एक सिक्का उचित है अगर जाँच कर रहा है

मुझे एक मित्र द्वारा निम्नलिखित प्रश्न पूछा गया था। मैं उसकी मदद नहीं कर सकता था लेकिन मुझे उम्मीद है कि कोई मुझे समझा सकता है। मुझे कोई समान उदाहरण नहीं मिला। किसी भी मदद और स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद।

प्रश्न: 100 सिक्का टॉस प्रयोगों के परिणाम 0 = "टेल" और 1 = "हेड" के रूप में दर्ज किए जाते हैं। आउटपुट x 0 की एक स्ट्रिंग है और लंबाई 100 में से 1 है। और जब हम x में 1-0-0 प्राप्त करते हैं, तो गणना की जाती है और यह 20 है (पूर्व: यदि x = (001001110100), 1-0-0 2 बार होता है)। क्या आपको लगता है कि यह एक उचित सिक्का है?

probability inference bernoulli-distribution

— जिमी दुर
स्रोत

यह सवाल एक वास्तविक वास्तविक समस्या की तरह नहीं है। क्या यह होमवर्क है?

— सेक्सटस एम्पिरिकस

मुझे यकीन नहीं है। जैसा कि मैंने संकेत दिया कि यह मुझसे एक मित्र ने पूछा था। मैं उसकी मदद नहीं कर सकता था, लेकिन मैं अभी भी सीखना चाहता हूं कि इस तरह के सवाल को कैसे हल किया जाए या इसका जवाब दिया जाए। @ MartijnWeterings

— जिमी डूर

आंकड़े.stackexchange.com/questions/158490/… में स्थिति का पूरा लेखा- जोखा होता है। अधिक के लिए, देखें stats.stackexchange.com/...

— whuber

@JimmyDur आपके पास प्रश्न की व्याख्या या अर्थ के बारे में कोई विचार नहीं है। उदाहरण के लिए। आप इस प्रश्न को "क्या आपको लगता है कि यह एक उचित सिक्का है?" यह एक पेचीदा सवाल लगता है।

— सेक्स्टस एम्पिरिकस

... हालाँकि, देखने के कुछ बिंदुओं से यह निपटने का एक सही तरीका नहीं हो सकता है, और किसी को बायेसियन दृष्टिकोण की इच्छा हो सकती है, उदाहरण के लिए अगर कोई सिक्कों की निष्पक्षता के पूर्व संभाव्यता वितरण की तरह कुछ जानता है। पृष्ठभूमि और परिस्थितियों के किसी भी ज्ञान के बिना किसी भी गणना सिर्फ गणित का अभ्यास होगा और आपके स्पष्ट सवाल का जवाब नहीं "क्या आपको लगता है कि यह एक उचित सिक्का है?"

— 21

अनुकरण द्वारा समस्या का समाधान

मेरा पहला प्रयास कंप्यूटर पर इसे अनुकरण करना होगा, जो बहुत सारे उचित सिक्कों को बहुत तेजी से फ्लिप कर सकता है। नीचे एक उदाहरण एक परीक्षण के साथ है। यह घटना 'कि का पैटर्न' 1-0-0 ' की संख्या सिक्का फ़्लिप 20 या अधिक होता है' लगभग हर तीन हज़ार परीक्षणों में एक बार होता है, इसलिए आपने जो देखा वह बहुत संभावना नहीं है (एक निष्पक्ष के लिए) सिक्का)। $X$ $n=100$

ध्यान दें कि हिस्ट्रोग्राम सिमुलेशन के लिए है और रेखा नीचे सटीक गणना है जिसे आगे बताया गया है।

set.seed(1)

# number of trials
n <- 10^6

# flip coins
q <- matrix(rbinom(100*n, 1, 0.5),n)

# function to compute number of 100 patterns
npattern <- function(x) {
  sum((1-x[-c(99,100)])*(1-x[-c(1,100)])*x[-c(1,2)])
}

# apply function on data 
counts <- sapply(1:n, function(x) npattern(q[x,]))
hist(counts, freq = 0) 

# estimated probability
sum(counts>=20)/10^6
10^6/sum(counts>=20)

एक सटीक गणना के साथ समस्या को हल करना

एक विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण के लिए आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि '100 सिक्कों के फ़्लिप्स में 20 या अधिक सीक्वेंस' 1-0-0 'का निरीक्षण करने की संभावना 1 माइनस के बराबर है कि इसमें 20 सीक्वेंस बनाने के लिए 100 फ़्लिप होने में अधिक समय लगता है' । इसे निम्नलिखित चरणों में हल किया गया है:

