्मल दोनों अधिक तिरछा होता है और इसमें गामा की तुलना में अधिक कर्टोसिस होता है । **

उदाहरण के लिए, तिरछा होने के साथ , गामा में 2CV का तिरछा भाग होता है, जबकि लॉगनॉर्मल 3CV + AE । $^3$

वहाँ कैसे भारी पूंछ रहे हैं के विभिन्न उपायों के कुछ तकनीकी परिभाषाएं दी गई हैं यहाँ । आप इन दो वितरण के साथ उन लोगों में से कुछ की कोशिश करना पसंद कर सकते हैं। पहली परिभाषा में लॉगनॉर्मल एक दिलचस्प विशेष मामला है - इसके सभी क्षण मौजूद हैं, लेकिन इसका एमजीएफ 0 से ऊपर नहीं जुटता है, जबकि गामा के लिए एमजीएफ शून्य के आसपास के क्षेत्र में परिवर्तित होता है।

** जैसा कि निक कॉक्स नीचे उल्लेख करते हैं, गामा, विल्सन-हिलफर्टी परिवर्तन के लिए अनुमानित सामान्यता के लिए सामान्य परिवर्तन, लॉग की तुलना में कमजोर है - यह घन मूल परिवर्तन है। आकार पैरामीटर के छोटे मूल्यों पर, चौथी जड़ का उल्लेख किया गया है इसके बजाय इस उत्तर में चर्चा देखें , लेकिन किसी भी मामले में यह निकट-सामान्यता प्राप्त करने के लिए एक कमजोर परिवर्तन है।

तिरछापन (या कुर्तोसिस) की तुलना चरम पूंछ में किसी भी आवश्यक संबंध का सुझाव नहीं देती है - यह बदले में हमें औसत व्यवहार के बारे में कुछ बताती है; लेकिन यह उस कारण के लिए बेहतर हो सकता है जब मूल बिंदु चरम पूंछ के बारे में नहीं बनाया जा रहा था।

संसाधन : आर या मिनिटैब या मतलाब या एक्सेल जैसे कार्यक्रमों का उपयोग करना आसान है या जो भी आप घनत्व और लॉग-डेन्सिटीज़ को आकर्षित करना चाहते हैं और घनत्व के अनुपात को लॉग करते हैं ... और इसी तरह, यह देखने के लिए कि चीजें विशेष मामलों में कैसे जाती हैं। यही मैं इसके साथ शुरू करने का सुझाव दूंगा।

— Glen_b
स्रोत

वास्तव में यह सुझाव देता है कि, लेकिन चोटी के भारीपन, भारीपन और कर्टोसिस के बीच कोई आवश्यक संबंध नहीं है; ऐसी अपेक्षाओं के प्रतिपक्ष हैं, इसलिए हमें सावधान रहना चाहिए। दूसरा कथानक हालांकि संदेह की पुष्टि करता है।

— ग्लेन_ बी

यहाँ एक लाइनर है। यह एक परिभाषा है कि लॉग परिवर्तन सामान्य लॉग बनाने के लिए आवश्यक है; यह एक अच्छा अनुमान है कि एक घनमूल एक गामा को सामान्य बनाता है (विल्सन-हिलफर्टी बुद्धिमान के लिए दो शब्द हैं); सामान्य या गाऊसी से मजबूत परिवर्तन की आवश्यकता है "वितरण"।

— निक कॉक्स

@ ग्लेन_ब मैं सिर्फ आपकी बहुत अच्छी दिखने वाली केक में थोड़ी सजावट जोड़ रहा हूं।

— निक कॉक्स

@ निक कॉक्स मैं परिवर्तनों के बारे में बयानों से असहमत नहीं हूं। गणितीय रूप से नाजायज हिस्सा वह निष्कर्ष है जिसे आप आकर्षित करने का प्रयास करते हैं: इस तथ्य से कि एक लघुगणक लॉगानॉर्मल को सामान्य बनाता है और एक घनमूल लगभग एक गामा बनाता है, आप किसी एक की पूंछ के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं ।

