प्रतिस्थापन के साथ ड्राइंग के दौरान डुप्लिकेट (ट्रिप्लिकेट्स आदि) की अपेक्षित संख्या

Question

मुझे निम्न समस्या है:

मेरे पास 100 अनूठे आइटम (एन) हैं, और मैं उनमें से 43 (एम) का चयन कर रहा हूं एक बार (प्रतिस्थापन के साथ)।

मुझे uniques की अपेक्षित संख्या (केवल एक बार, k = 1) के लिए हल करने की आवश्यकता है, युगल (बिल्कुल दो बार k = 2 का चयन किया गया), tripples (बिल्कुल k = 3), quads आदि ...

मैं कम से कम एक डबल (जन्मदिन विरोधाभास) होने की संभावना पर बहुत सारे परिणाम प्राप्त करने में सक्षम रहा हूं, लेकिन आबादी में जोड़े की अपेक्षित संख्या पर नहीं।

Comments

क्या मोंटे कार्लो का अनुमान आपके लिए उपयोगी होगा, या आपको बंद रूप में उत्तर की आवश्यकता है?

— डेविड जे। हैरिस

मैं एक बंद फॉर्मूला पसंद करूंगा ताकि मैं इसे आसानी से n, m और k के विभिन्न मूल्यों पर लागू कर सकूं।

— काइटलिन के

Answer 1

$i^{th}$ इटरम का चयन किया जाएगा $\text{Binom}(m, \, 1/n)$बार। इससे, आप अपनी इच्छित सभी मात्राएँ पा सकते हैं, क्योंकि, जैसे,

$$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$$ उदाहरण के लिए, जोड़े द्वारा अपेक्षित संख्या दी गई है $$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$$

आप R में संख्यात्मक मान कमांड n * dbinom (k, m, 1 / n) के साथ प्राप्त कर सकते हैं।

Comments

क्या उस सूत्र का उपयोग ak = 0 या 1 के लिए किया जा सकता है?

— काइटलिन के

हाँ यह कर सकते हैं। K = 0 के साथ, आप इसकी व्याख्या कर सकते हैं कि 'कितने अंक एम चयनित लोगों के बीच नहीं दिखेंगे'।

— स्टीफन दांव

लेकिन ये घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हैं। जैसे जब आइटम 1 एम बार दिखाई देता है, तो कोई अन्य आइटम कभी भी प्रकट नहीं हो सकता है। आप बस P का जोड़ नहीं दे सकते।

— Asterix314