'1-0-0' के फ़्लिप करने की संभावना के लिए प्रतीक्षा समय

वितरण, , आपको जितनी बार फ्लिप करने की आवश्यकता होती है, उतनी बार आपको एक अनुक्रम '1-0-0' प्राप्त करने की आवश्यकता होती है: $f_{N,x=1}(n)$

आइए मार्कोव श्रृंखला के रूप में '1-0-0' तक पहुंचने के तरीकों का विश्लेषण करें। हम flips के स्ट्रिंग के प्रत्यय द्वारा वर्णित राज्यों का अनुसरण करते हैं: '1', '1-0', या '1-0-0'। उदाहरण के लिए यदि आपके पास निम्नलिखित आठ फ़्लिप 10101100 हैं, तो आप क्रम में आए, निम्नलिखित आठ अवस्थाएँ: '1', '1-0', '1', '1-0', '1', '1'। -0 1-0 ’, 1-0 1-0-0’ और इसे '1-0-0 ’तक पहुंचने में आठ झटके लगे। ध्यान दें कि आपके पास प्रत्येक फ्लिप में '1-0-0' तक पहुंचने की समान संभावना नहीं है। इस प्रकार आप इसे एक द्विपद वितरण के रूप में मॉडल नहीं कर सकते । इसके बजाय आपको संभावनाओं के एक पेड़ का पालन करना चाहिए। राज्य '1' '1' और '1-0' में जा सकता है, राज्य '1-0' '1' और'-0-0 'में जा सकता है, और राज्य '1-0-0' एक अवशोषित राज्य है। आप इसे नीचे लिख सकते हैं:

           number of flips
           1   2   3   4   5   6   7   8   9   ....   n

'1'        1   1   2   3   5   8  13  21  34   ....   F_n
'1-0'      0   1   1   2   3   5   8  13  21          F_{n-1}
'1-0-0'    0   0   1   2   4   7   12 20  33          sum_{x=1}^{n-2} F_{x}

और पैटर्न '1-0-0' तक पहुंचने की संभावना, पहले '1' को रोल करने के बाद (आप राज्य 0 से शुरू करते हैं, अभी तक एक सिर नहीं फ़्लिप किया है), फ़्लिप के भीतर संभावना से डेढ़ गुना है फ़्लिप के भीतर राज्य '1-0' में होना : $n$ $n-1$

f_{N_{c}, x = 1} (n) = \frac{F_{n - 2}}{2^{n - 1}}

$f_{N_c,x=1}(n) = \frac{F_{n-2}}{2^{n-1}}$

जहां है मई के Fibonnaci संख्या। गैर-सशर्त संभावना एक योग है $F_i$ $i$

f_{N, x = 1} (n) = \sum_{k = 1}^{n - 2} {0.5}^{k} f_{N_{c}, x = 1} (1 + (n - k)) = {0.5}^{n} \sum_{k = 1}^{n - 2} F_{k}

$f_{N,x=1}(n) = \sum_{k=1}^{n-2} 0.5^{k} f_{N_c,x=1}(1+(n-k)) = 0.5^{n} \sum_{k=1}^{n-2} F_{k}$

'1-0-0' की गुणा करने की संभावना के लिए प्रतीक्षा समय $k$

यह आप एक दृढ़ संकल्प द्वारा गणना कर सकते हैं।

f_{N, x = k} (n) = \sum_{l = 1}^{n} f_{N, x = 1} (l) f_{N, x = 1} (n - l)

$f_{N,x=k}(n) = \sum_{l=1}^{n} f_{N,x=1}(l)f_{N,x=1}(n-l)$

आपको 20 या अधिक '1-0-0' पैटर्न का अवलोकन करने की संभावना के रूप में मिलेगा (यह परिकल्पना के आधार पर कि सिक्का उचित है)

> # exact computation
> 1-Fx[20]
[1] 0.0003247105
> # estimated from simulation
> sum(counts>=20)/10^6
[1] 0.000337

इसकी गणना करने के लिए यहाँ R-code दिया गया है:

# fibonacci numbers
fn <- c(1,1)
for (i in 3:99) {
  fn <- c(fn,fn[i-1]+fn[i-2])
}

# matrix to contain the probabilities
ps <- matrix(rep(0,101*33),33)

# waiting time probabilities to flip one pattern
ps[1,] <- c(0,0,cumsum(fn))/2^(c(1:101))

#convoluting to get the others
for (i in 2:33) {
  for (n in 3:101) {
     for (l in c(1:(n-2))) {
       ps[i,n] = ps[i,n] + ps[1,l]*ps[i-1,n-l]
     }  
  }
}

