ARIMA मॉडल की व्याख्या

Question

मेरे पास ARIMA मॉडल के बारे में एक प्रश्न है। मान लीजिए कि मेरे पास एक समय श्रृंखला जिसे मैं पूर्वानुमान करना चाहूंगा और एक पूर्वानुमान मॉडल पूर्वानुमान अभ्यास का संचालन करने के लिए एक अच्छा तरीका है। अब लैग्ड का तात्पर्य है कि मेरी श्रृंखला आज पूर्व की घटनाओं से प्रभावित है। यह समझ में आता है। लेकिन त्रुटियों की व्याख्या क्या है? मेरा पूर्व अवशिष्ट (मैं अपनी गणना में कैसे बंद था) आज मेरी श्रृंखला के मूल्य को प्रभावित कर रहा है? इस प्रतिगमन में पिछड़े अवशिष्टों की गणना कैसे की जाती है क्योंकि यह प्रतिगमन का उत्पाद / शेष है? ARIMA ( 2 , 2 ) Δ वाई टी = α 1 Δ वाई टी - 1 + α 2 Δ वाई टी - 2 + ν टी + θ 1 ν टी - 1 + θ 2 ν टी - 2$Y_t$$\text{ARIMA}(2,2)$

$$\Delta Y_t = \alpha_1 \Delta Y_{t-1} + \alpha_2 \Delta Y_{t-2} + \nu_{t} + \theta_1 \nu_{t-1} + \theta_2 \nu_{t-2}$$ $Y$

Comments

मुझे लगता है कि आपको यह याद रखना होगा कि एआरआईएमए मॉडल नास्तिक मॉडल हैं, इसलिए अनुमानित प्रतिगमन गुणांक की व्याख्या करने के सामान्य नियम उसी तरह से सख्ती से लागू नहीं होते हैं। ARIMA मॉडल के बारे में पता करने के लिए कुछ विशेषताएं हैं। उदाहरण के लिए, AR (1) में के मान को कम करें तो तेज अभिसरण की दर है। लेकिन, उदाहरण के लिए, एक एआर (2) मॉडल लें। सभी एआर (2) मॉडल समान नहीं हैं! उदाहरण के लिए, यदि स्थिति संतुष्ट है तो AR (2) छद्म आवधिक व्यवहार प्रदर्शित करता है और परिणामस्वरूप इसके पूर्वानुमान स्टोकेस्टिक चक्र हैं। ( α 2 1 + 4 α 2 < 0 $\alpha_{1}$$(\alpha_{1}^{2}+4\alpha_{2}<0)$

— ग्रीम वाल्श

(cont ...) कुछ हद तक समान तरीके से, जब वेक्टर ऑटोरेर्गन से निपटते हैं, तो कोई अनुमानित गुणांक के बजाय आवेग प्रतिक्रिया कार्यों (आईआरएफ) की व्याख्या करता है; गुणांक अक्सर व्याख्या करना बहुत मुश्किल होता है, लेकिन समझदारी आमतौर पर आईआरएफ से बन सकती है। जिज्ञासा से बाहर, क्या आपने कई कागजात पाए हैं जिसमें लेखक (ओं) ने एक ARIMA मॉडल में गुणांक की व्याख्या करने पर बहुत ध्यान दिया है?

— ग्रीम वाल्श

एक अंकन समस्या प्रतीत होती है। " " सही नहीं हो सकता, क्योंकि ARIMA मॉडल में क्रमशः AR / I / MA घटकों में से प्रत्येक के लिए तीन पद हैं, जबकि ARMA मॉडल में दो (जैसे) हैं ) - लेकिन आप पहली बार अंतर करते हुए दिखाई देते हैं, जो आपको मतलब । कृपया अपने इरादे को प्रतिबिंबित करने के लिए संपादित करें। ( p , d , q ) ARMA ( 2 , 2 ) ARIMA ( 2 , 1 , 2 $\text{ARIMA}(2,2)$$(p,d,q)$$\text{ARMA}(2,2)$$\text{ARIMA}(2,1,2)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b मुझे एक और सवाल पर एक ही बात पूछना याद है । यह पता चला है कि हमारे पास एक प्रकार का दोहराव है। वर्तमान प्रश्न और इससे जुड़ा एक बहुत समान है।

— ग्रीम वॉल्श

Answer 1

मुझे लगता है कि आपको यह याद रखना होगा कि ARIMA मॉडल नास्तिक मॉडल हैं, इसलिए अनुमानित प्रतिगमन गुणांक की व्याख्या करने का सामान्य तरीका वास्तव में ARIMA मॉडलिंग तक नहीं ले जाता है।