— whuber

धन्यवाद; आपकी बात मेरे लिए स्पष्ट है, लेकिन मैं अपने "अंगूठे के नियम" शब्द से चिपकता हूं, और अनुभव का आह्वान भी करता हूं। जाहिर है, मेरे पास कोई प्रमेय नहीं है।

— निक कॉक्स

हालांकि कुर्टोसिस पूंछों के भारीपन से संबंधित है, यह फैट टेल्ड डिस्ट्रीब्यूशन की धारणा में और अधिक योगदान देगा , और निम्न उदाहरणों से पता चलता है कि यह अपने आप भारी हो जाएगा। इस के साथ, अब मैं ऊपर और नीचे के पदों में जो कुछ भी सीखा है, उसे पुनः प्राप्त करता हूं, जो वास्तव में उत्कृष्ट टिप्पणियां हैं। सबसे पहले, एक सही पूंछ के क्षेत्र एक्स से क्षेत्र है एक की घनत्व समारोह, उर्फ अस्तित्व समारोह, । सामान्य वितरण के लिए और गामा वितरण $\infty$ $f(x)$ $1-F(t)$ $\frac{e^{-\frac{(\log (x)-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma x};x\geq 0$ $\frac{\beta ^{\alpha } x^{\alpha -1} e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )};x\geq 0$ आइए हम उनके संबंधित अस्तित्व के कार्यों की तुलना करें और रेखांकन। ऐसा करने के लिए, मैंने मनमाने ढंग से उनके संबंधित रूपांतरों को और , साथ ही साथ उनके संबंधित अतिरिक्त कर्टोज़ और का चयन करके बराबर और के लिए हल । यह दर्शाता है $\frac{1}{2} \text{erfc}\left(\frac{ \log (x)-\mu}{\sqrt{2} \sigma}\right)$ $Q(\alpha ,\beta x)=\frac{\Gamma (\alpha , \beta x)}{\Gamma (\alpha )}$ $\left(e^{\sigma ^2}-1\right) e^{2 \mu +\sigma ^2}$ $\frac{\alpha }{\beta ^2}$ $3 e^{2 \sigma ^2}+2 e^{3 \sigma ^2}+e^{4 \sigma ^2}-6$ $\frac{6}{\alpha }$ $\mu =0, \sigma =0.8$ $\alpha \to 0.19128,\beta \to 0.335421$

नीले रंग में lognormal वितरण (LND) और नारंगी में गामा वितरण (GD) के लिए अस्तित्व समारोह। यह हमें हमारी पहली सावधानी के लिए लाता है। यही है, अगर यह साजिश हम सभी की जांच करने के लिए थी, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जीडी के लिए पूंछ एलएनडी की तुलना में भारी है। यह नहीं है कि इस तरह भूखंड के एक्स-अक्ष मूल्यों को बढ़ाकर दिखाया गया है