# cumulative probabilities to get x patterns in n flips
Fx <- 1-rowSums(ps[,1:100])

# probabilities to get x patterns in n flips
fx <- Fx[-1]-Fx[-33]

#plot in the previous histogram
lines(c(1:32)-0.5,fx)

अनुचित सिक्कों के लिए कम्प्यूटिंग

हम flips में पैटर्न का निरीक्षण करने के लिए प्रायिकता के उपरोक्त गणना को सामान्य कर सकते हैं , जब '1 = हेड' की संभावना और फ़्लिप स्वतंत्र होते हैं। $x$ $n$ $p$

अब हम फाइबोनैचि संख्याओं के सामान्यीकरण का उपयोग करते हैं:

F_{n} (x) = {\begin{cases} 1 & if n = 1 \\ x & if n = 2 \\ x (F_{n - 1} + F_{n - 2}) & if n > 2 \end{cases}

$F_{n}(x) = \begin{cases} 1 & \quad \text{if $n=1$} \\ x & \quad \text{if $n=2$} \\ x(F_{n-1}+ F_{n-2}) & \quad \text{if $n>2$} \end{cases}$

संभावनाएं अब इस प्रकार हैं:

f_{N_{c}, x = 1, p} (n) = (1 - p)^{n - 1} F_{n - 2} ((1 - p)^{- 1} - 1)

$f_{N_c,x=1,p}(n) = (1-p)^{n-1} F_{n-2}((1-p)^{-1}-1)$

तथा

f_{N, x = 1, p} (n) = \sum_{k = 1}^{n - 2} p (1 - p)^{k - 1} f_{N_{c}, x = 1, p} (1 + n - k) = p (1 - p)^{n - 1} \sum_{k = 1}^{n - 2} F_{k} ((1 - p)^{- 1} - 1)

$f_{N,x=1,p}(n) = \sum_{k=1}^{n-2} p(1-p)^{k-1} f_{N_c,x=1,p}(1+n-k) = p(1-p)^{n-1}\sum_{k=1}^{n-2} F_{k}((1-p)^{-1}-1)$

जब हम इसे प्राप्त करते हैं:

इसलिए जब उचित मूल्य 0.0003247 के लिए पी-मूल्य छोटा है, तो हमें ध्यान देना चाहिए कि विभिन्न अनुचित सिक्कों के लिए यह बहुत बेहतर (केवल एक आदेश) नहीं है। संभावना अनुपात, या बेयस कारक , लगभग 11 है जब शून्य परिकल्पना ( ) की तुलना वैकल्पिक परिकल्पना । इसका मतलब है कि पीछे बाधाओं अनुपात पहले बाधाओं अनुपात से केवल दस गुना अधिक है। $p=0.5$ $p=0.33$

इस प्रकार यदि आपने प्रयोग से पहले सोचा कि सिक्का अनुचित नहीं था, तो अब आपको यह सोचना चाहिए कि सिक्का अनुचित नहीं है।

साथ एक सिक्का लेकिन '1-0-0' घटनाओं के बारे में अनुचितता $p_{heads} = p_{tails}$

एक बहुत ही आसान सिक्का और सिर और पूंछ की संख्या की गिनती करके एक निष्पक्ष सिक्के के लिए संभावना का परीक्षण कर सकता है और इन टिप्पणियों को मॉडल करने के लिए एक द्विपद वितरण का उपयोग कर सकता है और परीक्षण कर सकता है कि अवलोकन विशेष है या नहीं।

हालाँकि यह हो सकता है कि सिक्का चमक रहा हो, औसतन, समान संख्या में सिर और पूंछ लेकिन कुछ पैटर्न के बारे में उचित नहीं है। उदाहरण के लिए सिक्के के फलैश के सफल होने के लिए सिक्के का कुछ संबंध हो सकता है (मैं सिक्के के धातु के अंदर गुहाओं के साथ कुछ तंत्र की कल्पना करता हूं जो भरे हुए रेत के होते हैं जो पिछले सिक्के फ्लिप के विपरीत छोर की ओर एक घंटे के गिलास की तरह बहेंगे, जो सिक्के को लोड कर रहा है पिछली तरफ के समान पक्ष पर अधिक संभावना गिरने के लिए)।

