दो मापदंडों के उत्पाद के लिए आत्मविश्वास अंतराल

मान लें कि हमारे पास दो पैरामीटर हैं, और । हमारे पास इन मापदंडों के लिए दो अधिकतम संभावना अनुमानक और और दो आत्मविश्वास अंतराल हैं। क्या लिए एक विश्वास अंतराल बनाने का एक तरीका है ? $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— अतिथि
स्रोत

आप की मानक त्रुटि की गणना करने के लिए डेल्टा विधि का उपयोग कर सकते हैं । डेल्टा विधि बताती है कि एक फ़ंक्शन के विचरण का एक अनुमान इस प्रकार दिया गया है: दूसरी ओर की अपेक्षा का सन्निकटन इसके द्वारा दिया गया है: तो अपेक्षा केवल कार्य है। आपका फ़ंक्शन है: । की उम्मीद बस होगी: $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $g(t)$

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$

g (t)

$g(t)$

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$

g (t)

$g(t)$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ । विचरण के लिए, हमें के आंशिक व्युत्पत्ति की आवश्यकता है :

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

ऊपर दिए गए विचरण के लिए फ़ंक्शन का उपयोग करना, हमें मिलता है:

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$ मानक त्रुटि तो बस उपरोक्त अभिव्यक्ति का वर्गमूल होगा। एक बार जब आप मानक त्रुटि प्राप्त कर लेते हैं, तो यह सीधे सीधे लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करने के लिए आगे होता है :

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

की मानक त्रुटि को शांत करने के लिए , आपको और के विचरण की आवश्यकता होती है, जिसे आप आमतौर पर प्राप्त कर सकते हैं द्वारा विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स जो आपके मामले में एक 2x2-मैट्रिक्स होगा क्योंकि आप दो अनुमान हैं। विचरण-सहसंयोजक मैट्रिक्स में विकर्ण तत्व और के भिन्न रूप हैं, जबकि ऑफ-विकर्ण तत्व covariance of और (मैट्रिक्स सममित है)। जैसा कि @gung टिप्पणियों में उल्लेख करते हैं, अधिकांश सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर्स द्वारा विचरण-कोविरियन मैट्रिक्स को निकाला जा सकता है। कभी-कभी, अनुमान एल्गोरिदम प्रदान करते हैं $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ हेसियन मैट्रिक्स (मैं यहाँ उस बारे में विवरण में नहीं जाऊंगा), और विचरण-सहसंयोजक मैट्रिक्स का अनुमान नकारात्मक हेसियन के व्युत्क्रम से लगाया जा सकता है (लेकिन केवल तभी जब आप लॉग-लाइबिलिटी को अधिकतम कर रहे हैं! ( इस पोस्ट को देखें )। फिर से, अपने सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर और / या वेब को हेसियन निकालने के तरीके पर और मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करने के तरीके के बारे में सलाह लें।

वैकल्पिक रूप से, आप निम्न अंतराल में आत्मविश्वास अंतरालों से और संस्करण प्राप्त कर सकते हैं (यह 95% के लिए मान्य है): । के लिए एक -CI, अनुमानित मानक त्रुटि है: , जहां है (के लिए मानक सामान्य वितरण की quantile , )। फिर, $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ । वही के विचरण के लिए सही है । हमें और भी देखने की आवश्यकता है (पैराग्राफ देखें)। यदि और स्वतंत्र हैं, तो सहसंयोजक शून्य है और हम पद छोड़ सकते हैं। $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

यह पत्र अतिरिक्त जानकारी प्रदान कर सकता है।

— COOLSerdash
स्रोत

+1। मापदंडों और उनके - मैट्रिक्स के जांच करके पाया जा सकता है , जो कि अधिकांश सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर प्रदान कर सकते हैं। जैसे, R में, यह है ; vcov ; & SAS में, PROC REG में मॉडल स्टेटमेंट के विकल्प के रूप में जोड़ा जाता है ।

β

$\boldsymbol\beta$ covb

— गंग - मोनिका

@ गूँग पेन्ट्री के एक बिंदु पर यह इंगित करने के लायक हो सकता है (क्योंकि मुझे पता है कि यह कुछ लोगों को भ्रमित करता है) कि यह वास्तव में बजाय ( ) का प्रसरण-सहसंयोजक मैट्रिक्स है (और वास्तव में यह वास्तव में ऐसा नहीं है , क्योंकि मानक विचलन का नमूना से अनुमान लगाया जाना है, इसलिए यह वास्तव में अनुमानित विचरण-सहसंयोजक मैट्रिक्स है ..)

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

— सिल्वरफ़िश

@ सिल्वरफ़िश, विधिवत पीछा किया। अगली बार मैं कहूँगा " - मैट्रिक्स ।"

\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

— गूँज - मोनिका

आप एक प्रोफ़ाइल संभावना समारोह बनाने की कोशिश कर सकते हैं! और उस से विश्वास अंतराल का निर्माण।

— kjetil b halvorsen

ना के बाद से यह एक पैरामीटर है?

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

— user0

मुझे उत्पाद के विचरण की गणना के लिए एक अलग समीकरण मिला।

यदि x और y स्वतंत्र रूप से वितरित किए जाते हैं, तो उत्पाद का विचरण अपेक्षाकृत सीधा होता है: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) ये परिणाम तीन या अधिक चर (गुडमैन 1960) से जुड़े मामलों को भी सामान्य करते हैं। स्रोत: रेगुलेटिंग पेस्टीसाइड्स (1980), परिशिष्ट एफ

Coolserdash: अंतिम घटक V (x) * V (y) आपके समीकरण में गायब है। क्या संदर्भित पुस्तक (कीटनाशकों का विनियमन) गलत है?

इसके अलावा, दोनों समीकरण सही नहीं हो सकते हैं। " ... हम दिखाते हैं कि तीन स्वतंत्र सामान्य चर के उत्पाद का वितरण सामान्य नहीं है ।" ( स्रोत )। मैं दो सामान्य रूप से वितरित चर के उत्पाद में भी कुछ सकारात्मक तिरछा होने की उम्मीद करूंगा ।

— मारेक kierny
स्रोत

CI / 2 / 1.96 = se की लंबाई, यानी A या B की मानक त्रुटि
se ^ 2 = var, यानी अनुमान A या B का प्रसरण
अनुमानित A या B का उपयोग A या B, अर्थात E (A) या E (B) के साधन के रूप में करें
इस पृष्ठ का अनुसरण करें http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html var (A * B), अर्थात var (C) प्राप्त करने के लिए
वर्जन (C) का वर्गमूल C का से है
(C - 1.96 * se (C), C + 1.96 * se (C)) C का 95% CI है

ध्यान दें कि यदि आपके ए और बी सहसंबद्ध हैं, तो आपको उनके सहवास पर भी विचार करने की आवश्यकता है।

— बर्फ युक्त कॉफी
स्रोत