क्या दो निरंतर चर के बीच बातचीत संभव है?

मेरे सभी चर निरंतर हैं। कोई स्तर नहीं हैं। क्या यह संभव है और भी करने के लिए है चर के बीच बातचीत?

regression modeling interaction

हाँ क्यों नहीं? के रूप में के लिए स्पष्ट चर इस मामले में लागू होगा एक ही विचार: के प्रभाव $X_1$ परिणाम पर $Y$ के मूल्य के आधार ही नहीं है $X_2$ । इसे कल्पना करने में मदद करने के लिए, आप द्वारा लिए गए मूल्यों के बारे में सोच सकते हैं $X_1$ जब $X_2$ उच्च या निम्न मान लेता है। श्रेणीबद्ध चरों के विपरीत, यहाँ इंटरैक्शन को $X_1$ और के उत्पाद द्वारा $X_2$ । ध्यान दें, यह पहली बार अपने दो चर केंद्रित करने के लिए बेहतर है (ताकि कहते हैं के लिए गुणांक $X_1$ के प्रभाव के रूप में पढ़ता $X_1$ जब $X_2$ अपने नमूना माध्य पर है)।

कृपया @whuber द्वारा सुझाए गए के रूप में, एक आसान तरीका देखने के लिए कैसे के साथ बदलता रहता के एक समारोह के रूप में नीचे मॉडल लिखने के लिए जब एक बातचीत अवधि शामिल है, है । $X_1$ $Y$ $X_2$ $\mathbb{E}(Y|X)=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2$

फिर, यह देखा जा सकता है कि स्थिर पर में एक-इकाई के प्रभाव को रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $X_1$ $X_2$

\begin{array}{rcl} E (Y | X_{1} + 1, X_{2}) - E (Y | X_{1}, X_{2}) & = & β_{0} + β_{1} (X_{1} + 1) + β_{2} X_{2} + β_{3} (X_{1} + 1) X_{2} \\ - (β_{0} + β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2} + β_{3} X_{1} X_{2}) \\ = & β_{1} + β_{3} X_{2} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Y|X_1+1,X_2)-\mathbb{E}(Y|X_1,X_2)&=&\beta_0+\beta_1(X_1+1)+\beta_2X_2+\beta_3(X_1+1)X_2\\ &&-\big(\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2\big)\\ &=& \beta_1+\beta_3X_2 \end{eqnarray*}$

इसी तरह, प्रभाव जब एक इकाई की वृद्धि हुई है, जबकि पकड़े स्थिर है । यह प्रदर्शित करता है कि में ( ) और ( ) के प्रभावों की व्याख्या करना कठिन क्यों है । यह और भी जटिल होगा यदि दोनों भविष्यवक्ता अत्यधिक सहसंबद्ध हैं। इस तरह के रैखिक मॉडल में होने वाली रैखिकता धारणा को ध्यान में रखना भी महत्वपूर्ण है। $X_2$ $X_1$ $\beta_2+\beta_3X_1$ $X_1$ $\beta_1$ $X_2$ $\beta_2$

आप एकाधिक प्रतिगमन पर एक नज़र डाल सकते हैं : कई प्रतिगमन प्रभावों के विभिन्न प्रकार के इंटरैक्शन प्रभावों के अवलोकन के लिए, लीओना एस। ऐकेन, स्टीफन जी। वेस्ट, और रेमंड आर। रेनो (सेज प्रकाशन, 1996) द्वारा परस्पर क्रियाओं का परीक्षण और व्याख्या करना । । (यह शायद सर्वश्रेष्ठ पुस्तक नहीं है, लेकिन यह Google के माध्यम से उपलब्ध है)

यहाँ आर में एक खिलौना उदाहरण है:

library(mvtnorm)
set.seed(101)
n <- 300                      # sample size
S <- matrix(c(1,.2,.8,0,.2,1,.6,0,.8,.6,1,-.2,0,0,-.2,1), 
            nr=4, byrow=TRUE) # cor matrix
X <- as.data.frame(rmvnorm(n, mean=rep(0, 4), sigma=S))
colnames(X) <- c("x1","x2","y","x1x2")
summary(lm(y~x1+x2+x1x2, data=X))
pairs(X)