अनुमानित ARIMA मॉडल की व्याख्या (या समझने) के लिए, कोई व्यक्ति कई सामान्य ARIMA मॉडलों द्वारा प्रदर्शित की जाने वाली विभिन्न विशेषताओं के प्रति जागरूक होगा।

हम विभिन्न ARIMA मॉडलों द्वारा निर्मित पूर्वानुमानों के प्रकारों की जांच करके इनमें से कुछ विशेषताओं का पता लगा सकते हैं। यह मुख्य दृष्टिकोण है जिसे मैंने नीचे लिया है, लेकिन एक अच्छा विकल्प विभिन्न ARIMA मॉडल (या स्टोकैस्टिक अंतर समीकरण) से जुड़े आवेग प्रतिक्रिया कार्यों या गतिशील समय पथ को देखना होगा । मैं अंत में इनके बारे में बात करूंगा।

एआर (1) मॉडल

आइए एक पल के लिए एआर (1) मॉडल पर विचार करें। इस मॉडल में, हम यह कह सकते हैं कि का मान कम होता है तो तेज अभिसरण की दर (मतलब से) होती है। हम AR (1) मॉडल के इस पहलू को समझने की कोशिश कर सकते हैं कि सिम्युलेटेड AR (1) मॉडल के एक छोटे सेट के लिए पूर्वानुमानों की प्रकृति की जांच करके विभिन्न मूल्यों के साथ । α $\alpha_{1}$$\alpha_{1}$

चार एआर (1) मॉडल का सेट जिन पर हम चर्चा करेंगे, वे बीजीय संकेतन में लिखे जा सकते हैं: जहां एक स्थिर है और शेष संकेतन OP से आता है। जैसा कि देखा जा सकता है, प्रत्येक मॉडल केवल के मान के साथ भिन्न होता है ।C α

$$\begin{equation} Y_{t} = C + 0.95 Y_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (1)\\ Y_{t} = C + 0.8 Y_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2)\\ Y_{t} = C + 0.5 Y_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (3)\\ Y_{t} = C + 0.4 Y_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (4) \end{equation}$$ $C$$\alpha_{1}$

नीचे दिए गए ग्राफ़ में, मैंने इन चार एआर (1) मॉडल के लिए आउट-ऑफ-सैंपल पूर्वानुमान लगाया है। यह देखा जा सकता है कि एआर (1) मॉडल के लिए पूर्वानुमान साथ अन्य मॉडलों के संबंध में धीमी दर पर परिवर्तित होता है। AR (1) मॉडल के लिए पूर्वानुमान, के साथ दूसरों की तुलना में तेज दर पर परिवर्तित होता है।α 1 = $\alpha_{1} = 0.95$$\alpha_{1} = 0.4$

नोट: जब लाल रेखा क्षैतिज होती है, तो यह सिम्युलेटेड श्रृंखला के माध्यम तक पहुंच गई है।

एमए (1) मॉडल

अब आइए लिए विभिन्न मूल्यों वाले चार MA (1) मॉडल पर विचार । जिन चार मॉडलों पर हम चर्चा करेंगे, उन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है: Y t = C + 0.95 ν t - 1 + ν t ( 5 $\theta_{1}$

$$\begin{equation} Y_{t} = C + 0.95 \nu_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (5)\\ Y_{t} = C + 0.8 \nu_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (6)\\ Y_{t} = C + 0.5 \nu_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (7)\\ Y_{t} = C + 0.4 \nu_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (8) \end{equation}$$

नीचे दिए गए ग्राफ़ में, मैंने इन चार अलग-अलग एमए (1) मॉडल के लिए आउट-ऑफ-सैंपल पूर्वानुमान लगाया है। जैसा कि ग्राफ दिखाता है, सभी चार मामलों में पूर्वानुमान का व्यवहार स्पष्ट रूप से समान है; मतलब के लिए त्वरित (रैखिक) अभिसरण। ध्यान दें कि एआर (1) मॉडल की तुलना में इन पूर्वानुमानों की गतिशीलता में कम विविधता है।

नोट: जब लाल रेखा क्षैतिज होती है, तो यह सिम्युलेटेड श्रृंखला के माध्यम तक पहुंच गई है।

