संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर एक निश्चित बिंदु मानता है

Question

मैं एक परिचयात्मक सांख्यिकी वर्ग में हूं जिसमें निरंतर यादृच्छिक चर के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन में रूप में परिभाषित किया गया है । मैं समझता हूँ कि का अभिन्न अंग है लेकिन मैं इसे निरंतर यादृच्छिक चर के अपने अंतर्ज्ञान के साथ ठीक नहीं कर सकता। Say X ट्रेन आने के समय टी से मिनट की संख्या के बराबर यादृच्छिक चर है। मैं इस संभावना की गणना कैसे करूं कि ट्रेन अब से ठीक 5 मिनट पहले आती है? यह संभावना शून्य कैसे हो सकती है? क्या यह सम्भव नहीं है? क्या होगा अगर ट्रेन है अब से ठीक 5 मिनट पहुंचें, यह कैसे हो सकता है अगर यह संभावना 0 था?एक ∫ एक च ( एक्स ) घ x = $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$$\int\limits_a^af(x)dx=0$

धन्यवाद।

Comments

इनमें से कुछ सवालों को उनके सिर पर खड़ा करना मददगार है। जैसे , यदि आपका अंतर्ज्ञान कहता है कि हर संभव समय में कुछ सख्ती से सकारात्मक संभावना होनी चाहिए, तो - क्योंकि किसी भी अंतराल में संभावित समय का एक बेशुमार सेट है - आपका अंतर्ज्ञान कुल संभावना अनंत है। जाहिर है कि अंतर्ज्ञान गलत है। एक चीज जिसे छोड़ना पड़ता है वह है विचार कि शून्य की संभावना एक असंभवता का अर्थ है: यह सच नहीं है। इसी तरह, एक की संभावना एक निश्चितता का अर्थ नहीं है।

— व्हुबेर

@ जब तक मैं इसे सुधार नहीं सकता है। यदि किसी घटना के घटने की संभावना 0 है, तो ऐसा कभी नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि मेरे पास एक मानक छह-पक्षीय मृत्यु है, तो संभावना है कि मैं किसी भी संख्या को रोल कर रहा हूं 0 है और इसलिए होगा कभी नहीं हुआ। इसके अलावा, संभावना 1 के साथ एक घटना बाद के प्रयोग में एक निश्चितता कैसे नहीं हो सकती है? क्या आप एक उदाहरण प्रदान कर सकते हैं? $\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

— जियोफ्लेक्टल

मान लीजिए कि आपको एक वृत्त दिखाई देता है जिसमें एक राग दिखाया गया है और यह एक व्यास प्रतीत होता है, जिससे आपको आश्चर्य होता है कि "क्या मौका था कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित कॉर्ड व्यास नहीं होगा ?" जब जीवा को समान रूप से और स्वतंत्र रूप से परिधि के साथ बिंदुओं की एक जोड़ी चुनकर प्राप्त किया जाता है, तो उत्तर , लेकिन यह घटना नहीं हुई। यह प्रदान करता है (बहुत मजबूत!) सबूत है कि रैंड यादृच्छिक प्रक्रिया का परिणाम नहीं था जो आपने प्रस्तुत किया था। इस तरह के विचार प्रयोगों द्वारा वहन किया गया एक सबक यह है कि परिमित संभावना वाले स्थानों पर आधारित अंतर्ज्ञान हमेशा सामान्य नहीं होते हैं। $1$

— whuber

Answer 1

हो सकता है कि आप 'अब से पाँच मिनट' के फंदे में पड़ रहे हों, जैसा कि कुछ समय की अवधि के दौरान होता है (जिसमें नॉनज़रो प्रायिकता होगी)।

