बहु-परिवर्तनीय निर्भरता के साथ संयुक्त वितरण से सीमांत वितरण कैसे खोजें?

Question

मेरी पाठ्यपुस्तक में एक समस्या निम्नानुसार है। एक द्वि-आयामी स्टोचैस्टिक निरंतर वेक्टर में निम्न घनत्व फ़ंक्शन होता है:

$$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$$

दिखाएं कि सीमांत घनत्व कार्य और हैं:च $f_X$$f_Y$

$$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$$

$$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$$

मैं समझता हूं कि घनत्व समारोह की गणना कैसे की जाती है, को से से संबंध में एकीकृत करके । लेकिन मैं पूरी तरह से पर खो गया , जहां कहां से आ रहा है? यदि मैं x के संबंध में से तक एकीकृत करता हूं, तो मुझे केवल \ _ {frac {15} {2}} \ normizeize y ^ 2 मिलता है , और 0 <y <1 की सीमा क्यों है ?f X , Y 0 x y f Y ( 1 - y 2 ) 0 1 x $f_X$$f_{X,Y}$$0$$x$$y$$f_Y$$(1-y^2)$$0$$1$$x$0<y<$\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$$0 < y < 1$

मैंने , सभी मानों के लिए समर्थन का रेखांकन किया है जहाँ रंगीन नीले हैं:एफ एक्स , वाई > $X,Y$$f_{X,Y}>0$

Comments

यह आपको (जो का सेट है जिसके लिए ) के समर्थन की तस्वीर खींचने में मदद मिल सकती है । आपको तुरंत अपने कुछ सवालों के जवाब देने चाहिए। ( एक्स , वाई ) च ( एक्स , वाई ) ≠ $(X,Y)$$(x,y)$$f(x,y)\ne 0$

— whuber

@whuber ठीक है, इसलिए मैंने समर्थन का रेखांकन किया है और मुझे लगता है कि मुझे समझ में आया कि यह 0 <y <1 है, ऐसा इसलिए है क्योंकि x को केवल 0 <x <1 में परिभाषित किया गया है और 0 <y <x के बाद से स्वाभाविक रूप से हमारे पास केवल y है 0 से 1 तक परिभाषित, सही? लेकिन मैं अभी भी 1 (1-y ^ 2) भाग को नहीं समझता हूं।

— soren.qvist

सुझाव: के सीमांत घनत्व है अभिन्न की जो, की एक निश्चित मूल्य के लिए , , केवल उन लोगों के लिए अशून्य है संतोषजनक । अर्थात, और वह वह जगह है जहाँ भाग से आता है। च एक्स , वाई ( एक्स , वाई ) y 0 < y < 1 एक्स y < x < 1 च Y ( y ) = ∫ ∞ - ∞ च एक्स , वाई ( एक्स , वाई ) घ एक्स = ∫ 1 y 15 x y 2 d x ( 1 - $f_Y(y)$$f_{X,Y}(x,y)$$y$$0 < y < 1$$x$$y < x < 1$ $$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$$ $(1-y^2)$

— दिलीप सरवटे

संकेत दिलीप के लिए धन्यवाद, मुझे डर है कि मैं इसे पूरी तरह से नहीं समझता हूं। ".. एक निश्चित मान के लिए , , नॉनज़ेरो है केवल उन संतोषजनक ।" क्या आप चार्ट पर नीले क्षेत्र का उल्लेख कर रहे हैं? 0 < y < 1 x y < x < $y$$0 < y < 1$$x$$y<x<1$

— soren.qvist 10

@ soren.qvist हां। मैं चार्ट पर नीले क्षेत्र का उल्लेख कर रहा हूं। एक के अभिन्न (वक्र के तहत क्षेत्र) है समारोह की जो महत्व है यदि के बीच है और (नीले क्षेत्र) और अन्यथा। अन्य निश्चित मानों के लिए दोहराएं , और ध्यान दें कि हर बार का संख्यात्मक मान उसी संख्या के रूप में कार्य करता है जैसा कि "प्लगिंग" द्वारा के चुने हुए मान को अभिव्यक्तिx ( 15 ( 0.4 ) 2 ) x = 2.4 x x 0.4 1 $f_Y(0.4)$$x$$(15(0.4)^2)x=2.4x$$x$$0.4$$1$$0$f Y ( y ) y f Y ( y ) f Y ( y $y$$f_Y(y)$$y$$f_Y(y)$जैसा कि आपकी उत्तर पुस्तिका में दिया गया है। फिर, "हे मा, मुझे लगता है कि मुझे एक पैटर्न दिखाई देता है!" पल और आप महसूस करते हैं कि दिखाए गए अभिन्न अंग के बराबर है। $f_Y(y)$

— दिलीप सरवटे

Answer 1

जैसा कि आपने अपने प्रश्न में सही ढंग से बताया है की गणना संयुक्त घनत्व को एकीकृत करके की जाती है, X के संबंध में। महत्वपूर्ण हिस्सा यहाँ उस क्षेत्र की पहचान कर रहा है जिस पर आप एकीकृत। आपने पहले ही स्पष्ट रूप से रेखीय रूप से संयुक्त वितरण फ़ंक्शन का समर्थन दिखाया है । तो, अब, आप ध्यान दे सकते हैं कि छायांकित क्षेत्र में की सीमा से (अर्थात चित्रमय रूप से, आप क्षैतिज रेखाओं के बारे में कल्पना कर सकते हैं, जो x- अक्ष के समानांतर है, विकर्ण रेखा से जा रही है। पर लंबवत रेखा )।f X , Y ( x , y ) Y = X X = $f_{Y}(y)$$f_{X,Y}(x,y)$X X = y X = $f_{X,Y}(x,y)$$X$$X=y$$X=1$$Y=X$$X=1$

इस प्रकार, एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमाएं और होने जा रही हैं । इस प्रकार, समस्या का समाधान इस प्रकार है: $X=y$$X=1$

$$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$$