कई यादृच्छिक चर के उत्पाद की भिन्नता

हम दो स्वतंत्र चर का उत्तर जानते हैं:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

हालाँकि, यदि हम दो से अधिक चर के उत्पाद लेते हैं, , तो प्रत्येक चर के variances और अपेक्षित मूल्यों के संदर्भ में क्या उत्तर होगा? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— damla
स्रोत

चूँकि एक यादृच्छिक चर है और (सभी स्वतंत्र हैं) यह से स्वतंत्र है , इसका उत्तर पर प्राप्त होता है: कुछ भी नया नहीं चाहिए। ऐसा प्रतीत होता है कि यह बहुत रहस्यमय है, तकनीक यह इंगित करने से अलग नहीं है कि चूंकि आप एक कैलकुलेटर के साथ दो संख्याओं को जोड़ सकते हैं, आप केवल बार-बार जोड़कर उसी कैलकुलेटर के साथ संख्याएँ जोड़ सकते हैं ।

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

क्या आप अपने प्रदर्शित समीकरण का प्रमाण लिख सकते हैं ? मैं यह पता लगाने के लिए उत्सुक हूं कि क्या हुआ है शब्द जो आपको जुड़े कुछ शब्द देने चाहिए ।

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— दिलीप सरवटे

@DilipSarwate, मुझे संदेह है कि यह प्रश्न स्पष्ट रूप से मानता है कि और स्वतंत्र हैं। जब भी दोनों असंबंधित हैं और असंबंधित हैं तो ओपी का फॉर्मूला सही है । संबंधित प्रश्न का मेरा उत्तर यहां देखें ।

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— मैक्रों

@ मैक्रो मुझे आपके द्वारा उठाए जाने वाले बिंदुओं के बारे में अच्छी तरह से पता है। मैं ओपी को समझने की कोशिश कर रहा था और / या खुद के लिए यह पता लगाने की कोशिश कर रहा था कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए, जैसे को सरल करता है को सरल जो मुझे लगता है कि प्रेरक विधि की तुलना में अंतिम परिणाम प्राप्त करने का एक और अधिक सीधा तरीका है कि व्हीबर ने बताया।

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$

— दिलीप सरवटे

@DilipSarwate, अच्छा लगा। मैं आपको सुझाव देता हूं कि उत्तर के रूप में मैं इसे बढ़ा सकता हूं!

— मैक्रों

मुझे लगता है कि यादृच्छिक परिवर्तनीय समझेंगे हैं स्वतंत्र है, जो हालत ओ पी है नहीं समस्या बयान में शामिल। इस धारणा के साथ, हमारे पास उस यदि उपरोक्त उत्पाद का पहला शब्द गुणा किया गया है, तो विस्तार में शर्तें ऊपर दिए गए दूसरे उत्पाद शब्द को रद्द कर देती हैं। इस प्रकार, केस $X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$ , हम ओपी द्वारा कहा गया परिणाम है। जैसा कि @Macro बताते हैं, , हमें यह मानने की आवश्यकता नहीं है कि और स्वतंत्र हैं: कमजोर स्थिति जो और से असंबंधित है और और अच्छी तरह से हैं। लेकिन , सहसंबंध की कमी पर्याप्त नहीं है। स्वतंत्रता पर्याप्त है, लेकिन आवश्यक नहीं है। जो आवश्यक है, वह अपेक्षाओं के उत्पादों में ऊपर दिखाए गए उत्पादों की अपेक्षा का तथ्य है, जो स्वतंत्रता की गारंटी देता है।

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

आपका बहुत बहुत धन्यवाद! मैं वास्तव में इसकी प्रशंसा करता हूँ। हां, प्रश्न स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए था।

— दामला

क्या आश्रित चर के लिए भी यही कार्य करना संभव है? मैं यह पता लगाने की कोशिश कर रहा हूं कि यदि तो विचरण का क्या होगा ? क्या हम एक्स के विचरण और अपेक्षित मूल्य के संदर्भ में विचरण सूत्र प्राप्त कर सकते हैं?

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

— दामला

मैंने एक नए पृष्ठ में प्रश्न पोस्ट किया है। आपका बहुत बहुत धन्यवाद! stats.stackexchange.com/questions/53380/...

— damla

दिलीप, क्या मनमाने ढंग से संख्याओं का एक सामान्यकरण है जो स्वतंत्र नहीं है? (यह एक अलग सवाल है, जिसे दामला ने अपने नए प्रश्न में पूछा है, जो एक एकल चर की मनमानी शक्तियों के विचरण के बारे में है।)

n

$n$

— एलेक्सिस

@ ऐलेक्सिस मेरे ज्ञान का सबसे अच्छा करने के लिए, गैर-यादृच्छिक यादृच्छिक चर का सामान्यीकरण नहीं है, यहां तक कि नहीं, जैसा कि पहले से ही बताया गया है, यादृच्छिक चर के मामले के लिए ।

3

$3$

— दिलीप सरवटे