इस साजिश से पता चलता है कि 1) समान कर्टोज़ के साथ भी, एलएनडी और जीडी के दाएं पूंछ के क्षेत्र अलग-अलग हो सकते हैं। 2) उस ग्राफिक व्याख्या के अकेले इसके खतरे हैं, क्योंकि यह केवल सीमित सीमा पर निश्चित पैरामीटर मानों के लिए परिणाम प्रदर्शित कर सकता है। इस प्रकार, अस्तित्व के अनुपात अनुपात को सीमित करने के लिए सामान्य अभिव्यक्ति खोजने की आवश्यकता है। । मैं अनंत श्रृंखला विस्तार के साथ ऐसा करने में असमर्थ था। हालांकि, मैं टर्मिनल या एसिम्प्टोटिक फ़ंक्शंस के मध्यस्थ का उपयोग करके ऐसा करने में सक्षम था, जो अद्वितीय कार्य नहीं हैं और जहां दाहिने हाथ की रेखाएँ तब और लिए पर्याप्त है $\lim_{x\to \infty } \, \frac{S(\text{LND},x)}{S(\text{GD},x)}$ $\lim_{x\to \infty } \, \frac{F(x)}{G(x)}=1$ $F(x)$ $G(x)$ पारस्परिक रूप से स्पर्शोन्मुख होना। इन कार्यों को खोजने के लिए उपयुक्त देखभाल के साथ, यह जीवित कार्यों के मुकाबले सरल कार्यों के सबसेट की पहचान करने की क्षमता रखता है, जिसे एक से अधिक घनत्व फ़ंक्शन के साथ साझा किया जा सकता है या आयोजित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, दो अलग-अलग घनत्व कार्य साझा कर सकते हैं एक सीमित घातीय पूंछ। इस पोस्ट के पूर्व संस्करण में, यह मैं "अस्तित्व कार्यों की तुलना की गयी जटिलता" के रूप में उल्लेख कर रहा था। ध्यान दें कि, और (संयोग से और जरूरी नहीं कि और $\lim_{u\to \infty } \, \frac{\text{erfc}(u)}{\frac{e^{-u^2}}{\sqrt{\pi } u}}=1$ $\lim_{u\to \infty } \, \frac{\Gamma (\alpha ,u)}{e^{-u} u^{\alpha -1}}=1$ $\text{erfc}(u)<\frac{e^{-u^2}}{\sqrt{\pi } u}$ $\Gamma (\alpha ,u )<e^{-u} u^{\alpha -1}$ । यही है, यह एक ऊपरी बाध्य चुनने के लिए आवश्यक नहीं है, बस एक विषम समारोह)। यहाँ हम और जहां दाहिने हाथ की शर्तों के अनुपात में के समान सीमा होती है बाएं हाथ की शर्तों के रूप में। दाहिने हाथ की शर्तों के सीमित अनुपात में पैदावार को सरल बनाना $\frac{1}{2} \text{erfc}\left(\frac{\log (x)-\mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)<\frac{e^{-\left(\frac{\log (x)-\mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)^2}}{\frac{2 \left(\sqrt{\pi } (\log (x)-\mu )\right)}{\sqrt{2} \sigma }}$ $\frac{\Gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}<\frac{e^{-\text{$\beta $x}} (\beta x)^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}$ $x\to \infty$ $\lim_{x\to \infty } \, \frac{\sigma \Gamma (\alpha ) (\beta x)^{1-\alpha } e^{\beta x-\frac{(\mu -\log (x))^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } (\log (x)-\mu )}=\infty$ अर्थ है कि x के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा, LND पूंछ क्षेत्र। जीडी पूंछ क्षेत्र की तुलना में जितना बड़ा हम चाहते हैं, पैरामीटर मान चाहे जो भी हो। यह एक और समस्या लाता है, हमारे पास हमेशा ऐसे समाधान नहीं होते हैं जो सभी पैरामीटर मानों के लिए सही हों, इस प्रकार, अकेले ग्राफिक चित्र का उपयोग करना गलत हो सकता है। उदाहरण के लिए, गामा वितरण राइट टेल एरिया घातांक वितरण के टेल एरिया से अधिक होता है जब , घातीय से कम जब और जीडी बिल्कुल एक घातीय वितरण होता है जब । $\alpha < 1$ $\alpha >1$ $\alpha =1$

तब अस्तित्व कार्यों के अनुपात के लघुगणक लेने का क्या उपयोग है, क्योंकि हम स्पष्ट रूप से एक सीमित अनुपात खोजने के लिए लघुगणक लेने की आवश्यकता नहीं है? कई वितरण फ़ंक्शन में घातीय शब्द होते हैं जो लॉगरिदम लेने पर सरल दिखते हैं, और यदि अनुपात सीमा में अनंत तक जाता है जैसे कि एक्स बढ़ता है, तो लॉगरिदम ऐसा ही करेगा। हमारे मामले में, यह हमें का निरीक्षण करने की अनुमति देगा। , जो कुछ लोगों को देखने में सरल लगेगा। अंत में, यदि जीवित रहने वाले कार्यों का अनुपात शून्य हो जाता है, तो उस अनुपात का लघुगणक चला जाएगा $\lim_{x\to \infty } \, \left(\log \left(\frac{\sigma \Gamma (\alpha ) (\beta x)^{1-\alpha }}{\sqrt{2 \pi } (\log (x)-\mu )}\right)+\beta x-\frac{(\mu -\log (x))^2}{2 \sigma ^2}\right)=\infty$ $-\infty$ , और सभी मामलों में, एक अनुपात के लघुगणक की सीमा का पता लगाने के बाद, हमें अस्तित्व के कार्य के सामान्य अनुपात के सीमित मूल्य के लिए इसके संबंध को समझने के लिए उस मूल्य के प्रतिलोमार्थम को लेना होगा।