एआर (2) मॉडल

जब हम अधिक जटिल ARIMA मॉडल पर विचार करना शुरू करते हैं तो चीजें बहुत अधिक दिलचस्प हो जाती हैं। उदाहरण के लिए AR (2) मॉडल लें। ये AR (1) मॉडल से ठीक एक छोटा कदम हैं, है ना? ठीक है, कोई यह सोचना पसंद कर सकता है, लेकिन एआर (2) मॉडल की गतिशीलता विविधता में काफी समृद्ध है जैसा कि हम एक पल में देखेंगे।

आइए देखें चार अलग-अलग AR (2) मॉडल:

$$\begin{equation} Y_{t} = C + 1.7 Y_{t-1} -0.8 Y_{t-2} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (9)\\ Y_{t} = C + 0.9 Y_{t-1} -0.2 Y_{t-2} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (10)\\ Y_{t} = C + 0.5 Y_{t-1} -0.2 Y_{t-2} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (11)\\ Y_{t} = C + 0.1 Y_{t-1} -0.7 Y_{t-2} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (12) \end{equation}$$

इनमें से प्रत्येक मॉडल से जुड़े नमूने का पूर्वानुमान नीचे दिए गए ग्राफ़ में दिखाया गया है। यह स्पष्ट है कि उनमें से प्रत्येक में काफी भिन्नता है और वे उन पूर्वानुमानों की तुलना में काफी भिन्न गुच्छा हैं जो हमने ऊपर देखे हैं - मॉडल 2 के पूर्वानुमान (शीर्ष दाएं भूखंड) को छोड़कर जो कि एआर (1) के समान हैं। नमूना।

नोट: जब लाल रेखा क्षैतिज होती है, तो यह सिम्युलेटेड श्रृंखला के माध्यम तक पहुंच गई है।

यहाँ मुख्य बात यह है कि सभी AR (2) मॉडल में एक जैसी गतिशीलता नहीं होती है! उदाहरण के लिए, यदि शर्त, संतुष्ट है तो एआर (2) मॉडल छद्म आवधिक व्यवहार प्रदर्शित करता है और परिणामस्वरूप इसके पूर्वानुमान स्टोकेस्टिक चक्रों के रूप में दिखाई देंगे। दूसरी ओर, यदि यह स्थिति संतुष्ट नहीं है, तो पूर्वानुमानों में स्टोकेस्टिक चक्र मौजूद नहीं होंगे; इसके बजाय, पूर्वानुमान एक एआर (1) मॉडल के लिए अधिक समान होंगे।

$$\begin{equation} \alpha_{1}^{2}+4\alpha_{2} < 0, \end{equation}$$

यह ध्यान देने योग्य है कि उपरोक्त स्थिति सामान्य समाधान से रैखिक, स्वायत्त, द्वितीय-क्रम अंतर समीकरण (जटिल जड़ों के साथ) के सजातीय रूप में आती है। यदि यह आपके लिए विदेशी है, तो मैं हैमिल्टन के अध्याय 1 (1994) और होए एट अल के अध्याय 20 दोनों की सिफारिश करता हूं। (2001)।

चार एआर (2) मॉडल के लिए उपरोक्त स्थिति का परीक्षण निम्नलिखित में होता है:

$$\begin{equation} (1.7)^{2} + 4 (-0.8) = -0.31 < 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (13)\\ (0.9)^{2} + 4 (-0.2) = 0.01 > 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (14)\\ (0.5)^{2} + 4 (-0.2) = -0.55 < 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (15)\\ (0.1)^{2} + 4 (-0.7) = -2.54 < 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (16) \end{equation}$$

जैसा कि प्लॉट किए गए पूर्वानुमानों की उपस्थिति से उम्मीद है, मॉडल 2 को छोड़कर प्रत्येक चार मॉडल के लिए स्थिति संतुष्ट है। ग्राफ़ से याद करें, मॉडल 2 का पूर्वानुमान एआर (1) मॉडल के पूर्वानुमान के समान व्यवहार करता है ("सामान्य रूप से")। अन्य मॉडलों के साथ जुड़े पूर्वानुमान में चक्र होते हैं।

