IID रैंडम वेरिएबल्स (कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी वर्कशीट) के योगों की उद्धरण की अपेक्षा

Question

मैं एक ऐसे इंटरव्यू की तैयारी कर रहा हूँ जिसमें बुनियादी संभावना (कम से कम इंटरव्यू के माध्यम से प्राप्त करने के लिए) के एक अच्छे ज्ञान की आवश्यकता होती है। मैं संशोधन के रूप में अपने छात्र दिनों से नीचे दी गई शीट के माध्यम से काम कर रहा हूं। यह ज्यादातर काफी सीधा है, लेकिन मैं सवाल 12 पर पूरी तरह से फंस गया हूं।

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।

संपादित करें: सवाल यह है:

मान लीजिए कि स्वतंत्र रूप से और साथ सकारात्मक यादृच्छिक चर वितरित किए गए हैं । आज्ञा देना । उस तब दिखाएँ जब , और जब ।$X_1, X_2, ...$$\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$$\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$$m>=n$

वास्तव में, इसे टाइप करने की प्रक्रिया में, मैंने दूसरा भाग हल किया है।

के लिए ,$m>=n$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

और इसके अनुपात के अंश और भाजक स्पष्ट रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

और हम वांछित परिणाम प्राप्त करते हैं।

मैं अभी भी पहले भाग पर अटका हुआ हूँ।

Comments

यह महत्वपूर्ण है कि पद स्व-निहित हों। प्रश्न के पठनीय संस्करण को शामिल करने के लिए कृपया इसे संपादित करें। हम यह भी पूछते हैं कि आपने संकेत दिया है कि आपने क्या प्रयास किया है और क्या प्रगति की है, यदि कोई है, तो आपने किया है: अन्यथा हमारे पास उस स्तर को गेज करने का कोई आधार नहीं है जिस पर उत्तर लिखना है।

— whuber

अनुरोध के अनुसार अपडेट किया गया।

— Spy_Lord

बहुत बढ़िया! यहाँ पहले भाग के लिए एक सुझाव है: जब आप जोड़ने के के समान प्रतियां एक साथ, ऐसा लगता है योग की तरह एक वितरण जिसका उम्मीद केवल आईआईडी धारणा का उपयोग कर की गणना करने के लिए आसान है करना होगा। $n$$S_m/S_n$

— whuber

मैं इसे लिखने के आपके प्रस्ताव की सराहना करता हूं; मुझे लगता है कि यह हमारी साइट के लिए एक उपयोगी अतिरिक्त होगा।

— whuber

ठीक है, मुझे लगता है कि जो कदम मैंने सोचा था कि शुरू में सही था, फिर फैसला किया गया कि वह गलत था, वास्तव में ठीक है! अनिवार्य रूप से, जब आप उस बिंदु पर पहुंच जाते हैं, जहां आपके पास तो यह, iid संपत्ति के द्वारा, क्या आप पुष्टि कर सकते हैं कि ठीक है? यदि ऐसा है तो मैं इसे जल्दबाजी में टाइप करूँगा। $\mathbb{E}((nX_1)/(X_1+. . . + X_n))$$\mathbb{E}((X_1 + ... + X_n)/(X_1+. . . + X_n)) = 1$

— Spy_Lord

Answer 1

की समरूप प्रतियाँ जोड़ने के लिए खोलना बहुत चालाक है! लेकिन हम में से कुछ इतने चालाक नहीं हैं, इसलिए बिग आइडिया को एक मंच पर "स्थगित" करने में सक्षम होना अच्छा है जहां यह अधिक स्पष्ट है कि क्या करना है। यह जानने के बिना कि कहां से शुरू करना है, ऐसे कई सुराग मिलते हैं कि समरूपता वास्तव में महत्वपूर्ण हो सकती है (इसके अलावा सममित है और हमारे पास कुछ योग हैं, और iid चर की एक ही अपेक्षा है ताकि शायद उन्हें चारों ओर स्वैप किया जा सके या उपयोगी तरीकों से नाम बदला जा सके)। वास्तव में इस सवाल का "कठिन" बिट यह है कि विभाजन से कैसे निपटना है, ऑपरेशन जो सममित नहीं है। हम समन की समरूपता का कैसे फायदा उठा सकते हैं? अपेक्षा की रैखिकता से हमारे पास है:$n$$S_m/S_n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

लेकिन फिर समरूपता के आधार पर, यह देखते हुए कि iid और , दाईं ओर की सभी शर्तें समान हैं! क्यों? लिए और के लेबल स्विच करें । हर स्विच की स्थिति में दो शब्द, लेकिन इसे फिर से करने के बाद भी लिए , जबकि अंश से में । So । आइए लिखने के लिए और के बाद से देखते हैं कि ये शर्तें हमारे पास ।$X_i$$m \le n$$X_i$$X_j$$i, j \le n$$S_n$$X_i$$X_j$$\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$$\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$$1 \le i \le n$$m$$\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$

ऐसा लगता है जैसे जो सही परिणाम देगा। लेकिन इसे साबित कैसे किया जाए? हम जानते है$k=1/n$

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

यह केवल इस स्तर पर है कि यह मुझ पर चढ़ा हुआ है जिसे प्राप्त करने के लिए मुझे इन्हें एक साथ जोड़ना चाहिए

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

इस पद्धति के बारे में अच्छी बात यह है कि यह प्रश्न के दो भागों की एकता को बनाए रखती है। समरूपता टूट गई है, जब समायोजन की आवश्यकता होती है , तो यह है कि अपेक्षा की रैखिकता लागू करने के बाद दाईं ओर की शर्तें दो प्रकार की , इस पर निर्भर करता है कि अंश में भाजक में योग में है या नहीं। (पहले की तरह, मैं और के लेबल को स्विच कर सकता हूं, यदि दोनों हर में दिखाई देते हैं क्योंकि यह केवल राशि को फिर से , या यदि यह स्पष्ट रूप से अपरिवर्तित राशि को नहीं छोड़ता है, लेकिन यदि कोई करता है और एक तब होता है भाजक के शब्दों में परिवर्तन होता है और यह अब लिए नहीं ।) हमारे पास है$m>n$$X_i$$X_i$$X_j$$S_n$$S_n$$i \le n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ और हमारे पास , कहते हैं। हमारे पास चूंकि पूर्व पदों की, और बाद के,$i>n$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$$n$$m-n$

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

फिर खोजना और लिए : स्वतंत्रता का उपयोग करके सीधा है।$r$$S_n^{-1}$$X_i$$i>n$$r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

तो एक ही "चाल" दोनों हिस्सों के लिए काम करता है, इसमें सिर्फ दो मामलों से निपटना शामिल है यदि । मुझे संदेह है कि इस क्रम में प्रश्न के दो भाग क्यों दिए गए।$m>n$

Comments

प्रश्न के माध्यम से काम करने वाले आपके विचारों पर एक बहुत अच्छा प्रदर्शन है, और आप एनके चरण को स्पष्ट करते हैं (मेरा उत्तर क्रम केवल 'स्पष्ट रूप से बराबर है') कहता है। चीयर्स!

— Spy_Lord

Answer 2

पहले भाग के लिए संकेत के लिए whuber के लिए धन्यवाद।

लिए पर विचार करें$nS_m/S_n$$m<=n$

हमारे पास$\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

और आईआईडी संपत्ति द्वारा, यह इसके बराबर है:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

इसलिए लिए$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$$m<=n$