— कार्ल
स्रोत

इस मामले में (और अक्सर ब्याज के मामलों में) उच्च कुर्तोसिस भारी पूंछ से मेल खाती है, लेकिन एक सामान्य प्रस्ताव के रूप में यह मामला नहीं है - काउंटरटेक्सम का निर्माण करना आसान है।

— ग्लेन_ बी

1. मैं सीधे पूंछ की तुलना करने के किसी भी सामान्य तरीके के बारे में नहीं जानता। 2. ऐसा क्या है जो अधिक जटिल है? व्हीबर का जवाब हमें दिखाता है कि कुछ भी देखने में समस्या क्यों है लेकिन उत्तरजीवी फ़ंक्शन (दाएं पूंछ के लिए); वह चर्चा करता है कि आप pdfs की विस्तार से तुलना क्यों नहीं कर सकते हैं लेकिन इसी तरह के बिंदु कुर्तोसिस पर चलते हैं। इसके अलावा, की तुलना अक्सर कर्टोसिस की तुलना में बहुत कम जटिल है। (बाईं पूंछ में आप सीधे तुलना करेंगे लेकिन यह इस प्रश्न के लिए एक समस्या नहीं थी।)

S (x) = 1 - F (x)

$S(x)=1-F(x)$

F (x)

$F(x)$

— Glen_b

मैं यह भी ध्यान देता हूं कि आप कहते हैं "यह एक क्षण प्रमेय के साथ कुछ करना है जो कहता है कि यदि (सभी के) दो वितरण के क्षण समान हैं, तो वितरण समान हैं।" - भले ही दो वितरण के सभी क्षण समान हों, लेकिन वितरण आवश्यक नहीं हैं। सीवी पर यहां कई सवालों के जवाब में काउंटरटेक्मैंस पर चर्चा की गई है। आपको केवल सभी क्षणों की तुलना में अधिक की आवश्यकता है - आपको एमजीएफ को 0. के पड़ोस में मौजूद करने की आवश्यकता है

— Glen_b

@PeterWestfall अर्ध-अनंत समर्थन को अक्सर माना जाता है, उदाहरण के लिए, रक्त प्लाज्मा में दवा सांद्रता के लिए के रूप में। उस मामले में, पूंछ-भारीता यह निर्धारित करेगी कि शरीर में दवा का मतलब निवास समय कुछ भी मापता है (जैसे, घातांक वितरण) या नहीं (उदाहरण के लिए, कुछ पर्टो वितरण)।

0 \leq t < \infty

$0\leq t< \infty$

— कार्ल

@PeterWestfall मैं nma.berkeley.edu/ark:/28722/bk000471p7j के समान, आपकी बात पूरी हो गई है । यह याद रखने के लिए अवलंबित है कि प्रत्येक वितरण का अर्थ है अलग-अलग चीजों के लिए अलग-अलग उपाय। उदाहरण के लिए, एक समान वितरण के स्थान के लिए औसत चरम मान MVUE है, न कि माध्य और न ही माध्यिका। उन चरम मूल्यों के बीच, पूंछ भारी हैं, लेकिन उनके बाहर, पूंछ ज़िप हैं। कर्टोसिस जैसे उच्च क्षण के साथ क्या करना है, जब पहला क्षण MVUE नहीं है तो मैं अनुमान लगाने के लिए उद्यम नहीं करूंगा। कुछ, शायद, लेकिन क्या?

— कार्ल