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Question

चलो संभावना अंतरिक्ष पर एक यादृच्छिक चर हो .show कि$X:\Omega \to \mathbb N$$(\Omega,\mathcal B,P)$

$$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$$

से मेरी परिभाषा समान $E(X)$

$$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$$

धन्यवाद।

Comments

हम्म्, शायद आप उस को जोड़ना चाहते हैं ... नहीं? $X\geq 0$

— स्टेट्स

@Stat: नहीं, । प्राकृतिक है। पर विचार करें हमेशा 2. के बराबर । एक्स एक्स ई ( एक्स ) = 2 = पी ( एक्स ≥ 1 ) + पी ( एक्स ≥ 2 $P(X \ge 0) = 1$$X$$X$$E(X) = 2 = P(X\ge 1) + P(X\ge 2)$

— जनवरी

उफ़, नहीं देखा ! $N$

— स्टेट्स

कथन गलत (थोड़ा) गलत है: क्योंकि में शामिल हैं , योग बजाय से शुरू होना चाहिए । ० ० $\mathbb{N}$$0$$0$$1$

— whuber

@whuber नहीं, योग से शुरू होना चाहिए (जब ) मामले को आज़माएं । P [ X = 42 ] = $n=1$$P[X=42]=1$

— क्या

Answer 1

की परिभाषा असतत के लिए है ।$E(X)$$X$$E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

$$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$$

इसलिए

$$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$$

(हम अंतिम अभिव्यक्ति में शर्तों को फिर से जोड़ते हैं)

$$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$$

QED

Comments

आपको सेल्फ-स्टडी के टैग के लिए मददगार संकेत देना चाहिए, पूरा जवाब नहीं। यह बेहतर है कि उनके असाइनमेंट को हल न किया जाए :)

— स्टेट्स

क्या आपको यह समझाने की आवश्यकता नहीं है कि आप राशि को फिर से आदेश क्यों दे सकते हैं? यदि आप एक कठोर प्रदर्शन की तलाश कर रहे हैं तो यह महत्वपूर्ण होगा।

— मैनुअल

@ January.in का सवाल है का रैंडम वैरिएबल है न ही उल्लेख करें कि X असतत या कंटीन्यूअस है। $X$$X$

— 16 फरवरी

Pual, हां आपने जो संकेत दिया था कि पहली ही पंक्ति में असतत है: "असतत" (इसके व्यापक अर्थों में) का अर्थ है कि चर की श्रेणी का एक गणनीय सबसेट है जिसके लिए इसकी प्रायिकता 1 है ; और क्योंकि N गणनीय है, आपका X असतत होना चाहिए। $X$$1$$\mathbb{N}$$X$

— whuber

@ व्हुबेर.मैं सहमत हूं और मिल गया। और सभी से धन्यवाद।

— क्वालाबाग़

Answer 2

मुझे जनवरी का जवाब पसंद है। क्या मैं श्रृंखला लिखने का एक तरीका सुझा सकता हूं ताकि आंख पुनर्व्यवस्था को और अधिक आसानी से पकड़ ले (यह वह तरीका है जो मुझे ब्लैकबोर्ड पर लिखना पसंद है)? (पुनर्व्यवस्था गणितीय रूप से ध्वनि है क्योंकि यहसकारात्मक शब्दों कीएकश्रृंखला है।)

$$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$$

Comments

क्या आप मान लेते हैं कि एक्स असतत है?

— बीसीएलसी

@BCLC, सूत्र तभी काम करता है जब X पॉजिटिव पूर्णांक ले सकता है। दरअसल, कहते हैं, मानक वर्दी वितरण यह 1 देता है जबकि उत्तर 1/2 है। या, यहां तक कि में असतत मामले का विचार करते हैं दो बिंदु वितरण : सूत्र 0 देता है, जबकि औसत मान 3/8 है। $P(X = 1/4) = P(X = 1/2) = 1/2$

— आर्टेम सोबोलेव

Answer 3

मुझे लगता है कि ऐसा करने का मानक तरीका लेखन से है

$$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$$

$$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$$

और फिर अपेक्षा और योग का उल्टा क्रम (टोनेली की प्रमेय द्वारा)

Comments

दिलचस्प। क्या यह कहना सही है कि यह नहीं मानता है कि असतत है? : ओ$X$

— बीसीएलसी 20

@BCLC पहली लाइन केवल सच है अगर X एक प्राकृतिक संख्या है, तो यह सही नहीं है ....

— seanv507

Answer 4

$X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$

$$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$$

लेना तब उपयोगी परिणाम देता है:$m \rightarrow \infty$

$$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$$

यह ध्यान देने योग्य है कि यह परिणाम प्रश्न में अपेक्षा नियम से अधिक मजबूत है, क्योंकि यह अंतर्निहित यादृच्छिक चर के लिए अपघटन देता है, और न केवल इसके पल। जैसा कि अन्य उत्तर में उल्लेख किया गया है, इस समीकरण के दोनों पक्षों की अपेक्षाओं को लेकर, और टोनेली के प्रमेय (योग और अपेक्षा ऑपरेटरों के आदेश को स्वैप करने के लिए) को लागू करना, प्रश्न में अपेक्षा नियम देता है। यह एक मानक अपेक्षा नियम है जिसका उपयोग गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर से निपटने के दौरान किया जाता है।

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उपरोक्त परिणाम काफी सरलता से साबित किया जा सकता है। देख कर शुरू करें:

$$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$$

किसी भी इसलिए हमारे पास है:$m \in \mathbb{N}$

$$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$$