गामा और लोगनॉर्मल दोनों सही तिरछा, निरंतर-गुणांक-की-भिन्नता वितरण , और वे अक्सर विशेष प्रकार की घटनाओं के लिए "प्रतिस्पर्धा" मॉडल का आधार हैं।(0,∞)
पूंछ के भारीपन को परिभाषित करने के लिए विभिन्न तरीके हैं, लेकिन इस मामले में मुझे लगता है कि सभी सामान्य बताते हैं कि लॉगेनॉल भारी है। (जो पहले व्यक्ति के बारे में बात कर रहा है वह वही है जो दूर की पूंछ में नहीं जाता है, लेकिन मोड के दाईं ओर थोड़ा सा (नीचे के पहले भूखंड पर 75 वें प्रतिशत के आसपास कहते हैं, जो कि लॉगऑनॉर्मल 5 से ठीक नीचे है) और गामा केवल 5 से ऊपर)
हालाँकि, चलिए शुरू करने के लिए केवल सरल तरीके से प्रश्न का पता लगाते हैं।
नीचे माध्य 4 और विचरण 4 के साथ गामा और लॉगेनॉर्मल घनत्व हैं (शीर्ष प्लॉट - गामा गहरा हरा है, लॉगनॉर्मल नीला है), और फिर घनत्व (नीचे) का लॉग, ताकि आप पूंछ में रुझानों की तुलना कर सकें:
शीर्ष भूखंड में बहुत विस्तार देखना मुश्किल है, क्योंकि सभी कार्रवाई 10. के दाईं ओर है, लेकिन यह दूसरे भूखंड में काफी स्पष्ट है, जहां गामा लॉगनॉमिक की तुलना में बहुत तेजी से नीचे जा रहा है।
रिश्ते का पता लगाने का एक और तरीका लॉग्स के घनत्व को देखना है, जैसा कि यहां जवाब में है ; हम देखते हैं कि लॉगनॉर्मल के लिए लॉग का घनत्व सममित है (यह सामान्य है!), और गामा के लिए बाएं-तिरछा, दाईं ओर एक हल्की पूंछ है।
हम इसे बीजगणितीय रूप से कर सकते हैं, जहां हम घनत्व के अनुपात को (या अनुपात के लॉग) के रूप में देख सकते हैं। चलो एक गामा घनत्व और हो lognormal:x→∞gf
log(g(x)/f(x))=log(g(x))−log(f(x))
=log(1Γ(α)βαxα−1e−x/β)−log(12π−−√σxe−(log(x)−μ)22σ2)
=−k1−(α−1)log(x)−x/β−(−k2−log(x)−(log(x)−μ)22σ2)
=[c−(α−2)log(x)+(log(x)−μ)22σ2]−x/β
[] में पद एक द्विघात है in , जबकि शेष पद में रैखिक रूप से घट रहा है । कोई फर्क नहीं पड़ता कि, क्या है कि अंत में तेजी से नीचे चला जाएगा की तुलना में द्विघात बढ़ जाता है, भले ही पैरामीटर मान क्या हो । रूप में सीमा में , घनत्व के अनुपात का लॉग घटता जा रहा है , जिसका अर्थ है कि गामा pdf अंततः lognormal pdf की तुलना में बहुत छोटा है, और यह अपेक्षाकृत कम हो जाता है। यदि आप अनुपात को दूसरे तरीके से लेते हैं (शीर्ष पर लॉगनॉर्मल के साथ), तो अंततः इसे किसी भी सीमा से आगे बढ़ना चाहिए।log(x)x−x/βx→∞−∞
यही है, किसी भी दिए गए लॉगनॉर्मल को अंततः किसी भी गामा की तुलना में भारी पूंछ है ।
भारीपन की अन्य परिभाषाएँ:
कुछ लोग सही पूंछ के भारीपन को मापने के लिए तिरछा या कुर्तोसिस में रुचि रखते हैं। भिन्नता के दिए गए गुणांक में, लॉगनोर्मल दोनों अधिक तिरछा होता है और इसमें गामा की तुलना में अधिक कर्टोसिस होता है । **
उदाहरण के लिए, तिरछा होने के साथ , गामा में 2CV का तिरछा भाग होता है, जबकि लॉगनॉर्मल 3CV + AE ।3
वहाँ कैसे भारी पूंछ रहे हैं के विभिन्न उपायों के कुछ तकनीकी परिभाषाएं दी गई हैं यहाँ । आप इन दो वितरण के साथ उन लोगों में से कुछ की कोशिश करना पसंद कर सकते हैं। पहली परिभाषा में लॉगनॉर्मल एक दिलचस्प विशेष मामला है - इसके सभी क्षण मौजूद हैं, लेकिन इसका एमजीएफ 0 से ऊपर नहीं जुटता है, जबकि गामा के लिए एमजीएफ शून्य के आसपास के क्षेत्र में परिवर्तित होता है।
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** जैसा कि निक कॉक्स नीचे उल्लेख करते हैं, गामा, विल्सन-हिलफर्टी परिवर्तन के लिए अनुमानित सामान्यता के लिए सामान्य परिवर्तन, लॉग की तुलना में कमजोर है - यह घन मूल परिवर्तन है। आकार पैरामीटर के छोटे मूल्यों पर, चौथी जड़ का उल्लेख किया गया है इसके बजाय इस उत्तर में चर्चा देखें , लेकिन किसी भी मामले में यह निकट-सामान्यता प्राप्त करने के लिए एक कमजोर परिवर्तन है।
तिरछापन (या कुर्तोसिस) की तुलना चरम पूंछ में किसी भी आवश्यक संबंध का सुझाव नहीं देती है - यह बदले में हमें औसत व्यवहार के बारे में कुछ बताती है; लेकिन यह उस कारण के लिए बेहतर हो सकता है जब मूल बिंदु चरम पूंछ के बारे में नहीं बनाया जा रहा था।
संसाधन : आर या मिनिटैब या मतलाब या एक्सेल जैसे कार्यक्रमों का उपयोग करना आसान है या जो भी आप घनत्व और लॉग-डेन्सिटीज़ को आकर्षित करना चाहते हैं और घनत्व के अनुपात को लॉग करते हैं ... और इसी तरह, यह देखने के लिए कि चीजें विशेष मामलों में कैसे जाती हैं। यही मैं इसके साथ शुरू करने का सुझाव दूंगा।