क्या प्रत्येक सहसंयोजक मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है?

मुझे लगता है कि उत्तर हां होना चाहिए, लेकिन मुझे अभी भी लगता है कि कुछ सही नहीं है। साहित्य में कुछ सामान्य परिणाम होने चाहिए, क्या कोई मेरी मदद कर सकता है?

— Jingjings
स्रोत

प्रत्येक सहसंयोजक मैट्रिक्स सकारात्मक अर्ध-निश्चित है। इसका मतलब है कि प्रत्येक सहसंयोजक मैट्रिक्स में गैर-नकारात्मक प्रतिजन मान होना चाहिए। यदि कोई भी eigen मान शून्य नहीं है, तो सहसंयोजक मैट्रिक्स अतिरिक्त रूप से एक सकारात्मक निश्चित है।

— काका

संबंधित प्रश्न: सहसंबंध मैट्रिक्स को सकारात्मक अर्ध-निश्चित होने की आवश्यकता क्यों है और सकारात्मक अर्ध-निश्चित होने का क्या मतलब है या नहीं है? ; भी हर सहसंबंध मैट्रिक्स सकारात्मक अर्द्ध निश्चित है? और प्रत्येक सहसंयोजक मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है

— सिल्वरफ़िश नोव

@Jingjings: मैं आपकी प्रोफ़ाइल में देख सकता हूं कि आपने कभी कोई उत्तर नहीं दिया या स्वीकार नहीं किया; यह काफी उल्लेखनीय है कि आपके पास कई अच्छे सवालों के साथ कई अच्छे प्रश्न हैं। मुझे लगता है कि आप वास्तव में जानते नहीं हैं कि यह कैसे काम करता है। विचार यह है कि आपको किसी ऐसे उत्तर को उकेरना चाहिए जो आपको उपयोगी लगता है और किसी भी ऐसे उत्तर को स्वीकार करें जो आपको लगता है कि आपके मुद्दे को हल करता है। ऐसा लगता है कि आप बहुत सारे उत्तर दे सकते हैं और उनमें से कुछ को स्वीकार भी कर सकते हैं।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

जवाबों:

नहीं।

तीन चर, , और । उनके सहप्रसरण मैट्रिक्स, , वहाँ एक वेक्टर है, क्योंकि, सकारात्मक निश्चित नहीं है ( जिसके लिए) सकारात्मक नहीं है। $X$ $Y$ $Z = X+Y$ $M$ $z$ $= (1, 1, -1)'$ $z'Mz$

जनसंख्या सहसंयोजक matrices सकारात्मक अर्द्ध निश्चित हैं।

( यहां संपत्ति 2 देखें )

आम तौर पर पूर्ण नमूनों (कोई लापता मूल्यों) के सहसंयोजक मैट्रिक्स पर लागू नहीं होना चाहिए, क्योंकि उन्हें असतत जनसंख्या सहसंयोजक के रूप में भी देखा जा सकता है।

हालाँकि, अस्थायी बिंदु संख्यात्मक संगणना की अक्षमता के कारण, यहां तक कि बीजगणितीय रूप से सकारात्मक निश्चित मामलों को कभी-कभी सकारात्मक अर्ध-निश्चित नहीं होने के लिए गणना की जा सकती है; एल्गोरिदम का अच्छा विकल्प इसमें मदद कर सकता है।

आम तौर पर, नमूना सहसंयोजक परिपक्वता - इस बात पर निर्भर करता है कि वे कुछ चर में लापता मूल्यों से कैसे निपटते हैं - सिद्धांत में भी सकारात्मक अर्ध-निश्चित या नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि जोड़ीदार विलोपन का उपयोग किया जाता है, तो सकारात्मक अर्ध-निश्चितता की कोई गारंटी नहीं है। इसके अलावा, संचित संख्यात्मक त्रुटि के कारण नमूना कोविरियस मैट्रिस हो सकते हैं जो होने के लिए विफल होने के लिए सकारात्मक रूप से सकारात्मक अर्ध-निश्चित होना चाहिए।

इस तरह:

 x <- rnorm(30)
 y <- rnorm(30) - x/10 # it doesn't matter for this if x and y are correlated or not
 z <- x+y
 M <- cov(data.frame(x=x,y=y,z=z))
 z <- rbind(1,1,-1)
 t(z)%*%M%*%z
              [,1]
[1,] -1.110223e-16

यह मेरे द्वारा किए गए पहले उदाहरण पर हुआ (मुझे संभवतः एक बीज की आपूर्ति करनी चाहिए लेकिन यह इतना दुर्लभ नहीं है कि आपको एक प्राप्त करने से पहले बहुत सारे उदाहरणों का प्रयास करना चाहिए)।

परिणाम नकारात्मक निकला , भले ही यह बीजगणितीय रूप से शून्य होना चाहिए। संख्याओं का एक अलग सेट एक सकारात्मक संख्या या "सटीक" शून्य प्राप्त कर सकता है।

