युग्मित अवलोकनों के विचरण की तुलना करना

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मेरे पास एक सामान्य अज्ञात वितरण से तैयार $N$ युग्मित अवलोकन ( $X_i$ , $Y_i$ ) है, जिसमें पहले और दूसरे क्षणों का परिमित है, और माध्य के चारों ओर सममित है।

चलो $\sigma_X$ के मानक विचलन $X$ (पर बिना शर्त $Y$ ), और $\sigma_Y$ वाई मैं के लिए एक ही परिकल्पना का परीक्षण करना चाहते हैं

$H_0$ : $\sigma_X = \sigma_Y$

$H_1$ : $\sigma_X \neq \sigma_Y$

क्या किसी को इस तरह के परीक्षण का पता है? मैं पहले विश्लेषण में मान सकता हूं कि वितरण सामान्य है, हालांकि सामान्य मामला अधिक दिलचस्प है। मैं एक बंद-फॉर्म समाधान की तलाश कर रहा हूं। बूटस्ट्रैप हमेशा एक अंतिम उपाय होता है।

— ख़ाली जगह से
स्रोत

3

मुझे यकीन नहीं है कि जिन टिप्पणियों का अवलोकन किया जाता है उनकी जानकारी परिकल्पना के परीक्षण के लिए महत्वपूर्ण है; क्या आप समझाएँगे?

— रसैलपिएरेस

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@drknexus यह महत्वपूर्ण है क्योंकि निर्भरता फिशर परीक्षण के अंशांकन को मुश्किल बनाती है।

— रोबिन जिरार्ड

4

आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि नमूना प्रसरण का वितरण एक चि वर्ग वितरण है जो वास्तविक विचरण पर केंद्रित है। आपकी अशक्त परिकल्पना के तहत, आपका परीक्षण आँकड़ा एक ही अज्ञात सच्चे विचरण में केंद्रित दो ची वर्ग यादृच्छिक यादृच्छिक का अंतर होगा। मुझे नहीं पता कि दो ची-स्क्वेर्ड रैंडम वैरिएंट्स का अंतर एक पहचान योग्य वितरण है लेकिन उपरोक्त आपको कुछ हद तक मदद कर सकता है।

3

@ स्वदली यहाँ अनुपात का उपयोग करना अधिक सामान्य है क्योंकि ची वर्ग के अनुपात का वितरण सारणीबद्ध है (फिशर का एफ)। हालाँकि, प्रश्न का समस्याग्रस्त हिस्सा (यानी

और

बीच निर्भरता ) अभी भी है जो भी आप उपयोग करते हैं। यह दो आश्रित ची वर्ग के साथ एक परीक्षण का निर्माण करने के लिए सीधा नहीं है ... मैंने उस बिंदु पर समाधान के साथ एक उत्तर देने का प्रयास किया (नीचे देखें)।

X

$X$

Y

$Y$

— रॉबिन जिरार्ड

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यदि आप गैर-पैरामीट्रिक मार्ग से नीचे जाना चाहते हैं, तो आप हमेशा चुकता रैंक परीक्षण का प्रयास कर सकते हैं।

अनियोजित मामले के लिए, इस परीक्षण के लिए धारणाएँ ( यहाँ से ली गई हैं ):

दोनों नमूने उनकी संबंधित आबादी से यादृच्छिक नमूने हैं।
प्रत्येक नमूने के भीतर स्वतंत्रता के अलावा दो नमूनों के बीच पारस्परिक स्वतंत्रता है।
माप पैमाने कम से कम अंतराल पर है।

इन व्याख्यान नोट्स में अनपेक्षित मामले का विस्तार से वर्णन किया गया है।

युग्मित मामले के लिए आपको इस प्रक्रिया को थोड़ा बदलना होगा। इस पृष्ठ के मध्य में आपको यह विचार करना चाहिए कि कहां से शुरू करें।

— csgillespie
स्रोत

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सबसे अनुभवहीन दृष्टिकोण मैं के बारे में सोच सकते हैं वापसी करने के लिए है बनाम के रूप में है, तो एक प्रदर्शन -Test परिकल्पना पर । प्रतिगमन ढलान के लिए टी-टेस्ट देखें । $Y_i$ $X_i$ $Y_i \sim \hat{m}X_i + \hat{b}$ $t$ $m = 1$

एक कम भोली दृष्टिकोण मॉर्गन-पिटमैन परीक्षण है। चलो तो के पियर्सन सहसंबंध गुणांक का एक परीक्षण बनाम । ( फिशर आरजेड ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करके कोई ऐसा कर सकता है , जो सैंपल पियर्सन गुणांक के आसपास या एक बूटस्ट्रैप के माध्यम से आत्मविश्वास अंतराल देता है।) $U_i = X_i - Y_i, V_i = X_i + Y_i,$ $U_i$ $V_i$