बता दें कि पहला सिक्का फ्लिप समान संभावना वाले हेड्स और टेल्स हैं और फ़्लिपिंग सफ़लता संभावनाएँ के साथ उसी तरफ हैं जैसे कि फ्लिप से पहले। फिर इस पोस्ट की शुरुआत के समान एक अनुकार निम्न संभावनाएं देगा कि पैटर्न '1-0-0' की संख्या 20 से अधिक है: $p$

आप देख सकते हैं कि '1-0-0' पैटर्न (कहीं एक सिक्का जिसमें कुछ नकारात्मक सहसंबंध है) का निरीक्षण करने के लिए इसे और अधिक अस्पष्ट बनाने की संभावना है , लेकिन अधिक नाटकीय यह है कि कोई इसे बहुत कम कर सकता है '1-0-0' पैटर्न को बनाए रखने की संभावना है। कम आपको कई बार एक सिर के बाद की पूंछ मिलती है, '1-0-0' पैटर्न का पहला '1-0' हिस्सा, लेकिन आपको '0-0' की पंक्ति में इतनी बार दो पूंछ नहीं मिलती हैं पैटर्न का हिस्सा। उच्च मूल्यों के लिए विपरीत सच है । $p=0.45$ $p$ $p$

# number of trials
set.seed(1)
n <- 10^6

p <- seq(0.3,0.6,0.02)
np <- length(p)
mcounts <- matrix(rep(0,33*np),33)

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                     max = np, style=3)
for (i in 1:np) {
  # flip first coins
  qfirst <- matrix(rbinom(n, 1, 0.5),n)*2-1
  # flip the changes of the sign of the coin
  qrest <- matrix(rbinom(99*n, 1, p[i]),n)*2-1
  # determining the sign of the coins
  qprod <- t(sapply(1:n, function(x) qfirst[x]*cumprod(qrest[x,])))
  # representing in terms of 1s and 0s
  qcoins <- cbind(qfirst,qprod)*0.5+0.5
  counts <- sapply(1:n, function(x) npattern(qcoins[x,]))

  mcounts[,i] <- sapply(1:33, function(x) sum(counts==x))
  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

plot(p,colSums(mcounts[c(20:33),]),
     type="l", xlab="p same flip", ylab="counts/million trials", 
     main="observation of 20 or more times '1-0-0' pattern \n for coin with correlated flips")
points(p,colSums(mcounts[c(20:33),]))

आंकड़ों में गणित का उपयोग करना

उपरोक्त सभी ठीक है लेकिन यह सवाल का सीधा जवाब नहीं है

"क्या आपको लगता है कि यह एक उचित सिक्का है?"

उस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, ऊपर दिए गए गणित का उपयोग कर सकता है, लेकिन किसी को पहले वास्तव में बहुत अच्छी तरह से स्थिति, लक्ष्यों, निष्पक्षता की परिभाषा आदि का वर्णन करना चाहिए, पृष्ठभूमि और परिस्थितियों के ज्ञान के बिना किसी भी गणना सिर्फ गणित का अभ्यास होगा और उत्तर का नहीं। स्पष्ट सवाल।

एक खुला सवाल यह है कि हम '1-0-0' पैटर्न की तलाश क्यों और कैसे कर रहे हैं।

उदाहरण के लिए, शायद यह पैटर्न एक लक्ष्य नहीं था, जो जांच करने से पहले तय किया गया था । शायद यह कुछ ऐसा था जो डेटा में 'बाहर खड़ा था' और यह कुछ ऐसा था जिसे प्रयोग के बाद ध्यान मिला । उस मामले में किसी को यह विचार करने की आवश्यकता है कि कोई प्रभावी रूप से कई तुलना कर रहा है ।
एक और मुद्दा यह है कि ऊपर की गणना की गई संभावना एक पी-मूल्य है। पी-मूल्य का अर्थ सावधानी से विचार करने की आवश्यकता है। यह संभावना नहीं है कि सिक्का उचित है। यह, बजाय, संभावना एक विशेष परिणाम निरीक्षण करने के लिए है , तो सिक्का मेला है। यदि किसी के पास एक ऐसा वातावरण है, जिसमें किसी को सिक्कों की निष्पक्षता का कुछ वितरण पता है, या कोई एक उचित धारणा बना सकता है, तो कोई इसे ध्यान में रख कर बायेसियन अभिव्यक्ति का उपयोग कर सकता है ।
क्या उचित है, क्या अनुचित है। आखिरकार, पर्याप्त परीक्षणों को देखते हुए, कुछ छोटे-मोटे अन्याय हो सकते हैं। लेकिन क्या यह प्रासंगिक है और क्या ऐसी खोज पक्षपातपूर्ण नहीं है? जब हम एक निरंतरवादी दृष्टिकोण से चिपके रहते हैं, तो किसी को एक सीमा जैसा कुछ वर्णित करना चाहिए जिसके ऊपर हम एक सिक्का मेला (कुछ प्रासंगिक प्रभाव आकार) मानते हैं। फिर एक दो तरफा टी-टेस्ट के समान कुछ का उपयोग कर सकता है ताकि यह तय किया जा सके कि सिक्का उचित है या नहीं ('1-0-0' पैटर्न के बारे में)।

