नमूना ऑटोकॉवेरियन फ़ंक्शन के बारे में प्रश्न

मैं एक समय श्रृंखला विश्लेषण पुस्तक पढ़ रहा हूं और नमूना ऑटोकॉवरियन के लिए सूत्र पुस्तक में परिभाषित किया गया है:

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\displaystyle\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

साथ में $\widehat{\gamma}(-h) = \widehat{\gamma}(h)\;$ के लिये $\;h = 0,1, ..., n-1$ । $\bar{x}$ मतलब है।

क्या कोई सहज रूप से समझा सकता है कि हम योग को क्यों विभाजित करते हैं $n$ और द्वारा नहीं $n-h$ ? पुस्तक बताती है कि ऐसा इसलिए है क्योंकि ऊपर दिया गया सूत्र एक गैर-नकारात्मक निश्चित कार्य है और इसलिए इससे विभाजित होता है $n$ पसंद किया जाता है, लेकिन यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है। क्या कोई इसे साबित कर सकता है या एक उदाहरण या कुछ दिखा सकता है?

मेरे लिए सबसे पहले सहज बात यह होगी कि किसके द्वारा विभाजित किया जाए $n-h$ । क्या यह ऑटोकॉवेरियन का निष्पक्ष या पक्षपाती अनुमानक है?

time-series probability mathematical-statistics

— jjepsuomi
स्रोत

यदि आपकी समय श्रृंखला ठीक है

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$ अन्य सभी के साथ

x_{i}

$x_i$ ,

i < 1

$i < 1$ या

i > n

$i >n$ अज्ञात है, तो योग जरूरी पर बंद होना चाहिए

t = n - h

$t=n-h$ कब

x_{t + h} = x_{n}

$x_{t+h}=x_n$ योग में होता है: अगला पद (के लिए)

t = n - h + 1

$t=n-h+1$ ) कि राशि में शामिल किया जाएगा

x_{n - h + 1 + h} = x_{n + 1}

$x_{n-h+1+h}=x_{n+1}$ इसमें, और

x_{n + 1}

$x_{n+1}$ नमूने का हिस्सा नहीं है।

— दिलीप सरवटे

@Dipip मुझे नहीं लगता कि यह मुद्दा है: सवाल यह है कि क्या विभाजित करना है

n

$n$ या

n - h

$n-h$ की परिभाषा में

\hat{γ}

$\hat{\gamma}$ ।

— whuber

$\widehat{\gamma}$ कोविर्सियस मैट्रिसेस बनाने के लिए उपयोग किया जाता है: "समय" $t_1, t_2, \ldots, t_k$ , यह अनुमान लगाता है कि यादृच्छिक वेक्टर के सहसंयोजक $X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_k}$ (उस समय यादृच्छिक क्षेत्र से प्राप्त) मैट्रिक्स है $\left(\widehat{\gamma}(t_i - t_j), 1 \le i, j \le k\right)$ । कई समस्याओं के लिए, जैसे कि भविष्यवाणी, यह महत्वपूर्ण है कि ऐसे सभी मेट्रोंस निरर्थक हों। पुटीय सहसंयोजक matrices के रूप में, जाहिर है कि वे किसी भी नकारात्मक eigenvalues नहीं कर सकते हैं, जहां वे सभी सकारात्मक होना चाहिए।

वह सरलतम स्थिति जिसमें दो सूत्रों के बीच का अंतर होता है

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

तथा

{\hat{γ}}_{0} (h) = (n - h)^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}_0(h) = (n-h)^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

जब प्रकट होता है $x$ लंबाई है $2$ ; , कहते हैं $x = (0,1)$ । के लिये $t_1=t$ तथा $t_2 = t+1$ यह गणना करने के लिए सरल है

{\hat{γ}}_{0} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}),

$\widehat{\gamma}_0 = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array} \right),$

जो एकवचन है, जबकि

\hat{γ} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array})

$\widehat{\gamma} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array} \right)$

which has eigenvalues $3/8$ and $1/8$ , whence it is positive-definite.

A similar phenomenon happens for $x = (0,1,0,1)$ , where $\widehat{\gamma}$ is positive-definite but $\widehat{\gamma}_0$ --when applied to the times $t_i = (1,2,3,4)$ , say--degenerates into a matrix of rank $1$ (its entries alternate between $1/4$ and $-1/4$ ).

(There is a pattern here: problems arise for any $x$ of the form $(a,b,a,b,\ldots,a,b)$ .)

In most applications the series of observations $x_t$ is so long that for most $h$ of interest--which are much less than $n$ --the difference between $n^{-1}$ and $(n-h)^{-1}$ is of no consequence. So in practice the distinction is no big deal and theoretically the need for positive-definiteness strongly overrides any possible desire for unbiased estimates.

— whuber
स्रोत

I think its important to note that both estimators are biased estimators, even if you divide it by n-h.

— Ran

@Ran Although you are correct that these estimators are biased, I disagree that this is an important issue: as mentioned in the last paragraph, a small amount of bias is the least of anybody's worries. The unbiased estimator, using

(n - h - 1)^{- 1}

$(n-h-1)^{-1}$ , scarcely differs from

\hat{γ}

$\widehat{\gamma}$ or

{\hat{γ}}_{0}

$\widehat{\gamma}_0$ .

— whuber

Very nice answer +1. Perhaps it is useful to add the point that

V {\hat{γ}}_{0} (h) = O (1 / (n - h))

$\mathbb{V} \hat{\gamma}_0(h) = O(1/(n-h))$ , while

V \hat{γ} (h) = O (1 / n)

$\mathbb{V} \hat{\gamma}(h) = O(1/n)$ , so when

h

$h$ is close to

n

$n$ , the estimator

{\hat{γ}}_{0} (h)

$\hat{\gamma}_0(h)$ can be erratic, while

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$ will have uniformly small sampling fluctuations

\forall h

$\forall h$ . See eg Priestly (1981) "Spectral Analysis and Time Series" p324 for a detailed discussion of this point

— Colin T Bowers