राज्य अंतरिक्ष मॉडल में कलमन फ़िल्टर की व्याख्या करना

राज्य अंतरिक्ष मॉडल में कलमन फ़िल्टर के उपयोग में क्या कदम शामिल हैं?

मैंने कुछ विभिन्न योगों को देखा है , लेकिन मैं विवरणों के बारे में निश्चित नहीं हूं। उदाहरण के लिए, काउपरवेट समीकरणों के इस सेट से शुरू होता है:

y_{t} = F_{t}^{^{'}} θ_{t} + v_{t}

$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$

θ_{t} = G_{t} θ_{t - 1} + w_{t}

$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$

जहाँ पर , और , हमारे अज्ञात अनुमान हैं और प्रेक्षित मान हैं। $\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$ $w_{t} \sim N(0, W_{t})$ $\theta_{t}$ $y_{t}$

काउपरवेट शामिल वितरण को परिभाषित करता है (पूर्व, संभावना और पीछे वितरण, क्रमशः):

θ_{t} | D_{t - 1} \sim N (a_{t}, R_{t})

$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$

y_{t} | θ_{t} \sim N (F_{t}^{^{'}} θ_{t}, V_{t})

$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$

θ_{t} | D_{t} \sim N (m_{t}, C_{t})

$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$

साथ में

\begin{array}{rcl} a_{t} & = G_{t} m_{t - 1}, R_{t} & = G_{t} C_{t - 1} G_{t}^{^{'}} + W_{t} \\ e_{t} & = y_{t} - f_{t}, m_{t} & = a_{t} + A_{t} e_{t} \\ f_{t} & = F_{t}^{^{'}} a_{t}, Q_{t} & = F_{t}^{^{'}} R_{t} F_{t} + V_{t} \\ A_{t} & = R_{t} F_{t} Q_{t}^{- 1}, C_{t} & = R_{t} - A_{t} Q_{t} A_{t}^{^{'}} \end{array}

$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$

जिस तरह से, के वितरण का मतलब है मनाया मूल्यों दिया अप करने के लिए । एक सरल संकेतन लेकिन मैं काउपरवेट के संकेतन के साथ चिपका रहूंगा। $\theta_{t}|D_{t-1}$ $\theta_{t}$ $y$ $t-1$ $\theta_{t|t-1}$

लेखक अपेक्षाओं के संदर्भ में की भविष्यवाणी का वर्णन करता है: $y_{t+1}|D_{t}$

E [y_{t + 1} | D_{t}] = E [F_{t + 1}^{^{'}} θ_{t + 1} + v_{t + 1} | D_{t}] = F_{t + 1}^{^{'}} E [θ_{t + 1} | D_{t}] = F_{t + 1}^{^{'}} a_{t + 1} = f_{t + 1}

$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$

जहां तक मैं समझता हूं, ये कदम हैं, हालांकि, कृपया मुझे बताएं कि क्या कोई गलती है या कोई गड़बड़ी है:

हम , शुरू करते हैं , , हम अपने अनुमानों के लिए मान का मूल्य अनुमान । $m_{0}$ $C_{0}$ $\theta_{0}$
हम लिए एक मूल्य की भविष्यवाणी करते हैं । यह बराबर होना चाहिए जो । बाद से जाना जाता है । $y_{1}|D_{0}$ $f_{1}$ $F^{'}_{1}a_{1}$ $a_{1}$ $a_{1} = G_{1}m_{0}$
एक बार जब हम लिए हमारी भविष्यवाणी करते हैं , तो हम त्रुटि गणना करते हैं । $y_{1}|D_{0}$ $e_{1} = y_{1} - f_{1}$
त्रुटि का उपयोग पीछे के वितरण की गणना करने के लिए किया जाता है जिसमें और । को पूर्व माध्य और त्रुटि के भारित योग के रूप में दिया गया है: । $e_{1}$ $\theta_{1}|D_{1}$ $m_{1}$ $C_{1}$ $m1$ $a_{1} + A_{1}e_{1}$
निम्नलिखित पुनरावृत्ति में, हम चरण 1 में भविष्यवाणी करके शुरू करते हैं। इस स्थिति में, । चूँकि और की अपेक्षा है कि हम पहले से ही पिछले चरण में गणना करते हैं, तो हम गणना करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। वितरण का मतलब पहले की तरह। $y_{2}|D_{1}$ $f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$ $a_{2} = G_{2}m_{1}$ $m1$ $\theta_{1}|D_{1}$ $e_{2}$ $\theta_{2}|D_{2}$

मुझे लगता है कि पीछे के वितरण की गणना है जिसे कुछ लोग अद्यतन कदम कहते हैं और की अपेक्षा का उपयोग करते हैं। भविष्यवाणी कदम है। $\theta_{t}|D_{t}$ $y_{t+1}|D_{t}$

संक्षिप्तता के लिए, मैंने कोविरियस मैट्रिसेस की गणना करने के चरणों को छोड़ दिया।

क्या मैं कुछ भूल गया? क्या आप इसे समझाने का एक बेहतर तरीका जानते हैं? मुझे लगता है कि यह अभी भी कुछ गड़बड़ है, इसलिए शायद एक स्पष्ट दृष्टिकोण है।

kalman-filter state-space-models

— रॉबर्ट स्मिथ
स्रोत

मुझे लगता है कि आप जो कहते हैं वह सही है, और मुझे नहीं लगता कि यह गड़बड़ है। यह कहने का एक तरीका है कि कलमन फ़िल्टर एक त्रुटि-सुधार एल्गोरिथ्म है, जो वर्तमान टिप्पणियों के साथ विसंगतियों के प्रकाश में भविष्यवाणियों को संशोधित करता है। यह सुधार आपके चरण 4 में किया गया है) लाभ मैट्रिक्स का उपयोग कर । $A_t$

— एफ। टसेल
स्रोत

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। शायद यह सही है, लेकिन मैं इस बारे में अधिक विस्तृत (और प्राकृतिक) स्पष्टीकरण पढ़ना चाहूंगा। मैंने किताबों और स्लाइडों में विवरण पढ़ा है, लेकिन उनमें से ज्यादातर बहुत स्पष्ट नहीं हैं और मामूली अंतर हैं।

— रॉबर्ट स्मिथ