नमूना माध्य के अपेक्षित मूल्य ने नमूना माध्य दिया

Question

चलो $Y$ मंझला निरूपित और जाने $\bar{X}$ निरूपित मतलब, आकार के बेतरतीब नमूने के $n=2k+1$ एक वितरण से है कि $N(\mu,\sigma^2)$ । मैं कैसे की गणना कर सकता $E(Y|\bar{X}=\bar{x})$ ?

Intuitively, सामान्य धारणा की वजह से है, यह समझ में दावा करने के लिए करता है कि $E(Y|\bar{X}=\bar{x})=\bar{x}$ और वास्तव में सही जवाब है कि। हालांकि यह कठोरता से दिखाया जा सकता है?

मेरा प्रारंभिक विचार सशर्त सामान्य वितरण का उपयोग करके इस समस्या से संपर्क करना था जो आमतौर पर एक ज्ञात परिणाम है। समस्या यह है कि चूंकि मुझे अपेक्षित मूल्य नहीं पता है और फलस्वरूप माध्यिका का विचरण होता है, इसलिए मुझे $k+1$ सेंट ऑर्डर स्टेटिस्टिक का उपयोग करने वालों की गणना करनी होगी । लेकिन यह बहुत जटिल है और मैं वहां नहीं जाऊंगा जब तक कि मुझे पूरी तरह से नहीं करना पड़ता।

Comments

मेरा मानना ​​है कि यह उस सामान्यीकरण का एक तात्कालिक परिणाम है जो मैंने अभी आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / a / 83887 पर पोस्ट किया है । अवशिष्ट का वितरण $x_i-\bar{x}$स्पष्ट रूप से बारे में सममित है $0$, जहां उनके मंझले का एक सममित वितरण है, इस प्रकार इसका मतलब शून्य है। इसलिए मंझला ही की (न केवल बच के) उम्मीद के बराबर होती है $0 + E(\bar{X}\ |\ \bar{X}=\bar{x}) = \bar{x}$ , QED।

— whuber

@whuber क्षमा करें, अवशिष्ट?

— जॉनके

मैंने उन्हें अपनी टिप्पणी में परिभाषित किया: वे प्रत्येक $x_i$ और उनके बीच के अंतर हैं ।

— whuber

@ जब तक नहीं मुझे समझ में आता है, लेकिन मैं अभी भी यह समझने में काम कर रहा हूं कि आपके अन्य उत्तर मेरे प्रश्न से कैसे संबंधित हैं और आपके द्वारा उपयोग किए जाने वाले कार्यों की अपेक्षा बिल्कुल कैसे है।

— जॉनके

@whuber ठीक है, तो सही मुझे खुश अगर मैं गलत हूँ, और अब दूसरे कार्यकाल शून्य वजह से है मंझला सममित के आसपास है ˉ एक्स । इसलिए, उम्मीद, x तक कम हो $E(Y|\bar{X})=E(\bar{X}|\bar{X})+E(Y-\bar{X}|\bar{X})$$\bar{x}$$\bar{x}$

— JohnK

Answer 1

चलो निरूपित मूल नमूना और जेड प्रविष्टियों के साथ यादृच्छिक वेक्टर जेड कश्मीर = एक्स कश्मीर - ˉ एक्स । फिर जेड सामान्य केंद्रित है (लेकिन इसकी प्रविष्टियां स्वतंत्र नहीं हैं, जैसा कि इस तथ्य से देखा जा सकता है कि उनकी राशि पूरी संभावना के साथ शून्य है)। एक्स के एक रैखिक कार्यात्मक के रूप में , वेक्टर ( जेड , is एक्स ) सामान्य है इसलिए इसके सहसंयोजक मैट्रिक्स की गणना यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि जेड ˉ X से स्वतंत्र है$X$$Z$$Z_k=X_k-\bar X$$Z$$X$$(Z,\bar X)$$Z$$\bar X$ ।

की ओर मुड़ते , एक देखता है कि वाई = ˉ एक्स + टी जहां टी की औसत है जेड । विशेष रूप से, T केवल Z पर निर्भर करता है इसलिए T and X से स्वतंत्र है , और Z का वितरण सममित है इसलिए T केंद्रित है।$Y$$Y=\bar X+T$$T$$Z$$T$$Z$$T$$\bar X$$Z$$T$

अंत में,

$$E(Y\mid\bar X)=\bar X+E(T\mid\bar X)=\bar X+E(T)=\bar X.$$

Comments

धन्यवाद, यह लगभग एक साल पहले पूछा गया था और मुझे बहुत खुशी है कि किसी ने अंततः इसे मंजूरी दे दी।

— जॉन

Answer 2

सैंपल माध्यिका एक ऑर्डर स्टैटिस्टिक है और एक नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन है, इसलिए सैंपल मीडियन और सैंपल माध्य (जिसका नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन है) का जॉइंट फिनाइल-सैंपल डिस्ट्रीब्यूशन सामान्य नहीं होगा। सन्निकटन के लिए रिज़ॉर्ट, asymptotically निम्नलिखित पकड़ (मेरा जवाब यहाँ देखें ):

$$\sqrt n\Big [\left (\begin{matrix} \bar X_n \\ Y_n \end{matrix}\right) - \left (\begin{matrix} \mu \\ \mathbb v \end{matrix}\right)\Big ] \rightarrow_{\mathbf L}\; N\Big [\left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right) , \Sigma \Big]$$

साथ में

$$\Sigma = \left (\begin{matrix} \sigma^2 & E\left( |X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} \\ E\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} & \left[2f(\mathbb v)\right]^{-2} \end{matrix}\right)$$

where $\bar X_n$ is the sample mean and $\mu$ the population mean, $Y_n$ is the sample median and $\mathbb v$ the population median, $f()$ is the probability density of the random variables involved and $\sigma^2$ is the variance.

