टी-वितरण घनत्व समारोह के पीछे अंतर्ज्ञान

Question

मैं स्टूडेंट के टी-डिस्ट्रीब्यूशन के बारे में पढ़ रहा हूं और मुझे आश्चर्य होने लगा है कि टी-डिस्ट्रीब्यूशन डेंसिटी फंक्शन (विकिपीडिया, http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution से ) कोई कैसे निकालेगा :

$$f(t) = \frac{\Gamma(\frac{v+1}{2})}{\sqrt{v\pi}\:\Gamma(\frac{v}{2})}\left(1+\frac{t^2}{v} \right)^{-\frac{v+1}{2}}$$

जहां स्वतंत्रता की डिग्री है और गामा फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का अंतर्ज्ञान क्या है? मेरा मतलब है, अगर मैं द्विपद वितरण की संभाव्यता द्रव्यमान समारोह को देखता हूं, तो यह मेरे लिए समझ में आता है। लेकिन टी-डिस्ट्रीब्यूशन डेंसिटी फंक्शन मेरे लिए कोई मायने नहीं रखता है ... यह पहली नजर में बिल्कुल भी सहज नहीं है। या अंतर्ज्ञान सिर्फ इतना है कि इसमें घंटी के आकार का वक्र है और यह हमारी जरूरतों को पूरा करता है?$v$$\Gamma$

किसी भी मदद के लिए thnx :)

Comments

इस वितरण में एक सरल (और सुंदर) ज्यामितीय व्याख्या है। दरअसल, हालांकि छात्र (1908) ने पहली बार पीडीएफ के इस रूप को एक बुद्धिमान अनुमान (मोंटे-कार्लो सिमुलेशन द्वारा समर्थित) के माध्यम से प्राप्त किया, फिशर (सी। 1920) ने पहली बार इसे ज्यामितीय तर्क के साथ प्राप्त किया। सार यह है कि -sphere और उसके त्रिज्या (अक्ष से दूरी ) पर एक (समान रूप से वितरित बिंदु) की ऊंचाई के अनुपात का वर्णन करता है : दूसरे शब्दों में, इसके अक्षांश की स्पर्शरेखा। इसका एक खाता evolvemicrobe.com/Literature/GeometricTDistribution.pdf पर उपलब्ध कराया गया है । $f$$\nu+1$

— whuber

Answer 1

यदि आपके पास एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर, , और df के साथ एक स्वतंत्र ची-वर्ग यादृच्छिक चर , तो$Z$$Q$$\nu$

$T = Z/\sqrt{Q/\nu}$

एक है के साथ वितरण df। (मुझे यकीन नहीं है कि को किस रूप में वितरित किया गया है, लेकिन यह नहीं ।)$t$$\nu$$Z/Q$$t$

वास्तविक व्युत्पत्ति एक काफी मानक परिणाम है। एलेकोस इसे यहाँ कुछ तरीके से करता है ।

जहाँ तक अंतर्ज्ञान जाता है, मेरे पास विशिष्ट कार्यात्मक रूप के लिए विशेष अंतर्ज्ञान नहीं है, लेकिन आकार के कुछ सामान्य अर्थों पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है (जो कि द्वारा बढ़ाया गया है ) भाजक पर स्वतंत्र ची-वितरण सही है तिरछा:$\sqrt \nu$

मोड 1 से थोड़ा नीचे है (लेकिन df के बढ़ने पर 1 के करीब हो जाता है), मानों के कुछ अवसरों के ऊपर और नीचे 1. पर्याप्त रूप से में भिन्नता का अर्थ है कि का विचरण इससे बड़ा होगा वह । 1 से ऊपर मानों को एक -value की ओर ले जाएगा , जो की तुलना में 0 के करीब है, जबकि 1 से नीचे के लोगों के परिणामस्वरूप एक -value होगा, जो से 0 से आगे है।$\sqrt{Q/\nu}$$t$$Z$$\sqrt{Q/\nu}$$t$$Z$$t$$Z$

इसका मतलब यह है कि मान अधिक (i) अधिक चर होगा, (ii) अपेक्षाकृत अधिक शिखर और (iii) सामान्य से अधिक भारी। जैसे ही df बढ़ता है, 1 के आसपास केंद्रित हो जाता है, और फिर सामान्य के करीब होगा।$t$$\sqrt{Q/\nu}$$t$

('अपेक्षाकृत अधिक चरम पर' परिणाम प्रसार के सापेक्ष थोड़ा तेज शिखर में होता है, लेकिन बड़ा विचरण केंद्र को नीचे खींचता है, जिसका अर्थ है कि शिखर निम्न df के साथ थोड़ा कम है)

तो यह है कि क्यों रूप में दिखता है के बारे में कुछ अंतर्ज्ञान है।$t$

Comments

मैं अपने स्पष्टीकरण में थोड़ा सुस्त था। निश्चित रूप से यह ची-वर्ग का वर्गमूल था जिसकी स्वतंत्रता की डिग्री से विभाजित यादृच्छिक चर वितरित किया गया था।

— विश्लेषक

@ एनलिस्ट मैंने खुद एक ही बार एक से अधिक बार किया है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 2

ग्लेन का उत्तर एक सही है, लेकिन एक बायेसियन दृष्टिकोण से यह टी-वितरण को अलग-अलग संस्करण के साथ सामान्य वितरण के निरंतर मिश्रण के रूप में सोचने में भी सहायक है। आप यहाँ व्युत्पत्ति पा सकते हैं:

विद्यार्थी को गॉसियन के मिश्रण के रूप में

मुझे लगता है कि यह दृष्टिकोण आपके अंतर्ज्ञान में मदद करता है क्योंकि यह स्पष्ट करता है कि जब आपकी आबादी की सटीक परिवर्तनशीलता नहीं पता है तो टी-वितरण कैसे उत्पन्न होता है।

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मैंने यहां सामान्य वितरण के मिश्रण के रूप में टी वितरण का एक एनीमेशन बनाया है: sumsar.net/blog/2013/12/12/t-as-a-mixture-of-normals

— रासमस बैथ