निरंतर परिवर्तनशील अर्थ में "अब से पाँच मिनट" वास्तव में तात्कालिक है।

कल्पना कीजिए कि अगली ट्रेन का आगमन समान रूप से 8:00 और 8:15 के बीच वितरित किया गया है। इसके अलावा कल्पना कीजिए कि हम ट्रेन के आगमन को परिभाषित करते हैं क्योंकि ट्रेन के अगले हिस्से में स्टेशन पर एक विशेष बिंदु (शायद प्लेटफ़ॉर्म का मध्य बिंदु यदि कोई बेहतर लैंडमार्क नहीं है) गुजरता है। संभावनाओं के निम्नलिखित अनुक्रम पर विचार करें:

क) संभावना एक ट्रेन 8:05 और 8:10 के बीच आती है

ख) संभावना एक ट्रेन 8:05 और 8:06 के बीच आती है

c) संभावना एक ट्रेन 8:05:00 और 8:05:01 के बीच आती है

d) संभावना एक ट्रेन 8:05:00 और 8: 05: 00.01 के बीच आती है (यानी एक सेकंड के सौवें स्थान पर

ई) संभावना एक ट्रेन 8:05 और एक सेकंड के बाद के एक अरबवें के बीच आती है

एफ) संभावना एक ट्रेन 8:05 और एक बाद के एक चौथाई भाग के बीच आती है

... और इसी तरह

संभावना है कि यह ठीक 8:05 पर आता है, इस तरह की संभावनाओं के अनुक्रम का सीमित मूल्य है। संभावना हर से छोटी है ।$\epsilon>0$

Comments

मुझे यह समझ में आता है, लेकिन, ट्रेन के आने के बाद, यह किसी समय पर आता है। यह सीमा अभी भी कुछ संभाव्यता में परिवर्तित क्यों नहीं हो सकती है?

— जियोफ्लैटल

यदि आप इसे समझते हैं, जैसा कि आप कहते हैं, आप संकेतित फैशन में संभावना की गणना कर सकते हैं । मुझे इसे आसान बनाने दें: गणना की सुविधा के लिए कल्पना करें कि एक ट्रेन "आगमन" का सटीक समय (हालांकि हम इसे परिभाषित करते हैं, जब तक कि यह वास्तव में निरंतर है) अंतराल पर एक समान रूप से वितरित समय पर (0,1) (जो भी हो एक सुविधाजनक समय इकाई है)। अंतराल के अंदर कुछ x के लिए ट्रेन समय से पहले आने की संभावना क्या है ? समय x के बाद आने वाली संभावना क्या है ? क्या संभावना है कि यह x और x + d x के बीच आता है ? ... (ctd)$x$$x$$x$$x$$x+dx$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

(ctd) ... यह कहना कि 'समय पर आता है , इसका मतलब है "के रूप में है कि पिछले संभावना की सीमा है जो एक निरंतर चर के लिए' घ एक्स → 0 ? । तो, उस सीमा है? कार्य इसे बाहर! यही कारण है कि है यह किस संभावना से परिवर्तित होता है। यह सुविधा एक सतत पीडीएफ को निरंतर बनाने से संबंधित है।$x$$dx\to 0?$

— Glen_b -Reinstate Monica

आगे ध्यान दें कि अगर वह अंतिम सीमा कुछ भी हो, लेकिन शून्य, आपकी तीन संभावनाएं ( से पहले , एक्स और "के बाद " एक्स ) 1 में नहीं जोड़ेगी$x$$x$$x$

— ग्लेन_ब-मोनिका

Answer 2

क्या होगा यदि ट्रेन अब से ठीक 5 मिनट पहले पहुंचती है, तो इसकी संभावना 0 होने पर कैसे हो सकती है?

