अनुभवजन्य माध्य की अपेक्षा किसी मूल्य से अधिक होने की संख्या

आईआईडी यादृच्छिक चर का, कहते हैं, एक दृश्य को देखते हुए के लिए , मैं अनुभवजन्य माध्य की अपेक्षित संख्या को बांधने की कोशिश कर रहा हूं $X_i \in [0,1]$ $i = 1,2,...,n$ एक मूल्य से अधिक होगा,के रूप में हम नमूने आकर्षित करने के लिए जारी रखने के लिए, वह यह है कि: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ $c \geq 0$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} P ({\frac{1}{j} \sum_{i = 1}^{j} X_{i} \geq c})

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \mathbb{P} \left(\left\{ \frac{1}{j}\sum_{i=1}^j X_i \geq c\right\}\right)$

यदि हम मानते हैं कि कुछ , हम आने के लिए Hoeffding की असमानता का उपयोग कर सकते हैं $c = a + \mathbb{E}[X]$ $a > 0$

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} e^{- 2 j a^{2}} \\ = \frac{1 - e^{- 2 a^{2} n}}{e^{2 a^{2}} - 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n e^{-2ja^2} \\ & = \frac{1 - e^{-2 a^2 n}}{e^{2 a^2}-1} \end{align}$

जो अच्छा लग रहा है (हो सकता है) लेकिन वास्तव में काफी ढीली बाउंड है, क्या इस मूल्य को बांटने के कोई बेहतर तरीके हैं? मुझे उम्मीद है कि विभिन्न घटनाओं के बाद से एक रास्ता हो सकता है (प्रत्येक ) स्पष्ट रूप से स्वतंत्र नहीं हैं, मुझे इस निर्भरता का फायदा उठाने के किसी भी तरीके के बारे में पता नहीं है। इसके अलावा, इस प्रतिबंध को हटाने के लिए अच्छा होगा कि मतलब से अधिक हो। $j$ $c$

$c$

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} \frac{\frac{1}{j} E [X]}{c} \\ = \frac{E [X] H_{n}}{c} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n \frac{\frac{1}{j}\mathbb{E}[X]}{c} \\ & = \frac{\mathbb{E}[X]H_n}{c} \end{align}$

T

$\mathcal{T}$

c \leq E [X]

$c \leq \mathbb{E}[X]$

mathematical-statistics expected-value bounds

— fairidox
स्रोत

T

$\mathcal{T}$

j \times

$j\times$

c

$c$

c \leq 0

$c\le 0$

T = n (n + 1) / 2

$\mathcal{T} = n(n+1)/2$

@whuber ओह, राइट, गुड पॉइंट थैंक्स, मैंने इसे ऊपर तय किया।

— फेयरिडॉक्स

मैंने देखा कि आपने अपने ऊपरी हिस्से को बदल दिया है। अब यह नकारात्मक प्रतीत होता है; ;-)

— whuber

j

$j$

$\bar x_j$ $F_j$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} (1 - F_{j} (c)) = n - \sum_{j = 1}^{n} F_{j} (c)

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \left(1-F_j(c)\right) = n- \sum_{j=1}^n F_j(c)$

$m$ $\hat G$

T = n - \sum_{j = 1}^{m} F_{j} (c) - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c) < n - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c)

$\mathcal{T} = n- \sum_{j=1}^m F_j(c)-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c) < n-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c)$

$\hat G_j(c)$

{\hat{G}}_{j} (c) = 1 - Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (μ - c))

$\hat G_j(c) = 1- \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(\mu-c)\right)$

Φ

$\Phi$

σ

$\sigma$

μ

$\mu$

T < m + \sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\mathcal{T} < m+\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

$m= 30$ $[0,1]$ $\sigma = \sqrt \frac{1}{12}$ $\mu = \frac 12$ $a=0.05$ $n=34$ $n>30$ $n=100$ $78.5$ $36.2$ $\approx 199.5$ $\approx 38.5$ $a$ $a=0.1$ $49.5$ $30.5$
$n\rightarrow \infty$

H_{b} \to \frac{1}{e^{2 a^{2}} - 1}

$H_b\rightarrow \frac{1}{e^{2 a^2}-1}$

A_{b} \to m

$A_b \rightarrow m$

$a$ $H_b$ $A_b$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

" (यानी नमूना के वितरण में सामान्य सन्निकटन प्राप्त करने के लिए ग्रहण किए गए नमूना-आकार की सीमा से अधिक नहीं) " आप यहाँ किस बारे में बात कर रहे हैं?

— Glen_b -Reinstate Monica

\approx 30.5

$\approx 30.5$

m + 0.5

$m + 0.5$

\sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

जब तक आप उन परिस्थितियों के बारे में नहीं बता सकते , जिनके तहत वह रखती है , कृपया उस चीज़ को किसी भी सामान्य अर्थ में अंगूठे का नियम कहने से बचें। 30 का आंकड़ा पूरी तरह से मनमाना है (आमतौर पर या तो बहुत कमजोर या बहुत मजबूत है), और यह कि 30 भी आपके मामले में बदल जाता है, मैं साधारण संयोग मानता हूं।

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b "30" भी एक संयोग नहीं था - मैंने इसका उपयोग संख्यात्मक उदाहरण प्रदान करने के लिए किया था। मुझे इस मुद्दे पर कोई आपत्ति नहीं है, मुझे "अंगूठे के नियम" पसंद नहीं हैं (खासकर जब वे संदिग्ध होते हैं)। मैंने अपने उत्तर में कुछ बदलाव किए हैं। इनपुट के लिए धन्यवाद।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@Glen_b संभवतः गैर-स्थिर (लंबे समय तक) स्मृति के लिए धन्यवाद!

— एलेकोस पापाडोपोलोस