दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर का उत्पाद

मेरे पास लगभग 1000 मूल्यों का एक नमूना है। इन आंकड़ों से दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद से प्राप्त कर रहे हैं $\xi \ast \psi$ । पहले यादृच्छिक चर एक समान वितरण है $\xi \sim U(0,1)$ । दूसरे यादृच्छिक चर का वितरण ज्ञात नहीं है। मैं दूसरा (का वितरण कैसे अनुमान कर सकते हैं $\psi$ ) यादृच्छिक चर?

probability distributions mathematical-statistics

— एंडी
स्रोत

यह एक संस्करण है जिसे डिकॉन्वॉल्यूशन समस्या कहा जाता है: यदि आप उत्पाद के लॉग में जाते हैं, तो आपको शर्तों में से एक का वितरण पता होने पर राशि का अनुमानित वितरण मिलता है। विकिपीडिया पर जाँच करें ।

— शीआन

चौराहे पर इस संबंधित प्रश्न को भी देखें : एक बार जब आप लॉग ट्रांसफ़ॉर्म लागू करते हैं, तो समस्या बराबर होती है।

— शीआन

@ शीआन: अच्छा लिंक। मुझे यकीन है कि आशा है कि

लगभग निश्चित रूप से ... हम सड़ते द्वारा इस हालत का एक उचित रूप में घातक उल्लंघन से ठीक हो सकता है, हालांकि के रूप में

और टुकड़े अलग से विचार कर रहा।

ψ \geq 0

$\psi \geq 0$

ψ = ψ_{+} - ψ_{-}

$\psi = \psi_{+} - \psi_{-}$

— कार्डिनल

@ कार्डिनल मैं उत्सुक हूं कि जब डेटा में से कुछ नकारात्मक हो सकता है, तो अनुमान समस्या को कैसे नियंत्रित किया जाएगा। अपघटन कैसे निर्धारित होता है? (डेटा की तुलना में कम देने की सहज विधि

से एक घटक और डेटा अधिक से अधिक करने के लिए

क्योंकि घातीय साथ घुमाव से आ रही मूल्यों चालू करने के लिए करते हैं मेरे लिए एक और दिखता करने से इनकी को

अपेक्षाकृत बड़े सकारात्मक टिप्पणियों में घटक।) ऐसा लगता है कि बल्कि अनुमानक की तरह एक साथ मिश्रण और विघटन की पहचान को संभालने के लिए है - और ऐसा करने के लिए मुश्किल प्रतीत होता है।

1

$1$

1

$1$

ψ_{-}

$\psi_{-}$

— whuber

@ स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद। नहीं, शोर: क्योंकि मैं लघुगणक के मामले में सोच रहा था, मैं बस भूल गया था कि

गैर नकारात्मक है।

ξ

$\xi$

— whuber

हम है, यह मानते हुए सकारात्मक वास्तविक रेखा, पर समर्थन हासिल है $\psi$ कहाँ और डेटा के अनुभवजन्य वितरण है। इस समीकरण के लॉग को लेते हुए,

ξ ψ = X

$\xi \,\psi = X$

X \sim F_{n}

$X \sim F_n$

F_{n}

$F_n$

L o g (ξ) + L o g (ψ) = L o g (X)

$Log(\xi) + Log(\psi) = Log(X)$

इस प्रकार लेवी की निरंतरता प्रमेय, और और स्वतंत्र होने से कार्य करना: $\xi$ $\psi$

Ψ_{L o g (ξ)} (t) Ψ_{L o g (ψ)} (t) = Ψ_{L o g (X)}

$\Psi_{Log(\xi)}(t)\Psi_{Log(\psi)}(t) = \Psi_{Log(X)}$

अब, इस प्रकार, $\xi\sim Unif[0,1]$ $, therefore$ $-Log(\xi) \sim Exp(1)$

Ψ_{L o g (ξ)} (- t) = {(1 + i t)}^{- 1}

$\Psi_{Log(\xi)}(-t)= \left(1 + it\right)^{-1}\,$

यह देखते हुए कि $\Psi_{ln(X)} =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k) ,$ $X_1 ... X_{1000}$ $\ln(X)$

$Log(\psi)$

{(1 + i t)}^{- 1} Ψ_{L o g (ψ)} (t) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{1000} \exp (i t X_{k})

$\left(1 + it\right)^{-1}\,\Psi_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k)$

$\ln(\psi)$ $t<1$

M_{L o g (ψ)} (t) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{1000} \exp (- t X_{k}) (1 - t)

$M_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(-t\,X_k)\,\left(1 - t\right)\,$

It is enough then to invert the Moment generating function to get the distribution of $ln(\phi)$ and thus that of $\phi$

— Drmanifold
स्रोत

can you explain this with an example in R?

— Andy

Of course. I ll try to post it tomorrow.

— Drmanifold