एक संभाव्य कथन किसी घटना की संभावना / व्यवहार्यता के बारे में बयान नहीं है । यह केवल इसके बारे में हमारी अनिश्चितता को निर्धारित करने के हमारे प्रयास को दर्शाता है। इसलिए जब कोई घटना निरंतर होती है (या एक के रूप में मॉडलिंग की जाती है), तो हमारे उपकरण और ज्ञान की वर्तमान स्थिति हमें एक विशिष्ट मूल्य लेने के बारे में एक संभाव्य कथन करने की अनुमति नहीं देती है । हम केवल एक सीमा से संबंधित इस तरह का बयान दे सकते हैंमूल्यों की। बेशक सामान्य चाल यहाँ समर्थन को विवेकाधीन करना है, एकल मूल्यों के बजाय मूल्यों के "छोटे" अंतराल पर विचार करना है। चूंकि सतत यादृच्छिक चर असतत यादृच्छिक चर की तुलना में महान लाभ और लचीलापन लाते हैं, इसलिए यह भुगतान करने के लिए एक छोटी सी कीमत के रूप में पाया गया है, शायद अंतराल के रूप में छोटे रूप में हम पर विचार करने के लिए मजबूर हैं।

Comments

$\Pr(X=a)=0$$X$

हाय @ पहर। मॉडल और घटना के बीच अंतर के बारे में, पृथ्वी का एक नक्शा पृथ्वी नहीं है, लेकिन यह आपको पृथ्वी पर घूमने में मदद कर सकता है। यह मैं मॉडल के बारे में सोचता हूं, जब मैं उन्हें शुद्ध बौद्धिक आनंद की वस्तुओं के रूप में नहीं मानता (जो वे भी हैं)। "शून्य संभावना" मुद्दे के लिए, यह एक अपूर्णता है, आखिरकार, क्या यह निरंतरता के सभी लाभों के लिए बहुत अच्छा नहीं होगा और एक एकल मूल्य के बारे में संभाव्यता बयान करने में सक्षम होगा? लेकिन अपूर्ण होने से कुछ अनुचित नहीं होता है, और जैसा कि मैं लिखता हूं, यह अपूर्णता बहुत कम महत्व की साबित हुई है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस 10

आप स्पष्ट रूप से मान लेते हैं कि संभावना आपके मानचित्रण सादृश्य में कुछ उद्देश्यपूर्ण चीज है "वहाँ" है, लेकिन यह नहीं है। संभाव्यता का केवल एक मॉडल के भीतर एक अर्थ है। मुझे संभावना के स्वयंसिद्धों में कोई "खामियां" नहीं दिखती हैं और वास्तव में, कोई भी एकल मूल्यों की संभावनाओं के बारे में सटीक, सुसंगत बयान दे सकता है: अक्सर वे शून्य होते हैं।

— whuber

@ जब तक नहीं, मैं ऐसा नहीं मानता, और मुझे समझ नहीं आया कि आपने यह नहीं देखा कि मैंने क्या लिखा है। मैंने कहा "नक्शा पृथ्वी नहीं है", जिसका अर्थ है "जो मॉडल में है वह वास्तविकता में मौजूद नहीं है", तो आप इसके विपरीत कैसे पता लगा सकते हैं? "अपूर्णता" संभावना के स्वयंसिद्धों को संदर्भित नहीं करता है, लेकिन ये उपकरण हमें क्या संकेत देते हैं, और वास्तविक दुनिया को मॉडल, अध्ययन और समझने के लिए इन उपकरणों को कितनी प्रभावी रूप से उपयोग में लाया जा सकता है। और यह स्पष्ट है कि मेरा मानना ​​है कि संभावना एक प्रभावी उपकरण है।

— एलेकोस पापाडोपौलोस 14

Answer 3

उपरोक्त के लिए आपको कुछ अंतर्ज्ञान देने के लिए, निम्नलिखित (विचार) प्रयोग का प्रयास करें:

एक शासक के साथ शून्य के आसपास एक वास्तविक रेखा खींचना। अब एक तीखा डार्ट लें और इसे लाइन पर बेतरतीब ढंग से ऊपर से गिरने दें (मान लें कि आप हमेशा लाइन से टकराएंगे और तर्क की खातिर केवल पार्श्व स्थिति मायने रखती है)।

हालाँकि कई बार आप डार्ट को लाइन पर बेतरतीब ढंग से गिरने देते हैं, आप कभी भी पॉइंट जीरो नहीं मारेंगे। क्यों? सोचें कि बिंदु शून्य क्या है, सोचें कि इसकी चौड़ाई क्या है। और जब आप पहचान लेते हैं कि इसकी चौड़ाई 0 है, तो क्या आपको लगता है कि आप इसे मार सकते हैं?

