गॉसियन उच्च आदेश क्षणों के साथ वितरण की तरह

Question

अज्ञात माध्य और विचरण के साथ गौसियन वितरण के लिए, मानक घातांक परिवार के रूप में पर्याप्त आँकड़े । मैं एक वितरण है कि है टी ( x ) = ( एक्स , एक्स 2 , । । । , X 2 एन$T(x)=(x,x^2)$$T(x)=(x,x^2,...,x^{2N})$, जहां एन एक डिजाइन पैरामीटर की तरह है। क्या इस तरह के पर्याप्त आँकड़े वेक्टर के लिए एक समान ज्ञात वितरण है? मुझे इस वितरण से नमूनों की आवश्यकता है, इसलिए वितरण से सटीक नमूने प्राप्त करना मेरे लिए महत्वपूर्ण है। बहुत बहुत धन्यवाद।

Comments

क्या आपने लॉग-नॉर्मलाइज़र खोजने के लिए एकीकृत करने की कोशिश की है?

— नील जी

यह स्पष्ट नहीं है कि आप क्षणों या पर्याप्त आँकड़ों के बारे में बात कर रहे हैं

— हेनरी

@ नील, मेरे पास एक लॉग-नॉर्मलाइज़र है जो काफी जटिल चीज है, जो मुझे वास्तव में आश्चर्य होता है कि क्या इस तरह के पर्याप्त आँकड़ों के साथ एक ज्ञात वितरण है या नहीं,

— YBE

@ हेनरी, मैं पर्याप्त आँकड़ों के बारे में बात कर रहा हूँ, मैंने एक तरह से गाऊसी मामले के लिए एक सादृश्य बनाने की कोशिश की, जहाँ पर्याप्त आँकड़ों का मतलब x से है और x ^ 2 का विचरण / दूसरे क्रम के क्षण से मेल खाता है।

— YBE

@MichaelChernick: किसी दिए गए पर्याप्त आंकड़े, वाहक उपाय और समर्थन के लिए, आप लॉग-नॉर्मलाइज़र को खोजने के लिए समर्थन को एकीकृत कर सकते हैं। यदि लॉग-नॉर्मलाइज़र परिमित है, तो मुझे लगता है कि परिवार मौजूद है। उसने ऐसा किया है और वह पूछ रहा है कि क्या इस परिवार का कोई नाम है।

— नील जी

Answer 1

यदि आप "पर्याप्त" सांख्यिकीय से शुरू करते हैं तो आप अनंत संख्या में वितरण को परिभाषित कर सकते हैं। अर्थात्, हर औसत दर्जे का कार्य के लिए ज ( ⋅ ) एक मनमाना उपाय के खिलाफ d λ पर अपने नमूना अंतरिक्ष, च ( एक्स | θ ) = exp { θ ⋅ टी ( x ) - τ ( θ ) $T(x)$$h(\cdot)$$\text{d}\lambda$ एक घातीय परिवार से एक घनत्व और, हर के लिए है n और एक आईआईडी नमूना ( एक्स 1 , ... , एक्स एन ) इस घनत्व से, आंकड़ा n Σ मैं = 1 टी ( एक्स मैं ) के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, किसी भी मापने योग्य फ़ंक्शन h के लिए , आप h ( x ) द्वारा घनत्व को परिभाषित कर सकते हैं

$$f(x|\theta) = \exp\left\{ \theta\cdot T(x)-\tau(\theta) \right\} \,h(x)$$ $n$$(x_1,\ldots,x_n)$ $$\sum_{i=1}^n T(x_i)$$ $h$ जिसका अर्थ है कि T ( x ) = ( x , x 2 ) भी इस वितरण के लिए पर्याप्त है। $$h(x)\,\exp\{-(x-\mu)^2/\sigma^2\} \Big/ \int_{\mathbb{R}} h(y)\,\exp\{-(y-\mu)^2/\sigma^2\} \,\text{d}\lambda(y)$$ $T(x)=(x,x^2)$

इसलिए, कोई भी जोड़ा एक घातीय परिवार को परिभाषित करता है, जिसका अर्थ है कि आपके प्रश्न का कोई जवाब नहीं है।$(h,T)$