कौन सा सबसे बड़ा है, सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का एक गुच्छा?

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मेरे पास यादृच्छिक चर $X_0,X_1,\dots,X_n$ । $X_0$ का माध्य $\mu>0$ और विचरण साथ सामान्य वितरण है $1$ । $X_1,\dots,X_n$ RVs सामान्य रूप से मतलब के साथ वितरित कर रहे हैं $0$ और विचरण $1$ । सब कुछ परस्पर स्वतंत्र है।

$E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

मेरे आवेदन में, तय है ( ) और मैं लिए सबसे छोटा मान खोजना चाहता हूं जो बनाता है , लेकिन मैं सामान्य प्रश्न के बारे में भी उत्सुक हूं। $n$ $n=61$ $\mu$ $\Pr[E] \ge 0.99$

probability normal-distribution

— DW
स्रोत

कितना बड़ा है ? बड़े-नमूने के सिद्धांत के आधार पर कुछ अच्छी विषम अभिव्यक्तियाँ होनी चाहिए।

n

$n$

— whuber

@ शुभंकर, धन्यवाद! मैंने प्रश्न संपादित किया: मेरे मामले में । यहां तक कि अगर पर्याप्त रूप से बड़े के रूप में गिनने के लिए पर्याप्त नहीं है, अगर उस मामले में अच्छा स्पर्शोन्मुख अनुमान है जहां बड़ा है, तो यह दिलचस्प होगा।

n = 61

$n=61$

n = 61

$n=61$

n

$n$

— डीडब्ल्यू

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संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग, ।

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

— whuber

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ऐसी संभावनाओं की गणना को -ऑर्थोगोनल सिग्नलिंग नाम से संचार इंजीनियरों द्वारा बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है, जहां मॉडल यह है कि -एनर्जी में से एक समान रूप से संभावित ऑर्थोगोनल सिग्नल प्रेषित किए जा रहे हैं और रिसीवर यह तय करने का प्रयास कर रहा है कि कौन जांच करने के लिए प्रेषित किया गया था फिल्टर के आउटपुट संकेतों से मेल खाते हैं। प्रेषित संकेत की पहचान पर वातानुकूलित, मिलान किए गए फ़िल्टर के नमूने आउटपुट (सशर्त) स्वतंत्र इकाई-भिन्नता सामान्य यादृच्छिक चर हैं। प्रेषित सिग्नल से मिलान किए गए फ़िल्टर का नमूना आउटपुट एक यादृच्छिक चर है, जबकि अन्य सभी फ़िल्टर के आउटपुट $M$ $M$ $M$ $N(\mu,1)$ $N(0,1)$ यादृच्छिक चर।

एक सही निर्णय की सशर्त संभावना (जो कि वर्तमान संदर्भ में घटना ) पर वातानुकूलित है जहां एक मानक का संचयी प्रायिकता वितरण है सामान्य यादृच्छिक चर, और इसलिए बिना शर्त संभावना है जहाँ है $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} < α ∣ X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$ मानक सामान्य घनत्व फ़ंक्शन है। इस अभिन्न के मूल्य के लिए कोई बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं है जिसका संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन किया जाना चाहिए। अभियंताओं को पूरक घटना में भी रुचि है - कि निर्णय त्रुटि में है - लेकिन इसे रूप में गणना करना पसंद नहीं है क्योंकि यह लिए कई महत्वपूर्ण अंकों की सटीकता के लिए बहुत सावधानी से मूल्यांकन की आवश्यकता होती है , और इस तरह के मूल्यांकन मुश्किल और समय लेने वाली दोनों होते हैं। इसके बजाय, लिए इंटीग्रल को प्राप्त करने के लिए भागों द्वारा एकीकृत किया जा सकता है।

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$

1 - P (C)

$1-P(C)$

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$ यह अभिन्न संख्यानुसार मूल्यांकन करने के लिए और अधिक आसान है, और के एक समारोह के रूप में अपने मूल्य (के लिए हालांकि दुर्भाग्य से केवल का रेखांकन और सारणीबद्ध है के अध्याय 5 में) दूरसंचार प्रणालियों इंजीनियरिंग लिंडसे और साइमन, प्रेंटिस-हॉल 1973, डोवर से 1991 दबाएँ। वैकल्पिक रूप से, इंजीनियर संघ बाध्य या बोनफेरोनी असमानता का उपयोग करते हैं जहां पूरक संचयी सामान्य वितरण फ़ंक्शन है।

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

\begin{aligned} P {X_{0} < max_{i} X_{i}} & = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} P {X_{0} < X_{i}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

संघ बंधे से, हम देखते हैं कि लिए वांछित मान ऊपर से घिरा है, जिसका मान से । यह संख्यात्मक एकीकरण द्वारा @whuber द्वारा प्राप्त अधिक सटीक मान से थोड़ा बड़ा है । $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

अधिक चर्चा और के बारे में विवरण -ary orthogonal संकेत पीपी पर पाया जा सकता। मेरी की 161-179 व्याख्यान नोट्स संचार प्रणाली पर एक वर्ग के लिए ' $M$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

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एक औपचारिक जवाब:

iid की अधिकतम के लिए संभाव्यता वितरण (घनत्व) है: जहां प्रायिकता घनत्व है और संचयी कार्य फ़ंक्शन है । $N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

इससे आप इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि माध्यम से अन्य लोगों की तुलना में अधिक है। $X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

अपने विशिष्ट अनुप्रयोग के लिए इससे निपटने के लिए आपको विभिन्न अनुमानों पर ध्यान देने की आवश्यकता हो सकती है।

— डेव
स्रोत

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+1 वास्तव में, डबल इंटीग्रल एक इंटीग्रल में सरल हो जाता है क्योंकि दे रहा है जो मेरे उत्तर के समान है।

\int_{y}^{\infty} p (x_{0}) d x_{0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$

— दिलीप सरवटे