उदारवादी लापता होने का उदाहरण, युग्मक विलोपन के माध्यम से सकारात्मक अर्धचालकता के नुकसान की ओर जाता है:

z <- x + y + rnorm(30)/50  # same x and y as before.
xyz1 <- data.frame(x=x,y=y,z=z) # high correlation but definitely of full rank 

xyz1$x[sample(1:30,5)] <- NA   # make 5 x's missing  

xyz1$y[sample(1:30,5)] <- NA   # make 5 y's missing  

xyz1$z[sample(1:30,5)] <- NA   # make 5 z's missing  

cov(xyz1,use="pairwise")     # the individual pairwise covars are fine ...

           x          y        z
x  1.2107760 -0.2552947 1.255868
y -0.2552947  1.2728156 1.037446
z  1.2558683  1.0374456 2.367978

 chol(cov(xyz1,use="pairwise"))  # ... but leave the matrix not positive semi-definite

Error in chol.default(cov(xyz1, use = "pairwise")) : 
  the leading minor of order 3 is not positive definite

 chol(cov(xyz1,use="complete")) # but deleting even more rows leaves it PSD

          x          y          z
x 0.8760209 -0.2253484 0.64303448
y 0.0000000  1.1088741 1.11270078
z 0.0000000  0.0000000 0.01345364

— Glen_b
स्रोत

+1: लेकिन ज्यादातर आप के लिए एक टिप्पणी के रूप में शब्दांकन: जैसा कि आप इसे प्रस्तुत करते हैं, ऐसा लगता है कि सामान्य मामले में PSD-ness की गारंटी नहीं है। जैसा कि sjm.majewski के उत्तर में दिखाया गया है कि आपको "पैथोलॉजिकल" केस (गैर-पूर्ण रैंक) की आवश्यकता है और आप उस मुद्दे को समाप्त करते हैं। (मैं पूरी तरह से संख्यात्मक टिप्पणियों से सहमत हूं) क्या आप कुछ अधिक लापता मूल्यों की समस्या को विस्तृत कर सकते हैं जहां आप संख्यात्मक त्रुटियों की वजह से भी PSD की गारंटी नहीं दे सकते हैं? (मुझे लगता है कि जब आप यह कहते हैं कि आप माप आदि के बारे में चिंतित नहीं हैं)

— us11r11852

बेशक यह केवल तब होता है जब यह पूर्ण रैंक का नहीं होता (या इसके बहुत करीब होता है)। PSD (और @ sjm.majewski के विचरण के संबंध में उल्लेख) की परिभाषा को देखें, और यह बहुत स्पष्ट है। लेकिन इसे पैथोलॉजिकल के रूप में परिभाषित करना अजीब लगता है, क्योंकि ये गैर-पूर्ण रैंक की स्थिति व्यवहार में हर समय होती है। यह सरल पेडेंट्री नहीं है - यह हर दिन वास्तविक डेटा सेट को प्रभावित करता है, और परिणामस्वरूप नियमित रूप से यहां प्रश्न उत्पन्न होते हैं। मैं ऊपर लापता और जोड़ीदार विलोपन के बारे में बात करूंगा, क्योंकि यहां इसके लिए जगह नहीं है।

— Glen_b

n < p

$n<p$

n < p

$n<p$

\sum_{i, j = 1}^{n} y_{i} \cdot y_{j} \cdot C o v (X_{i}, X_{j}) = V a r (\sum_{i = 1}^{n} y_{i} X_{i}) \geq 0

$\sum_{i,j =1}^{n} y_i \cdot y_j \cdot Cov(X_i, X_j) = Var(\sum_{i=1}^n y_iX_i) \geq 0$

y_{i}

$y_i$

X_{i}

$X_i$

$y_1 =1 , y_2 = 1, y_3 = -1$ $X_1 = X, X_2 = Y, X_3 = Z = X+Y$ $\sum_{i=1}^{3} y_iX_i = 0$ $0$

— sjm.majewski
स्रोत

अच्छा! अपवोट;)

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

यह स्वीकृत उत्तर होना चाहिए। सवाल सिर्फ "कोवरियस मैट्रिसेस" के बारे में पूछता है जो आम तौर पर यादृच्छिक चर के जनसंख्या सहसंयोजक मैट्रिक्स का उल्लेख करते हैं, नमूना नहीं।

— user3303

क्या मैं पूछ सकता हूं कि आपके उत्तर में आपके द्वारा प्रयुक्त सूत्र क्या है?

— इक़ाक़

यदि आप विचरण और सहसंयोजकता के साथ सूत्र का अर्थ करते हैं, तो आप इसे योग के वर्ग के लिए सूत्र से प्राप्त कर सकते हैं (जो कि योग का वर्ग सभी जोड़ों के लिए उत्पादों के योग के बराबर है)।

— sjm.majewski