गॉसियन आरबीएफ कर्नेल के लिए कोई परिमित-आयामी सुविधा स्थान कैसे साबित किया जाए?

Question

कैसे साबित होता है कि रेडियल आधार समारोह के लिए कोई परिमित आयामी सुविधा जगह नहीं हैएचइस तरह के कुछ के लिए किΦ:आरएन→एचहमकश्मीर(एक्स,वाई)=⟨Φ(एक्स),Φ(y)⟩?$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

Comments

क्या यह प्रश्न गणित के लिए अधिक उपयुक्त है?

— सिंह

हमले की एक संभावित योजना का एक उप-क्षेत्र प्रदर्शित करना होगा जो बंद नहीं है। $H$

— निक अल्ज

@ नाइक अल्जीरिया: शायद यह मदद करता है: सांख्यिकी.स्टैकएक्सचेंज.com

Answer 1

मूर-Aronszajn प्रमेय गारंटी देता है कि एक सुडौल सकारात्मक निश्चित गिरी एक अनूठा reproducing गिरी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए जुड़ा हुआ है। (ध्यान दें कि आरकेएचएस अद्वितीय है, मैपिंग स्वयं नहीं है।)

इसलिए, आपके प्रश्न का उत्तर गाऊसी कर्नेल (या RFF) के अनुरूप अनंत-आयामी RKHS प्रदर्शित करके किया जा सकता है। आप इसमें " गॉसियन आरबीएफ गुठली के प्रजनन कर्नेल हिल्बर्ट रिक्त स्थान का स्पष्ट विवरण , स्टाइनवर्ट एट अल" का गहन अध्ययन कर सकते हैं ।

Answer 2

मान लें कि गाऊसी आरबीएफ कर्नेल को डोमेन एक्स × एक्स पर परिभाषित किया गया है जहां एक्स में अनंत संख्या में वैक्टर हैं। एक साबित कर सकते हैं ( गाऊसी गुठली, क्यों वे पूर्ण रैंक कर रहे हैं? ) अलग वैक्टर के किसी सेट के लिए कि x 1 , । । । , एक्स m ∈ एक्स मैट्रिक्स ( कश्मीर ( एक्स मैं , एक्स जे ) ) मीटर × मीटर विलक्षण है, जो साधन नहीं है कि वैक्टर Φ$k(x, y)$$X \times X$$X$$x_1, ..., x_m \in X$$(k(x_i, x_j))_{m \times m}$ रैखिक स्वतंत्र हैं। इस प्रकार,कर्नेल k के लिएएक फ़ीचर स्पेस H में परिमित संख्याएँ नहीं हो सकती हैं।$\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$$H$$k$

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$\Phi$