यदि आप R का उपयोग कर रहे हैं, और अपने आप को सब कुछ कोड नहीं करना चाहते हैं, तो मैं bootdpciWilcox 'Robust Stats पैकेज, WRS से उपयोग करूंगा । (देखें विलकॉक्स पेज )

— shabbychef
स्रोत

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यदि आप द्विभाजन सामान्यता मान सकते हैं, तो आप दो संभावित कोवरियन मैट्रिक्स संरचनाओं की तुलना करके संभावना-अनुपात परीक्षण विकसित कर सकते हैं। अप्रतिबंधित (H_a) अधिकतम संभावना अनुमानों को अच्छी तरह से जाना जाता है - बस नमूना सहसंयोजक मैट्रिक्स, विवश लोगों (H_0) को संभावना लिखकर व्युत्पन्न किया जा सकता है (और शायद कुछ प्रकार "अनुमान" अनुमान होगा)।

यदि आप फ़ार्मुलों को प्राप्त नहीं करना चाहते हैं, तो आप SAS या R का उपयोग बार-बार किए गए उपायों के मॉडल को असंरचित और मिश्रित समरूपता सहसंयोजक संरचनाओं के साथ फिट करने के लिए कर सकते हैं और संभावना की तुलना कर सकते हैं।

— अनीको
स्रोत

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कठिनाई स्पष्ट रूप से आती है क्योंकि और को कोरेल्ट किया जाता है (मुझे लगता है संयुक्त रूप से गॉसियन है, एनिको के रूप में) और आप अंतर नहीं कर सकते हैं (जैसा कि @ स्वदली के उत्तर में) या एक अनुपात (मानक फिशर-स्नेडेकोर के रूप में) "एफ परीक्षण"), क्योंकि उन पर निर्भर की होगी वितरण, और क्योंकि आप नहीं जानते कि क्या इस निर्भरता जो यह मुश्किल के तहत वितरण प्राप्त करने के लिए करते हैं । $X$ $Y$ $(X,Y)$ $\chi^2$ $H_0$

मेरा जवाब नीचे समीकरण (1) पर निर्भर करता है। क्योंकि विचरण के अंतर को eigenvalues में अंतर और फैक्टरिंग कोण में अंतर के साथ समानता का परीक्षण दो परीक्षणों में अस्वीकार किया जा सकता है। मैं दिखाता हूं कि फिशर-स्नेडेकर टेस्ट का एक साथ उपयोग करना संभव है 2 डी गाऊसी वैक्टर की एक साधारण संपत्ति के कारण @shabbychef द्वारा सुझाए गए ढलान पर एक परीक्षण के साथ ।

फ़िशर-स्नेडेकोर टेस्ट: के लिए तो अनुभवजन्य निष्पक्ष विचरण के साथ गाऊसी यादृच्छिक चर आईआईडी और सच विचरण , तो यह संभव परीक्षण करता है, तो करने के लिए है $i=1,2$ $(Z^i_{1},\dots,Z^i_{n_i} )$ $\hat{\lambda}^2_i$ $\lambda^2_i$ $\lambda_1=\lambda_2$ इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि, अशक्त के तहत,

यह इस तथ्य का उपयोग करता है एक प्रकार हैफ़िशर-स्नेडेकोर बंटन

R = \frac{{\hat{λ}}_{X}^{2}}{{\hat{λ}}_{Y}^{2}}

$R=\frac{\hat{\lambda}_X^2}{\hat{\lambda}_Y^2}$

F (n_{1} - 1, n_{2} - 1)

$F(n_1-1,n_2-1)$

R (θ) = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]

$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$ It is clear that there exists

λ_{1}, λ_{2} > 0

$\lambda_1,\lambda_2>0$

ϵ_{1}

$\epsilon_1$ ,

ϵ_{2}

$\epsilon_2$ two independent gaussian

N (0, λ_{i}^{2})

$\mathcal{N}(0,\lambda_i^2)$ such that

[\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}] = R (θ) [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = R(\theta)\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \end{bmatrix}$ and that we have

V a r (X) - V a r (Y) = (λ_{1}^{2} - λ_{2}^{2}) (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ) [1]

$Var(X)-Var(Y)=(\lambda_1^2-\lambda_2^2)(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta) \;\; [1]$

Testing of $Var(X)=Var(Y)$ can be done through testing if ( $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ or $\theta=\pi/4 \; mod \; [\pi/2]$ )

Conclusion (Answer to the question) Testing for $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ is easely done by using ACP (to decorrelate) and Fisher Scnedecor test. Testing $\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]$ is done by testing if $|\beta_1|=1$ in the linear regression $Y=\beta_1 X+\sigma\epsilon$ (I assume $Y$ and $X$ are centered).

Testing wether $\left ( \lambda_1^2=\lambda_2^2 \text{ or }\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]\right )$ at level $\alpha$ is done by testing if $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ at level $\alpha/3$ or if $|\beta_1|=1$ at level $\alpha/3$ .

— robin girard
स्रोत