So approximately for large samples, their joint distribution is bivariate normal, so we have that

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \rho\frac {\sigma_{\mathbb v}}{\sigma_{\bar X}}(\bar x -\mu)$$

where $\rho$ is the correlation coefficient.

Manipulating the asymptotic distribution to become the approximate large-sample joint distribution of sample mean and sample median (and not of the standardized quantities), we have

$$\rho = \frac {\frac 1nE\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\frac 1n \sigma \left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}} = \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }$$

So

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }\frac {\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\sigma}(\bar x -\mu)$$

We have that $2f(\mathbb v) = 2/\sigma\sqrt{2\pi}$ due to the symmetry of the normal density so we arrive at

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}E\left(\left|\frac {X-\mu}{\sigma}\right|\right)(\bar x -\mu)$$

where we have used $\mathbb v = \mu$. Now the standardized variable is a standard normal, so its absolute value is a half-normal distribution with expected value equal to $\sqrt{2/\pi}$ (since the underlying variance is unity). So

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}\sqrt{\frac {2}{\pi}}(\bar x -\mu) = \mathbb v + \bar x -\mu = \bar x$$

Comments

As always, nice answer +1. However, since we have no information about the sample size, the asymptotic distribution might not hold. If there is no way to obtain the exact distribution though, I suppose I'll have to make do. Thank you very much.

— JohnK

Answer 3

The answer is $\bar{x}$.

Let $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ have a multivariate distribution $F$ for which all the marginals are symmetric about a common value $\mu$. (It does not matter whether they are independent or even are identically distributed.) Define $\bar{x}$ to be the arithmetic mean of the $x_i,$ $\bar{x} = (x_1+x_2+\cdots+x_n)/n$ and write $x-\bar{x} = (x_1-\bar{x}, x_2-\bar{x}, \ldots, x_n-\bar{x})$ for the vector of residuals. The symmetry assumption on $F$ implies the distribution of $x - \bar{x}$ is symmetric about $0$; that is, when $E\subset\mathbb{R}^n$ is any event,

$${\Pr}_F(x - \bar{x}\in E) = {\Pr}_F(x - \bar{x}\in -E).$$

Applying the generalized result at /stats//a/83887 shows that the median of $x-\bar{x}$ has a symmetric distribution about $0$. Assuming its expectation exists (which is certainly the case when the marginal distributions of the $x_i$ are Normal), that expectation has to be $0$ (because the symmetry implies it equals its own negative).

Now since subtracting the same value $\bar{x}$ from each of a set of values does not change their order, $Y$ (the median of the $x_i$) equals $\bar{x}$ plus the median of $x-\bar{x}$. Consequently its expectation conditional on $\bar{x}$ equals the expectation of $x-\bar{x}$ conditional on $\bar{x}$, plus $E(\bar{x}\ |\ \bar{x})$. The latter obviously is $\bar{x}$ whereas the former is $0$ because the unconditional expectation is $0$. Their sum is $\bar{x},$ QED.

Comments

Thank you for posting it as a full answer. I now understand the essence of your argument but I might ping you if something is still unclear.

— JohnK

JohnK, I need to alert you to be cautious. A counterexample to this argument has been brought to my attention. I have encouraged its originator to post it here for further discussion, but briefly it concerns a discrete bivariate distribution with symmetric marginals but asymmetric conditional marginals. Its existence points to a flawed deduction early in my argument. I currently hope that the argument might be rescued by imposing stronger conditions on the $x_i$, but my attention is presently focused elsewhere and I might not get to think about this for awhile.

— whuber

In the meantime I would encourage you to unaccept this answer. I would ordinarily delete any answer of mine known to be incorrect, but (as you might be able to tell) I like solutions based on first principles rather than detailed calculations, so I hope this argument can be rescued. I therefore intend to leave it open for criticism and improvement (and therefore made it CW); let the votes fall as they may.

— whuber

Of course, thanks for letting me know. We will discuss it further when you have time. In the meantime I will settle for the asymptotic argument proposed by @Alecos Papadopoulos.

— JohnK

Answer 4

This is simpler than the above answers make it. The sample mean is a complete and sufficient statistic (when the variance is known, but our results do not depend on the variance, hence will be valid also in the situation when the variance is unknown). Then the Rao-Blackwell together with the Lehmann-Scheffe theorems (see wikipedia ...) will imply that the conditional expectation of the median, given the arithmetic mean, is the unique minimum variance unbiased estimator of the expectation $\mu$. But we know that is the arithmetic mean, hence the result follows.

We did also use that the median is an unbiased estimator, which follows from symmetry.

Comments

By symmetry $E[Y]=\mu$, indeed. Then from these two theorems we know that $E[Y|\bar{X}]$ is the Unique Minimum Variance Unbiased Estimator for $\mu$ which we already know to be equal to $\bar{X}$. This is a brilliant answer, thank you very much. I would have marked it as the correct one, had I not done that already for another answer.

— JohnK