मानकीकृत बेटों को मूल चर में वापस लाना

मुझे पता है कि यह शायद एक बहुत ही सरल प्रश्न है, लेकिन खोज के बाद मुझे वह उत्तर नहीं मिल रहा है जिसकी मुझे तलाश है।

मुझे एक समस्या है जहां मुझे बेटों के रिज अनुमानों की गणना करने के लिए चर (रिज रिग्रेशन) चलाने की आवश्यकता है।

फिर मुझे इन्हें वापस मूल चर पैमाने पर बदलने की आवश्यकता है।

लेकिन मैं यह कैसे करूँ?

मुझे बाइवेरिएट केस के लिए एक सूत्र मिला

β^{*} = \hat{β} \frac{S_{x}}{S_{y}} .

$\beta^* = \hat\beta \frac{S_x}{S_y} \>.$

यह डी। गुजराती, मूल अर्थमिति , पृष्ठ 175, सूत्र (6.3.8) में दिया गया था।

जहाँ मानकीकृत चर पर प्रतिगमन रन से अनुमानक हैं और मूल पैमाने पर वापस रूपांतरित एक ही अनुमानक है, का नमूना मानक विचलन है, और नमूना मानक विचलन है। $\beta^*$ $\hat\beta$ $S_y$ $S_x$

दुर्भाग्य से पुस्तक कई प्रतिगमन के अनुरूप परिणाम को कवर नहीं करती है।

इसके अलावा, मुझे यकीन नहीं है कि मैं बीवरिएट मामले को समझ सकता हूं? साधारण बीजगणितीय हेरफेर मूल पैमाने में लिए सूत्र देता है : $\hat\beta$

\hat{β} = β^{*} \frac{S_{y}}{S_{x}}

$\hat\beta=\beta^* \frac{S_y}{S_x}$

यह मेरे लिए अजीब लगता है कि जिन की गणना चर पर पहले से ही द्वारा की गई , उन्हें द्वारा फिर से परिवर्तित किया जाना है? (प्लस माध्य मानों को वापस क्यों नहीं जोड़ा गया?) $\hat\beta$ $S_x$ $S_x$

तो, क्या कोई यह समझा सकता है कि यह एक बहुभिन्नरूपी मामले के लिए आदर्श रूप से व्युत्पत्ति के साथ कैसे किया जाए ताकि मैं परिणाम को समझ सकूं?

— बाज
स्रोत

मानकीकृत चर का उपयोग करते हुए प्रतिगमन मॉडल के लिए, हम प्रतिगमन लाइन के लिए निम्न रूप को मानते हैं

E [Y] = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j},

$\mathbb E[Y] =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j},$

जहाँ -th (मानकीकृत) है, जो नमूना को घटाकर से उत्पन्न होता है और नमूना मानक विचलन द्वारा विभाजित होता है : $z_{j}$ $x_j$ $\bar x_j$ $S_j$

z_{j} = \frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}

$z_j = \frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}$

मानकीकृत रजिस्टरों के साथ प्रतिगमन को ले जाने पर, हम फिट किए गए प्रतिगमन लाइन प्राप्त करते हैं:

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} z_{j}

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}z_{j}$

अब हम गैर-मानकीकृत भविष्यवक्ताओं के लिए प्रतिगमन गुणांक ढूंढना चाहते हैं। हमारे पास है

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}})

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right)$

पुन: व्यवस्था करते हुए, इस अभिव्यक्ति को लिखा जा सकता है

\hat{Y} = ({\hat{β}}_{0} - \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} \frac{{\bar{x}}_{j}}{S_{j}}) + \sum_{j = 1}^{k} (\frac{{\hat{β}}_{j}}{S_{j}}) x_{j}

$\hat Y = \left( \hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j} \right) + \sum_{j=1}^k \left(\frac{\hat \beta_j}{S_j}\right) x_j$

जैसा कि हम देख सकते हैं, गैर-रूपांतरित चर का उपयोग करते हुए प्रतिगमन के लिए अवरोधन । के प्रतिगमन गुणांक वें कारक है । $\hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j}$ $j$ $\frac{\hat \beta_j}{S_j}$

प्रस्तुत मामले में, मैंने मान लिया है कि केवल भविष्यवाणियों को मानकीकृत किया गया था। यदि कोई प्रतिक्रिया चर का मानकीकरण भी करता है, तो कोवरिएट गुणांक को मूल पैमाने पर बदलना आपके द्वारा दिए गए संदर्भ से सूत्र का उपयोग करके किया जाता है। हमारे पास है:

\frac{E [Y] - \hat{y}}{S_{y}} = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j}

$\frac{\mathbb E[Y] - \hat y}{S_y} =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j}$

प्रतिगमन को अंजाम देते हुए, हम फिट प्रतिगमन समीकरण प्राप्त करते हैं

{\hat{Y}}_{s c a l e d} = \frac{{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} - \bar{y}}{S_{y}} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}),

$\hat Y_{scaled} = \frac{\hat Y_{unscaled} - \bar y}{S_y} = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right),$

जहां फिट किए गए मान मानकीकृत प्रतिक्रिया के पैमाने पर हैं। उन्हें अनसुना करने और अनियंत्रित मॉडल के लिए गुणांक अनुमानों को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम द्वारा समीकरण को गुणा करते हैं और के नमूने का मतलब दूसरी तरफ लाते हैं : $S_y$ $y$

{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} = {\hat{β}}_{0} S_{y} + \bar{y} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{S_{y}}{S_{j}}) (x_{j} - {\bar{x}}_{j}) .

$\hat Y_{unscaled} = \hat \beta_0 S_y + \bar y +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{S_y}{S_j}\right) (x_j - \bar{x}_j).$

मॉडल के अनुरूप इंटरसेप्ट जिसमें न तो प्रतिक्रिया और न ही भविष्यवाणियों को मानकीकृत किया गया है, फलस्वरूप , जबकि हित के मॉडल के लिए गुणांक साथ प्रत्येक गुणांक को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है । $\hat \beta_0 S_y + \bar y - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{S_y}{S_j}\bar x_j$ $S_y / S_j$

— फिलिप बर्कहार्ट
स्रोत