आवेदन - मॉडलिंग मुद्रास्फीति

अब जब हमारे पैरों के नीचे कुछ पृष्ठभूमि है, तो आइए एक आवेदन में एआर (2) मॉडल की व्याख्या करने का प्रयास करें। मुद्रास्फीति दर ( ) के लिए निम्नलिखित मॉडल पर विचार करें : इस तरह के मॉडल के साथ जुड़ने की एक स्वाभाविक अभिव्यक्ति कुछ इस तरह होगी: "आज की मुद्रास्फीति कल के मुद्रास्फीति के स्तर और कल के पहले दिन के मुद्रास्फीति के स्तर पर निर्भर करती है"$\pi_{t}$

$$\begin{equation} \pi_{t} = C + \alpha_{1} \pi_{t-1} + \alpha_{2} \pi_{t-2} + \nu_{t}. \end{equation}$$ । अब, मैं इस तरह की व्याख्या के खिलाफ बहस नहीं करूंगा, लेकिन मैं सुझाव दूंगा कि कुछ सावधानी बरती जाए और एक उचित व्याख्या तैयार करने के लिए हमें थोड़ी गहराई खोदना चाहिए। इस मामले में हम पूछ सकते हैं कि मुद्रास्फीति किस तरह से मुद्रास्फीति के पिछले स्तरों से संबंधित है? क्या साइकिल हैं? यदि हां, तो कितने चक्र हैं? क्या हम चोटी और गर्त के बारे में कुछ कह सकते हैं? पूर्वानुमान कितनी जल्दी मतलब के लिए अभिसरण करते हैं? और इसी तरह।

एआर (2) मॉडल की व्याख्या करने की कोशिश करते समय हम किस तरह के प्रश्न पूछ सकते हैं और जैसा कि आप देख सकते हैं, यह अनुमान लगाने योग्य गुणांक के रूप में सीधा नहीं है और कह रहा है "इस चर में एक 1 यूनिट वृद्धि एक के साथ जुड़ी हुई है- आश्रित चर में कई इकाई वृद्धि " - निश्चित रूप से उस कथन के लिए ceteris paribus condition को संलग्न करना सुनिश्चित करता है ।

ध्यान रखें कि अब तक की चर्चा में, हमने केवल AR (1), MA (1) और AR (2) मॉडल के चयन का पता लगाया है। हमने मिश्रित एआरएमए मॉडल और एआरआईएमए मॉडल की गतिशीलता पर भी ध्यान नहीं दिया है जिसमें उच्च लैग शामिल हैं।

यह दिखाने के लिए कि उस श्रेणी में आने वाले मॉडल की व्याख्या करना कितना मुश्किल होगा, एक अन्य मुद्रास्फीति मॉडल की कल्पना करें - एक ARMA (3,1) with शून्य के लिए विवश: $\alpha_{2}$

$$\begin{equation} \pi_{t} = C + \alpha_{1} \pi_{t-1} + \alpha_{3} \pi_{t-3} + \theta_{1}\nu_{t-1} + \nu_{t}. \end{equation}$$

कहें कि आप क्या चाहते हैं, लेकिन यहां सिस्टम की गतिशीलता को समझने की कोशिश करना बेहतर है। पहले की तरह, हम देख सकते हैं और देख सकते हैं कि मॉडल किस प्रकार के पूर्वानुमान का उत्पादन करता है, लेकिन इस उत्तर की शुरुआत में मैंने जो वैकल्पिक दृष्टिकोण का उल्लेख किया था, वह सिस्टम से जुड़े आवेग प्रतिक्रिया समारोह या समय पथ को देखना था ।

यह मुझे मेरे उत्तर के अगले भाग में लाता है जहाँ हम आवेग प्रतिक्रिया कार्यों पर चर्चा करेंगे।

आवेग प्रतिक्रिया प्रतिक्रियाएं

जो लोग वेक्टर ऑटोर्रिजेशन (VAR) से परिचित हैं, वे जानते होंगे कि आमतौर पर आवेग प्रतिक्रिया कार्यों की व्याख्या करके अनुमानित VAR मॉडल को समझने की कोशिश की जाती है; इसके बजाय अनुमानित गुणांक की व्याख्या करने की कोशिश करना जो अक्सर किसी भी तरह से व्याख्या करना बहुत मुश्किल होता है।

ARIMA मॉडल को समझने की कोशिश करते समय एक ही दृष्टिकोण लिया जा सकता है। यानी "आज की महंगाई" कल की महंगाई और दो महीने पहले की महंगाई पर निर्भर करती है, लेकिन पिछले हफ्ते की महंगाई पर नहीं! , हम इसके बजाय आवेग प्रतिक्रिया समारोह की साजिश करते हैं और उस की भावना बनाने की कोशिश करते हैं।

