क्या रैंडम वैरिएबल सहसंबंधित होते हैं यदि और केवल तभी जब उनके रैंक सहसंबद्ध होते हैं?

Question

मान लें कि परिमित दूसरे क्षणों के साथ निरंतर यादृच्छिक चर हैं। स्पीयरमैन के रैंक सहसंबंध गुणांक ρ_s के जनसंख्या संस्करण को Pearson के उत्पाद-क्षण गुणांक ρ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, प्रायिकता इंटीग्रल का रूपांतरण F_X (X) और F_Y (Y) , जहां F_X, F_Y cdf के X और Y हैं , अर्थात।$X,Y$$ρ_s$$F_X(X)$एफ एक्स , एफ वाई एक्स $F_Y(Y)$$F_X,F_Y$$X$$Y$

$ρ_s(X,Y)=ρ(F(X),F(Y))$ ।

मुझे आश्चर्य है कि क्या कोई आम तौर पर यह निष्कर्ष निकाल सकता है

$ρ(X,Y)≠0↔ρ(F(X),F(Y))≠0$ ? 0 ?

Ie, क्या हमारे पास रैखिक सहसंबंध है यदि और केवल अगर हमारे पास रैंक के बीच रैखिक सहसंबंध है?

अद्यतन: टिप्पणियों में दो उदाहरण दिए गए हैं

$\rho(F_X(X),F_Y(Y))=0\rightarrow \rho(X,Y) = 0$

सामान्य रूप से सच नहीं है, भले ही $X$ और $Y$ का समान वितरण हो। इसलिए प्रश्न का सुधार किया जाना चाहिए

$\rho(X,Y) = 0 \rightarrow \rho(F_X(X),F_Y(Y))$ ?

यह मेरे लिए भी बहुत रुचि का है कि क्या यह सच है या गलत है अगर $X$ और $Y$ का समान वितरण है।

(नोट: यदि $X$ और $Y$ सकारात्मक रूप से चतुर्थांश पर निर्भर हैं, अर्थात, $δ(x,y)=F_{X,Y}(x,y)−F_X(x)F_Y(y)>0$ तो Hoeffding का सहसंयोजक सूत्र $Cov(X,Y)=∫∫δ(x,y)dxdy$ पैदावार कि $ρ(X,Y)>0$ और ρ (F (X), F (Y))> 0।$ρ(F(X),F(Y))>0$ )

Comments

संकेत: एक उत्तर प्राप्त करने के लिए, इस बारे में सोचें कि एक मनमाने ढंग से कड़ाई से एकरस परिवर्तन के तहत प्रत्येक सहसंबंध उपाय क्या होता है।

— कार्डिनल

@कार्डिनल: ठीक है, स्पीयरमैन का आरएचओ सख्ती से मोनोटोनिक परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है, शास्त्रीय रैखिक सहसंबंध गुणांक बदल जाएगा, लेकिन इसका अस्पष्ट कैसे? गैर-शून्य सख्ती से मोनोटोनिक परिवर्तनों के तहत ... लेकिन शायद मैंने आपकी बात को याद किया?

— FSpanhel

आप सही रास्ते पर हैं! आज्ञा देना और । अब, इन दोनों के कड़े रूपांतरों को देखें। मैंने स्पष्ट रूप से जाँच नहीं की है, लेकिन काम करने की संभावना है। वाई = एक्स 2 जी ( z ) = exp ( - z / 2 $X \sim \mathcal{N}(0,1)$$Y = X^2$$g(z) = \exp(-z/2)$

— कार्डिनल

तुम सही हो। दूसरा उदाहरण काम नहीं करता है जैसा कि मैंने इरादा / संदेह किया है। हालांकि, इस तरह के प्रतिपक्ष का निर्माण करने का सामान्य सिद्धांत अभी भी धारण करता है। और, हाँ, इस मामले को कसौटी के साथ कसकर बांधा जा सकता है। :-)

— कार्डिनल

एक बार जब आपने अपने प्रतिवाद की पुष्टि कर ली है, तो कृपया इस पोस्ट के उत्तर में उन्हें लिखने पर विचार करें। मुझे इसे उभारने में खुशी होगी। चीयर्स।

— कार्डिनल

Answer 1

न तो सहसंबंध शून्य होना जरूरी आपको दूसरे के बारे में बहुत कुछ बताता है, क्योंकि वे डेटा - विशेष रूप से चरम डेटा - काफी अलग-अलग हैं। मैं सिर्फ नमूनों के साथ खेलने जा रहा हूं, लेकिन इसी तरह के उदाहरणों का निर्माण बिवरिएट डिस्ट्रीब्यूशन / कॉपुलस के साथ किया जा सकता है।

1. स्पीयरमैन सहसंबंध 0 का अर्थ पीयरसन सहसंबंध 0 नहीं है :

जैसा कि प्रश्न में उल्लेख किया गया है, टिप्पणियों में उदाहरण हैं, लेकिन मूल संरचना "एक मामले का निर्माण करना है जहां स्पीयरमैन सहसंबंध 0 है, फिर एक चरम बिंदु लें और स्पीयरमैन सहसंबंध को बदलने के बिना इसे और अधिक चरम बनाएं"

टिप्पणियों में उदाहरण बहुत अच्छी तरह से कवर करते हैं, लेकिन मैं यहां एक अधिक 'यादृच्छिक' उदाहरण के साथ खेलने जा रहा हूं। तो इस डेटा पर विचार करें (R में), जिसके निर्माण से Spearman और Pearson सहसंबंध दोनों 0 हैं:

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

अब 1000 से y [12] जोड़ें और x [9] से 0.6 घटाएं; स्पीयरमैन सहसंबंध अपरिवर्तित है, लेकिन पीयरसन सहसंबंध अब 0.1841 है:

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

(यदि आप उस पियर्सन सहसंबंध पर मजबूत महत्व चाहते हैं, तो बस पूरे नमूने को कई बार दोहराएं।)

2. पियर्सन सहसंबंध 0 का तात्पर्य नहीं है स्पीयरमैन सहसंबंध 0 :

यहाँ शून्य पियर्सन सहसंबंध के साथ दो उदाहरण हैं, लेकिन नॉनज़ेरो स्पीयरमैन सहसंबंध (और फिर, यदि आप इन स्पीयरमैन सहसंबंधों पर मजबूत महत्व चाहते हैं, तो बस पूरे नमूने को कई बार दोहराएं)।

उदाहरण 1:

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699   

उदाहरण 2:

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

इस अंतिम उदाहरण में, Spearman सहसंबंध को y = x पर अधिक अंक जोड़कर मजबूत बनाया जा सकता है, जबकि शीर्ष पर बाईं ओर दो बिंदु बनाये जाते हैं और 0 पर Pearson सहसंबंध को बनाए रखने के लिए दाएं और अधिक चरम।