परिवर्तित यादृच्छिक चर के सहसंयोजक

मेरे पास दो यादृच्छिक चर और । $X > 0$ $Y > 0$

यह देखते हुए कि मैं अनुमान लगा सकता हूं मैं कैसे अनुमान लगा सकता हूं

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— user7064
स्रोत

इस पिछले प्रश्न में सहसंयोजक के बजाय सहसंबंध के बारे में पूछा गया था, लेकिन यह संबंधित है: आंकड़े.stackexchange.com/questions/35941/…

— डगलस

एक टेलर विस्तार का दृष्टिकोण ले सकता है:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

संपादित करें:

लो , । $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

मल्टीवेरेट टेलर विस्तार का उपयोग करके एक सन्निकटन की गणना समान करें (उदाहरण में इसी तरह के उदाहरण में "फर्स्ट मोमेंट" के अंत में लिंक जो का सबसे सरल मामला है , और समान सटीकता के लिए और (जैसा कि उसी खंड के पहले भाग में दिया गया है सन्निकटन की गणना करने के लिए univariate विस्तार का उपयोग करें । उन चीजों से, गणना (अनुमानित) सहसंयोजक। $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

लिंक में उदाहरण के रूप में समान डिग्री तक विस्तार करते हुए, मुझे लगता है कि आप प्रत्येक (अप्रभावित) चर के माध्य और विचरण में शर्तों और उनके सहसंयोजक के साथ अंत करते हैं।

2 संपादित करें:

लेकिन यहाँ एक छोटी सी चाल है जो कुछ प्रयास को बचा सकती है:

ध्यान दें कि और और । $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

दिए गए हमारे पास

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

संपादित करें: वह अंतिम चरण टेलर सन्निकटन , जो छोटे ( ) के लिए अच्छा है। $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(कि सन्निकटन के लिए सटीक है , : सामान्य ) $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

चलो $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

और दिए गए , फिर $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(संपादित करें :)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

इसलिए या एक । यह लिए सटीक होना चाहिए Givariate गाऊसी। $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

यदि आप दूसरे के बजाय पहले सन्निकटन का उपयोग करते हैं, तो आपको यहां एक अलग सन्निकटन मिलेगा।

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

क्या आप कृपया थोड़ा और विवरण दे सकते हैं? वैसे भी, सुझाव के लिए thx

— user7064

विस्तार के लिए संपादित किया गया।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

धन्यवाद @Glend_b जब विवरण जोड़ा जाएगा, तो मैं स्वीकार करूंगा। इस बीच, +1 :-)

— user7064

कोई चिंता नहीं; मैं उस समय व्यस्त था, फिर पूरी तरह से भूल गया। अब नियत है

— Glen_b -Reinstate मोनिका

यह आम तौर पर गैर-गाऊसी चर के लिए बेहतर काम करता है यदि और के संस्करण छोटे हैं (बराबर, अगर और की भिन्नता के गुणांक छोटे हैं)।

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

और पर किसी भी अतिरिक्त मान्यताओं के बिना , प्रारंभिक कोविरियन को जानने वाले लॉग के कोवरियन को कम करना संभव नहीं है। दूसरी ओर, यदि आप गणना करने में सक्षम थे से और , क्या आप की गणना करने से रोकता है से और सीधे? $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— ThePawn
स्रोत