आवेदन - चार मैक्रो वेरिएबल्स

इस उदाहरण के लिए (लीमर (2010) पर आधारित), आइए चार मैक्रोइकॉनॉमिक चर पर आधारित चार एआरआईएमए मॉडल पर विचार करें; जीडीपी वृद्धि, मुद्रास्फीति, बेरोजगारी दर और अल्पकालिक ब्याज दर। चार मॉडलों का अनुमान लगाया गया है और इन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है: जहां समय पर GDP विकास को दर्शाता , मुद्रास्फीति को दर्शाता है, बेरोजगारी दर और को दर्शाता है

$$\begin{eqnarray} Y_{t} &=& 3.20 + 0.22 Y_{t-1} + 0.15 Y_{t-2} + \nu_{t}\\ \pi_{t} &=& 4.10 + 0.46 \pi_{t-1} + 0.31\pi_{t-2} + 0.16\pi_{t-3} + 0.01\pi_{t-4} + \nu_{t}\\ u_{t} &=& 6.2+ 1.58 u_{t-1} - 0.64 u_{t-2} + \nu_{t}\\ r_{t} &=& 6.0 + 1.18 r_{t-1} - 0.23 r_{t-2} + \nu_{t} \end{eqnarray}$$ $Y_{t}$$t$$\pi$$u$$r$ अल्पकालिक ब्याज दर (3 महीने के खजाने) को दर्शाता है।

समीकरणों से पता चलता है कि जीडीपी विकास, बेरोजगारी दर और अल्पकालिक ब्याज दर को एआर (2) प्रक्रियाओं के रूप में तैयार किया गया है जबकि मुद्रास्फीति को एआर (4) प्रक्रिया के रूप में तैयार किया गया है।

प्रत्येक समीकरण में गुणांक की व्याख्या करने की कोशिश करने के बजाय, आइए हम आवेग प्रतिक्रिया कार्यों (आईआरएफ) को प्लॉट करें और इसके बजाय उनकी व्याख्या करें। नीचे दिया गया ग्राफ़ इन मॉडलों में से प्रत्येक के साथ जुड़े आवेग प्रतिक्रिया कार्यों को दर्शाता है।

IRFs की व्याख्या करने में इसे मास्टरक्लास के रूप में न लें - इसे एक मूल परिचय की तरह अधिक समझें - लेकिन फिर भी, आईआरएफ की व्याख्या करने में हमारी सहायता करने के लिए हमें दो अवधारणाओं के साथ स्वयं को जोड़ने की आवश्यकता होगी; गति और दृढ़ता ।

ये दो अवधारणाएँ लीमर (2010) में इस प्रकार परिभाषित की गई हैं:

गति : गति एक ही दिशा में आगे बढ़ने की प्रवृत्ति है। गति प्रभाव माध्य की ओर प्रतिगमन (अभिसरण) के बल को ऑफसेट कर सकता है और एक चर को कुछ समय के लिए अपने ऐतिहासिक अर्थ से दूर जाने की अनुमति दे सकता है, लेकिन अनिश्चित काल तक नहीं।

दृढ़ता : एक दृढ़ता चर चारों ओर लटकाएगी जहां यह है और धीरे-धीरे केवल ऐतिहासिक अर्थ में परिवर्तित होता है।

इस ज्ञान से लैस, अब हम सवाल पूछते हैं: मान लीजिए कि एक चर अपने ऐतिहासिक अर्थ में है और यह एक एकल अवधि में एक अस्थायी एक इकाई झटका प्राप्त करता है, तो भविष्य के समय में चर कैसे प्रतिक्रिया देगा? यह उन प्रश्नों को पूछने के लिए समान है जो हमने पहले पूछे थे, जैसे, क्या पूर्वानुमान में चक्र शामिल हैं? , कितनी जल्दी पूर्वानुमान मतलब के लिए अभिसरण करते हैं? , आदि।

अंत में, अब हम आईआरएफ की व्याख्या करने का प्रयास कर सकते हैं।

एक इकाई झटके के बाद, बेरोजगारी दर और अल्पकालिक ब्याज दर (3 महीने के खजाने) को उनके ऐतिहासिक साधनों से आगे बढ़ाया जाता है। यह गति प्रभाव है। आईआरएफ यह भी दर्शाता है कि बेरोजगारी की दर अल्पकालिक ब्याज दर की तुलना में बहुत अधिक है।