आप बिंदु 1, या -2 को हिट करने में सक्षम होंगे? या किसी अन्य बिंदु को आप उस मामले के लिए लाइन पर चुनते हैं?

गणित में वापस आने के लिए, यह भौतिक दुनिया और गणितीय अवधारणा जैसे वास्तविक संख्या (मेरे उदाहरण में वास्तविक रेखा द्वारा दर्शाया गया) के बीच अंतर है। संभाव्यता सिद्धांत में आपके व्याख्यान में देखने की तुलना में संभाव्यता की थोड़ी अधिक जटिल परिभाषा है। घटनाओं की संभावना और उनके परिणामों के किसी भी संयोजन की मात्रा निर्धारित करने के लिए, आपको एक संभावना माप की आवश्यकता होती है। बोरेल माप और लेब्सेग माप दोनों को वास्तविक रेखा पर एक अंतराल [ए, बी] के लिए परिभाषित किया गया है: इस परिभाषा से आप देख सकते हैं कि अंतराल को कम करने पर संभावना के साथ क्या होता है एक नंबर पर (एक = बी सेट)।

$$\mu([a,b])=b-a$$

लब्बोलुआब यह है कि संभाव्यता सिद्धांत की हमारी वर्तमान परिभाषा (कोलमोगोरोव में वापस डेटिंग) के आधार पर तथ्य यह है कि एक घटना 0 संभावना है इसका मतलब यह नहीं हो सकता है।

और जहां तक ​​ट्रेन के साथ आपका उदाहरण है, अगर आपके पास एक सटीक रूप से सटीक घड़ी होगी, तो आपकी ट्रेन समय पर बिल्कुल नहीं आएगी।

Comments

$x$$x$

मुझे लगता है कि आपको प्रश्न के बीच अंतर करना होगा: क्या संभावना है कि मैं कुछ बिंदु मारूंगा? अगर हम इस बात से सहमत हैं कि आप हमेशा एक डार्ट को फेंकते हैं और यह हमेशा लाइन के साथ कहीं टकराता है, तो संभावना १ है। साथ ही, मैं यह नहीं कह रहा हूं कि आप हिट नहीं करेंगे। मैं यह कह रहा हूं कि संभावना यह है कि आप किसी भी बिंदु को उठाते हैं डार्ट को फेंकने से पहले 0. है। वास्तव में आप किसी भी परिमित बिंदु को चुन सकते हैं और संभावना अभी भी 0. होगी

— मतलब-टू-अर्थ

आपके प्रश्न के बारे में, मुझे आपकी बात समझ में आ रही है, लेकिन घटनाओं के होने की संभावनाओं के बारे में पूछना उनके गैर-संवेदी होने के बाद है। P (X = x) जैसे एक स्टेटमेंट में एक रैंडम वेरिएबल X के भविष्य के अहसास का जिक्र किया गया है। इसलिए जब तक आप कुछ बिंदु मारते हैं, मैं इसके बारे में कुछ नहीं कहूंगा। (बड़े कैप का उपयोग केवल समय-प्रवाह को इंगित करने के लिए किया जाता है, चिल्लाने के लिए नहीं ...)