जहां आउटपुट वास्तव में पढ़ता है:

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.01050    0.01860  -0.565    0.573    
x1           0.71498    0.01999  35.758   <2e-16 ***
x2           0.43706    0.01969  22.201   <2e-16 ***
x1x2        -0.17626    0.01801  -9.789   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.3206 on 296 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8828, Adjusted R-squared: 0.8816 
F-statistic: 743.2 on 3 and 296 DF,  p-value: < 2.2e-16

और यहाँ कैसे नकली डेटा की तरह दिखता है:

वैकल्पिक शब्द

इसे समझने के लिए @ whuber की दूसरी टिप्पणी, आप हमेशा के रूपांतरों देख सकते हैं के एक समारोह के रूप में के विभिन्न मूल्यों पर (जैसे, terciles या deciles); trellis डिस्प्ले इस मामले में उपयोगी हैं। उपरोक्त डेटा के साथ, हम निम्नानुसार आगे बढ़ेंगे: $Y$ $X_2$ $X_1$

library(Hmisc)
X$x1b <- cut2(X$x1, g=5) # consider 5 quantiles (60 obs. per group)
coplot(y~x2|x1b, data=X, panel = panel.smooth)

वैकल्पिक शब्द

— CHL
स्रोत

(+1) यदि आपके पास समय और झुकाव है, तो आप अपने दावे पर विस्तार करके इस उत्तर को मजबूत कर सकते हैं कि X1 * X2 सहित Y पर X2 का प्रभाव X2 के साथ बदलता रहता है। विशेष रूप से, एक मॉडल Y = b0 + b1 * X1 + b2 * X2 + b3 * (X1 * X2) + त्रुटि को फॉर्म Y = b0 + (b1 + b3 * X2) + X1 + b2 * X2 के रूप में भी देखा जा सकता है। + त्रुटि, यह दिखाते हुए कि X1 का गुणांक कैसे है - जो b1 + b3 * X2 के बराबर है - X2 के साथ भिन्न होता है (और सममित रूप से, X2 का गुणांक X1 के साथ बदलता रहता है)। यह "बातचीत" का एक सरल, प्राकृतिक रूप है।

— whuber

@chl - प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद। मेरे पास जो समस्या है वह यह है कि मेरे पास एक बड़ा n(11K) है और मैं एक इंटरएक्टिव प्लॉट करने के लिए मिनीटैब का उपयोग कर रहा हूं और इसकी गणना करने में हमेशा के लिए लगता है लेकिन कुछ भी नहीं दिखाता है। मुझे यकीन नहीं है कि मैं कैसे देखूं कि इस डेटासेट के साथ सहभागिता है या नहीं।

— TheCloudlessSky

@ TheCloudlessSky: एक दृष्टिकोण एक्स 1 के मूल्यों के अनुसार डेटा को डिब्बे में स्लाइस करना है। बिन द्वारा प्लॉट वाई बनाम एक्स 2 बिन, ढलान में परिवर्तन की तलाश के रूप में डिब्बे भिन्न होते हैं। एक्स 1 और एक्स 2 की भूमिकाओं के साथ ऐसा ही करें।

— whuber

@chl trellis डिस्प्ले एक अच्छा चित्रण है। समान-अंतराल मात्राओं पर एक चर का टुकड़ा आकर्षक है। अन्य दृष्टिकोण हैं। उदाहरण के लिए, तुकी ने पूंछों को बंद करके स्लाइसिंग की सिफारिश की: अर्थात, X2 मानों को मध्य में आधे हिस्सों में काटें, फिर उन हिस्सों को उनके माध्यकों द्वारा स्लाइस करें, फिर सबसे निचले समूह के निचले आधे हिस्से को उसके माध्यिका और सबसे ऊपरी आधे हिस्से में स्लाइस करें इसके मध्य में समूह, और इसी तरह, जब तक नए समूहों के पास पर्याप्त डेटा है, तब तक जारी रहेगा।

— whuber

@ जब वह फिर से एक अच्छा बिंदु है। मेरे पास संभावित आर कार्यान्वयन पर एक नज़र होगी, या इसे स्वयं प्रयास करें।

— CHL