पर समान वितरण के लिए यूक्लिडियन मानदंड पर पूंछ की सीमा

11

एक समान रूप से चुने गए तत्व के यूक्लिडियन मान को कितनी बार ऊपरी सीमा पर जाना जाता है $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$ दी गई सीमा से बड़ा होगा?

मैं मुख्य रूप से सीमा कि शून्य करने के लिए तेजी से अभिसरण जब में दिलचस्पी रखता हूँ $n$ बहुत से भी कम है $d$ ।

uniform extreme-value bounds

— रिकी डेमर
स्रोत

इस थ्रेसहोल्ड के लिए जवाब देने के लिए आसान है

t \leq n

$t\le n$ --you're सिर्फ hyperspheres की मात्रा की गणना - और अधिक कठिन है, लेकिन के लिए बाहर काम करने के

t > n

$t \gt n$ । क्या आप उन दोनों स्थितियों में हैं?

— whuber

3

मुझे जरूरत होगी

t > n

$\: t > n \;\;$ ।

$\;\;\;\;$

— रिकी डेमर

1

मैं इस समय एक विस्तृत जवाब पोस्ट करने के लिए समय नहीं है, लेकिन यहाँ इस बीच में एक संकेत है: तुलना करें

\sum_{k} (X_{k} / n)^{2}

$\sum_k (X_k/n)^2$ मानक Chernoff रोजगार माध्य समान के साथ एक द्विपद यादृच्छिक चर करने के लिए तकनीक के लिए बाध्य। यह एक फार्म के लिए बाध्य निकलेगा

a^{d} e^{- b t^{2}}

$a^d e^{-b t^2}$ उचित के लिए

a

$a$ और

b

$b$ प्रदान की

t > n \sqrt{d (n + 1) / 3 n}

$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$ जो समझ में आता है कि एक बार जब आप सोचते हैं कि स्क्वेयर्ड यूक्लिडियन दूरी का मतलब क्या है। आशा है कि कुछ मदद करता है

— कार्डिनल

1

सहज रूप से, यह स्पष्ट होना चाहिए कि एक बिंदु जिसका निर्देशांक समान वितरण से यादृच्छिक पर नमूना लिया गया है, इसमें आयाम के अभिशाप के कारण छोटे मापांक होने चाहिए। के रूप में बढ़ जाती है, संभावना है कि एक बिंदु की मात्रा से यादृच्छिक पर नमूना आयामी इकाई गेंद दूरी की तुलना में कम है या करने के लिए बराबर होगा केंद्र से है , जो तेजी से तेजी से चला जाता है। $d$ $d$ $\epsilon$ $\epsilon^{d}$

मैं कार्डिनल के समाधान का पूरा संस्करण दे दूँगा।

$X_i$ $-n \leqslant k \leqslant n$ $\mathbb{E}[X] = 0$ $\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

उस और उस $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$ $\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

इस प्रकार, $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ संगणना

आज्ञा दें $Y_i = X_i^2$

\sum_{i = 1}^{d} Y_{i} = (Distance of Randomly Sampled Point to Origin)^{2}

$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$

मैं इसे कल समाप्त करूँगा, लेकिन आप देख सकते हैं कि इस चर का मतलब लगभग , जबकि से कम अंकों के अंश में दूरी अधिकतम आधी से कम है। $\frac{n^2}{3}$ $2^{-d}$ $\frac{dn^2}{2}$

— माइकल के
स्रोत

0

सब तो से अधिक स्वतंत्र असतत वर्दी का पालन करें , तो के रूप में देखते हैं से चुनने के लिए मूल्यों और उनके माध्य 0 है, हम सभी के लिए है : $X_i$ $[-n, n]$ $2n+1$ $i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ , और

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

तो अगर वेक्टर के वर्ग यूक्लिडियन आदर्श है , और की स्वतंत्रता की वजह से : $S$ $(X_1, X_2, ... X_d)$ $X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

यहाँ से आप मार्कोव की असमानता का उपयोग कर सकते हैं: $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

यह बाउंड साथ बढ़ता है , जो सामान्य है क्योंकि जब बड़ा हो जाता है तो यूक्लिडियन मान बड़ा हो जाता है जब एक निश्चित सीमा की तुलना । $d$ $d$ $a$

अब अगर आप को परिभाषित एक "सामान्य" वर्ग के आदर्श (भले ही कितना बड़ा एक ही उम्मीद मूल्य होता है के रूप में ) आपको मिलता है: $S^*$ $d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

कम से कम यह बाउंड साथ नहीं बढ़ता है , लेकिन यह अभी भी एक तेजी से घटते बाउंड के लिए आपकी खोज को हल करता है! मुझे आश्चर्य है कि क्या यह मार्कोव असमानता की कमजोरी के कारण हो सकता है ... $d$

मुझे लगता है कि आपको अपना प्रश्न सटीक करना चाहिए, क्योंकि जैसा कि ऊपर बताया गया है कि आपके वैक्टर के यूक्लिडियन मान रैखिक रूप से में बढ़ रहे हैं, इसलिए आपको लिए ऊपरी सीमा खोजने की संभावना नहीं है, जो में घट रही है एक निश्चित सीमा के साथ । $d$ $\mathbb{P}(S > a)$ $d$ $a$

— jubo
स्रोत