मोंटी हॉल समस्या - हमारी अंतर्ज्ञान हमें कहाँ असफल करती है?

Question

विकिपीडिया से:

मान लीजिए कि आप गेम शो में हैं, और आपको तीन दरवाजों का विकल्प दिया गया है: एक दरवाजे के पीछे एक कार है; दूसरों के पीछे, बकरियाँ। आप एक दरवाजा चुनते हैं, नंबर 1 कहते हैं, और मेजबान, जो जानता है कि दरवाजे के पीछे क्या है, एक और दरवाजा खोलता है, नंबर 3 कहते हैं, जिसमें एक बकरी है। वह फिर आपसे कहता है, "क्या आप दरवाजा नंबर 2 चुनना चाहते हैं?" क्या यह आपकी पसंद को बदलने के लिए आपके लाभ के लिए है?

जवाब है, हां, लेकिन - यह अविश्वसनीय रूप से संयुक्त राष्ट्र के लिए है। ज्यादातर लोगों में किस गलतफहमी की संभावना होती है जो हमें अपने सिर को खरोंचने की ओर ले जाती है - या बेहतर तरीके से; भविष्य में अपने अंतर्ज्ञान को बेहतर ढंग से प्रशिक्षित करने के लिए हम इस पहेली से क्या सामान्य नियम निकाल सकते हैं?

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नहीं, यह सच नहीं है कि the answer is, of course, yes ( en.wikipedia.org/wiki/… देखें ), क्योंकि समस्या अंडरस्क्राइब है और अलग-अलग व्याख्याएं हड़ताली अलग-अलग परिणाम दे सकती हैं। हालांकि, यकीनन सबसे आसान समाधान के लिए इसका जवाब हां में है।

— पायोत्र मिग्डल

मैंने एक साल पहले ही जवाब दे दिया था। लेकिन जैसा कि मैंने अंतिम प्रश्न फिर से बताया, मुझे आश्चर्य है: क्या हम वास्तव में 'अपने अंतर्ज्ञान को प्रशिक्षित करना चाहते हैं '? क्या यह अर्थसार्थक भी है?

— हेन्क लैंगवेल्ड

मैंने आज हाई स्कूल कक्षाओं की एक श्रृंखला के साथ यह खेल खेला। जब भी मैंने किसी विकल्प के सही या गलत होने के संबंध में उत्तर को समझाने की कोशिश की, तो बच्चों ने बार-बार आपत्ति जताई कि खिलाड़ी को पता नहीं है कि उसकी पसंद सही है या गलत। ऐसा लगता है कि कुछ लोगों के लिए उस अंतर्दृष्टि से दूर दिखना बहुत मुश्किल है।

— चैम

Answer 1

समस्या के दो सरल रूपों पर विचार करें:

1. प्रतियोगी के लिए कोई द्वार नहीं खोला गया है। मेजबान एक दरवाजा चुनने में कोई मदद नहीं करता है। इस मामले में यह स्पष्ट है कि सही दरवाजे को चुनने की संभावना 1/3 है।
2. इससे पहले कि प्रतियोगी एक अनुमान लगाने के लिए कहे, मेजबान एक दरवाजा खोलता है और एक बकरी को प्रकट करता है। मेजबान द्वारा एक बकरी का खुलासा करने के बाद, प्रतियोगी को शेष दो दरवाजों से कार चुननी होगी। इस मामले में यह स्पष्ट है कि सही दरवाजे को चुनने की संभावना 1/2 है।

एक प्रतियोगी को अपने दरवाजे की पसंद के सही होने की संभावना जानने के लिए, उसे यह जानना होगा कि उसके लिए कितने सकारात्मक परिणाम उपलब्ध हैं और संभावित परिणामों की मात्रा से उस संख्या को विभाजित करें। ऊपर उल्लिखित दो सरल मामलों के कारण, सभी संभावित परिणामों के बारे में सोचना बहुत ही स्वाभाविक है, जो कि चुनने के लिए दरवाजों की संख्या के रूप में उपलब्ध हैं, और कार को छिपाने वाले दरवाजों की संख्या के रूप में सकारात्मक परिणामों की मात्रा। इस सहज धारणा को देखते हुए भले ही मेजबान एक बकरी प्रकट करने के लिए एक दरवाजा खुलता है के बाद प्रतियोगी एक अनुमान है, या तो दरवाजा एक कार युक्त की संभावना 1/2 बनी हुई है।