— सेक्सटस एम्पिरिकस
स्रोत

क्यों MLE के माध्यम से एक बंद फार्म समाधान का पीछा नहीं?

— डिगियो

मैं नहीं, मैं बस उत्सुक हूँ। नहीं होगा साथ और लिए एक विश्वास अंतराल। एक वैध उत्तर दें, @whuber?

{\hat{p}}_{M L} = a r g m a x_{p} [P (X_{1}, . . ., X_{n} | p, n)]

$\hat{p}_{ML} = argmax_p [P(X_1,...,X_n | p, n)]$

X \sim B i n o m i a l (n, p)

$X \sim Binomial(n, p)$

{\hat{p}}_{M L}

$\hat{p}_{ML}$

— डिजीओ

इस संपूर्ण उत्तर के लिए धन्यवाद, मैं वास्तव में दूसरे दृष्टिकोण को पसंद करता हूं। मेरे विचार एक अधिक प्रत्यक्ष समाधान की पंक्तियों के साथ थे: एक एकल द्विपद या एकाधिक बर्नौली वितरण के पैरामीटर के रूप में अनुमान । फिर यदि संभाव्यता का विश्वास अंतराल शामिल नहीं है। 5, तो हम कहेंगे कि सिक्का पक्षपाती है।

p

$p$

p

$p$

— डिजीओ

उदाहरण के लिए, , हम त्रुटि के मार्जिन के साथ । और बाद से , हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सिक्का पक्षपाती नहीं है (5% महत्व स्तर पर)।

X = {0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0}

$X=\{0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0\}$

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{5}{12} = 0.42

$\hat{p} = {{x}\over{n}}={5 \over 12}=0.42$

1.96 \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} = 0.28

$1.96 \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p}) \over {n}} = 0.28$

0.42 + 0.28 < 0.50

$0.42+0.28 < 0.50$

— डिजीओ

@FrankHarrell समस्या सेटअप में कुछ भी नहीं है जो हमें लगता है कि फ़्लिप असंबंधित हैं। समस्या सेटअप जानकारी के साथ अपेक्षाकृत खराब है। मेरा उदाहरण है कि फ्लिप्स के सहसंबंध में जाता है बस सवाल की व्यापकता को कवर करने के लिए है। मैं यह कहते हुए नहीं कर रहा हूँ कि इस है जिस तरह से यह जवाब देने के लिए। लेकिन कहते हैं कि कोई व्यक्ति (संभवतः ओपी) डीएनए अनुक्रम या किसी अन्य समस्या सेटअप पर शोध कर रहा है जहां सहसंबंध की संभावना अधिक समझ में आती है, तो उनके पास एक उदाहरण है कि यह कैसे बदल सकता है।

— सेक्स्टस एम्पिरिकस

एक सिक्का उचित है अगर जाँच कर रहा है

अनुकरण द्वारा समस्या का समाधान

एक सटीक गणना के साथ समस्या को हल करना

'1-0-0' के फ़्लिप करने की संभावना के लिए प्रतीक्षा समय

'1-0-0' की गुणा करने की संभावना के लिए प्रतीक्षा समयkkk

अनुचित सिक्कों के लिए कम्प्यूटिंग

साथ एक सिक्का लेकिन '1-0-0' घटनाओं के बारे में अनुचितताpheads=ptailspheads=ptailsp_{heads} = p_{tails}

आंकड़ों में गणित का उपयोग करना

'1-0-0' की गुणा करने की संभावना के लिए प्रतीक्षा समय $k$

साथ एक सिक्का लेकिन '1-0-0' घटनाओं के बारे में अनुचितता $p_{heads} = p_{tails}$