हम यह भी देखते हैं कि सभी चर अपने ऐतिहासिक साधनों पर लौटते हैं (उनमें से कोई भी "उड़ा" नहीं है), हालांकि वे प्रत्येक अलग दरों पर ऐसा करते हैं। उदाहरण के लिए, जीडीपी वृद्धि अपने ऐतिहासिक अर्थ पर एक झटके के बाद लगभग 6 अवधियों के बाद लौटती है, बेरोजगारी दर लगभग 18 अवधियों के बाद अपने ऐतिहासिक अर्थ में लौटती है, लेकिन मुद्रास्फीति और अल्पकालिक ब्याज अपने ऐतिहासिक साधनों पर लौटने के लिए 20 से अधिक समय लेते हैं। इस लिहाज से जीडीपी ग्रोथ चार वैरिएबल्स में से सबसे कम है, जबकि महंगाई को लगातार ज्यादा कहा जा सकता है।

मुझे लगता है कि यह कहना उचित है कि हम चार ARIMA मॉडल में से प्रत्येक के बारे में बताने के लिए (कम से कम आंशिक रूप से) प्रबंधित कर रहे हैं।

निष्कर्ष

ARIMA मॉडल (कई मॉडलों के लिए कठिन) में अनुमानित गुणांक की व्याख्या करने के बजाय, सिस्टम की गतिशीलता को समझने की कोशिश करें। हम अपने मॉडल द्वारा उत्पादित पूर्वानुमानों की खोज करके और आवेग प्रतिक्रिया समारोह की साजिश रचकर इसका प्रयास कर सकते हैं।

[अगर कोई चाहता है तो मुझे अपना आर कोड साझा करने में खुशी होगी।]

संदर्भ

• हैमिल्टन, जेडी (1994)। समय श्रृंखला विश्लेषण (खंड 2)। प्रिंसटन: प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस।
• लीमर, ई। (2010)। मैक्रोइकॉनॉमिक पैटर्न और कहानियां - एमबीए, स्प्रिंगर के लिए एक गाइड।
• स्टेंगोस, टी।, एम। होय, जे। लिवरेनिस, सी। मैककेना और आर। रीस (2001)। अर्थशास्त्र के लिए गणित, दूसरा संस्करण, एमआईटी प्रेस: ​​कैम्ब्रिज, एमए।

Comments

गैर-वार्स के लिए आईआरएफ के आवेदन से प्यार करें। वे हमेशा जुड़े हुए लगते हैं और मैंने कभी भी मात्र ARIMAs पर IRFs का उपयोग करने के बारे में नहीं सोचा था। (वह प्लस, जो वास्तव में समझ सकते हैं कि एमए क्या करते हैं?)

— वेन

क्या शानदार जवाब है!

— रिचर्ड हार्डी

Answer 2

$MA(\infty)$

$$\Delta Y_t=\sum_{j=0}^{\infty} \psi_j\nu_{t-j}$$

$MA(1)$$AR(1)$

$$Y_t=\nu_t+\theta_{1}\nu_{t-1}$$

$$Y_t=\rho Y_{t-1}+\nu_{t}=\nu_t+\rho \nu_{t-1}+ \rho^2 \nu_{t-1}+...$$

आप कह सकते हैं कि ARMA मॉडल में त्रुटि शब्द अतीत के "अल्पकालिक" प्रभाव की व्याख्या करते हैं, और अंतराल वाले शब्द "दीर्घकालिक" प्रभाव की व्याख्या करते हैं। यह कहते हुए कि मुझे नहीं लगता कि यह बहुत मदद करता है और आमतौर पर एआरएमए गुणांक की सटीक व्याख्या के साथ परेशान नहीं करता है। लक्ष्य आमतौर पर एक पर्याप्त मॉडल प्राप्त करना और पूर्वानुमान के लिए इसका उपयोग करना है।

Comments

+1 यह कमोबेश वही है जो मैं ऊपर अपनी टिप्पणियों में प्राप्त करने की कोशिश कर रहा था।

— ग्रीम वाल्श

हा, मैंने आपकी टिप्पणियाँ नहीं देखीं, जब मैं उत्तर लिख रहा था। मैं उन्हें उत्तर में परिवर्तित करने का सुझाव देता हूं।

— एमपिकटस

Answer 3

$n$$c_1,c_2,...,c_n$

$$Y(t) =c_1 Y(t−1) + c_2 Y(t-2) + c_3 Y(t-3)+ ... + c_n Y(t-n) + a(t)$$

इस तरह एक ARIMA मॉडल को प्रश्न के उत्तर के रूप में समझाया जा सकता है

1. अतीत के एक भारित योग की गणना करने के लिए मुझे कितने ऐतिहासिक मूल्यों का उपयोग करना चाहिए?
2. संक्षेप में वे मूल्य क्या हैं?