— मतलब-टू-अर्थ

Answer 4

एक संभावना वितरण के लिए एकता का एक क्षेत्र होना चाहिए। यदि उपाय निरंतर है, तो अनंत मान हैं जो इसे ले सकते हैं (यानी वितरण के x- अक्ष के साथ मूल्यों की अनंत संख्या)। एकमात्र तरीका जो प्रायिकता वितरण का कुल क्षेत्र परिमित हो सकता है, वह प्रत्येक के मान के लिए अनंत संख्या के मानों का शून्य होना है। एक अनंत से विभाजित।

In वास्तविक जीवन ’में ऐसे कोई उपाय नहीं हो सकते हैं जो कई प्रकार के मूल्यों (कई अलग-अलग दार्शनिक तर्कों द्वारा, जो यहां बहुत मायने नहीं रखते हैं) लेते हैं, इसलिए किसी मूल्य की बिल्कुल शून्य होने की संभावना नहीं है। एक उपयोगी व्यावहारिक तर्क वास्तविक दुनिया माप की परिमित परिशुद्धता पर आधारित है। यदि आप स्टॉपवॉच का उपयोग करते हैं जो एक सेकंड के दसवें तक मापता है, तो ट्रेन में एक सेकंड का दसवां हिस्सा होगा, जिसमें 'बिल्कुल' पांच मिनट में आना होगा।

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यहां पहला पैराग्राफ कुछ अस्पष्ट अंतर्ज्ञान प्रदान करता है , हालांकि कटौती के कदम गलत हैं। वितरण कि मूल्यों की एक अनंत संख्या स्वीकार करते हैं के बहुत सारे हैं अभी तक प्रत्येक महत्व है कड़ाई से सकारात्मक संभावना। दूसरा पैराग्राफ एक रिवाइडिंग से लाभान्वित हो सकता है जो इस बात पर जोर देता है कि प्रत्येक माप मूल्य ब्याज की अंतर्निहित मात्रा के संभावित मूल्यों के एक (छोटे) अंतराल से जुड़ा हुआ है।

— कार्डिनल

इस संदर्भ में कड़ाई से सकारात्मक मूल्य (अनंत द्वारा विभाजित परिमित मूल्य?) और शून्य के बीच क्या अंतर है?

— माइकल ल्यू

मेरी बात, शायद खराब तरीके से, यह है कि पहले पैराग्राफ में तर्क झूठे आधार पर आधारित है, क्योंकि यादृच्छिक चर असीम रूप से कई मूल्यों को ले सकता है, प्रत्येक व्यक्तिगत परिणाम में संभावना शून्य होना चाहिए। यह, निश्चित रूप से, गलत (पॉइसन, ज्यामितीय, आदि) है; "अनन्तता" की अवधारणा यहाँ एक मजबूत पर्याप्त नहीं है, हमें बेशुमार आवश्यकता है ।

— कार्डिनल

Answer 5

$A$$A$

ओपी ने टिप्पणियों में जो कुछ कहा है, मैं उसे उम्मीद से संबोधित करने के लिए यह लिख रहा हूं:

आप कहते हैं कि "आप कभी भी पॉइंट जीरो नहीं मारेंगे", लेकिन आप उस बिंदु के बारे में क्या कह सकते हैं जो मैंने अपने पहले डार्ट थ्रो में मारा था? चलो point वह बिंदु है जो मैंने मारा। मेरे डार्ट को फेंकने से पहले, आपने कहा होगा "आप कभी भी बिंदु point को नहीं मारेंगे", लेकिन मैंने अभी इसे मारा है। अब क्या?

$(\Omega, A, \mu)$$\Omega$$\mathbb{R}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$$\mu$$\mu(\Omega) = 1$$([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$$\nu$$\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$$x \in [a,b]$$\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$$A$$\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$$t < s$

$$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$$ $\mathcal{F}_1$

Comments

$\Omega.$$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$ एक अधिक मौलिक स्तर पर, यह स्पष्ट नहीं है कि आपको किसी एकल घटना के समय के बारे में यादृच्छिक चर पर चर्चा करने के लिए स्टोचस्टिक प्रक्रियाओं की मशीनरी को लागू करने की आवश्यकता क्यों है, और न ही यह स्पष्ट है कि यह कोई अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

— whuber