वास्तव में, संभाव्यता तीन दरवाजों से बड़े संभावित परिणामों के एक सेट को पहचानती है और यह सकारात्मक परिणामों के एक सेट को पहचानता है जो कार के साथ एकवचन दरवाजे से बड़ा है। समस्या के सही विश्लेषण में, मेजबान प्रतियोगी को नई जानकारी प्रदान करता है जिससे एक नया प्रश्न सामने आता है: संभावना क्या है कि मेरा मूल अनुमान ऐसा है कि मेजबान द्वारा प्रदान की गई नई जानकारी सही की सूचना देने के लिए पर्याप्त है दरवाजा? इस प्रश्न के उत्तर में, सकारात्मक परिणामों का सेट और संभावित परिणामों का सेट मूर्त दरवाजे और कार नहीं हैं, बल्कि बकरियों और कार की सार व्यवस्था हैं। तीन संभावित परिणाम दो बकरियों की तीन संभावित व्यवस्था और तीन दरवाजों के पीछे एक कार है। दो सकारात्मक परिणाम दो संभावित व्यवस्थाएं हैं जहां प्रतियोगी का पहला अनुमान गलत है। इन दो व्यवस्थाओं में, मेजबान द्वारा दी गई जानकारी (शेष दो दरवाजों में से एक खाली है) प्रतियोगी के लिए कार को छिपाने वाले दरवाजे का निर्धारण करने के लिए पर्याप्त है।

संक्षेप में:

हमारे पास अपनी पसंद (दरवाजे और कार) की भौतिक अभिव्यक्तियों और संभावित परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों के वांछित परिणामों के बीच एक सरल मानचित्रण देखने की प्रवृत्ति है। यह उन मामलों में ठीक काम करता है जहां प्रतियोगी को कोई नई जानकारी प्रदान नहीं की जाती है। हालाँकि, यदि प्रतियोगी को अधिक जानकारी प्रदान की जाती है (यानी आपके द्वारा चुने गए दरवाजों में से एक निश्चित रूप से कार नहीं है), तो यह मैपिंग टूट जाती है और पूछे जाने वाले सही प्रश्न अधिक सार होते हैं।

Answer 2

मुझे लगता है कि लोग समाधान को अधिक सहज पाते हैं यदि आप इसे 100 दरवाजों में बदलते हैं, तो पहले, दूसरे, 98 दरवाजों के करीब। इसी तरह 50 दरवाजों के लिए, आदि।

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डिट्टो। मैंने इसे आमतौर पर 52 कार्ड के संदर्भ में रखा है, और लक्ष्य हुकुम का इक्का ढूंढना है।

— shabbychef

बेहतर है कि आप 100 दरवाजे कहें, मैं 67 का दरवाजा चुनता हूं, फिर वह सभी दरवाजे खोल देता है लेकिन 39 और 67। अब क्या मैं अपना जवाब बदलूंगा? हाँ।

— Maddenker

नंबरफाइल का यह वीडियो अंतर्ज्ञान को व्यक्त करने के लिए 100 दरवाजों का भी उपयोग करता है: youtube.com/watch?v=4Lb-6rxZxx0

— फ्रेंक डर्नोनकोर्ट

Answer 3

मूल प्रश्न का उत्तर देने के लिए : कथा के कारण हमारा अंतर्ज्ञान विफल हो जाता है। कहानी को उसी क्रम में टीवी स्क्रिप्ट के रूप में संबंधित करके, हम भ्रमित हो जाते हैं। यह बहुत आसान हो जाता है अगर हम सोचते हैं कि पहले से क्या होने वाला है। क्विज़-मास्टर एक बकरी को प्रकट करेगा, इसलिए हमारा सबसे अच्छा मौका है कि एक बकरी के साथ एक दरवाजा चुनें और फिर स्विच करें। स्टोरीलाइन में हमारी कार्रवाई से होने वाले नुकसान पर बहुत जोर दिया गया है, जिसमें से तीन में से एक मौका हम कार का चयन करने के लिए करते हैं।

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मूल उत्तर:

हमारा उद्देश्य दोनों बकरियों को खत्म करना है । ऐसा हम खुद एक बकरी को चिन्हित करके करते हैं। क्विजमास्टर को कार या अन्य बकरी को प्रकट करने के लिए चुनने के लिए मजबूर किया जाता है। कार का खुलासा करना सवाल से बाहर है, इसलिए क्विजमास्टर उस एक बकरे को प्रकट करेगा और खत्म कर देगा जिसके बारे में हम नहीं जानते थे। हम फिर शेष दरवाजे पर जाते हैं, जिससे हम अपनी पहली पसंद के साथ चिह्नित बकरी को समाप्त करते हैं, और कार प्राप्त करते हैं।

यह रणनीति केवल तभी विफल होती है जब हम एक बकरी को चिह्नित नहीं करते हैं, लेकिन इसके बजाय कार। लेकिन यह संभावना नहीं है: दो बकरियां हैं और केवल एक कार है।

इसलिए हमारे पास कार जीतने के लिए 2 से 3 का मौका है।

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अच्छी व्याख्या। लोगों की संज्ञानात्मक विफलताओं की व्याख्या नहीं करता है, लेकिन वैसे भी +1।

— पॉल

मेरा मानना ​​है कि एक समस्या / चुनौती के उन निरूपणों को पसंद करने के लिए मनुष्यों को कठोर बनाया जाता है जो इसके कालक्रम से मेल खाते हैं। मॉन्टी हॉल की समस्या को हमेशा एक कहानी के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, कालानुक्रमिक क्रम में। यह चुनौती को वापस करने की हमारी क्षमता को बाधित करता है।

— हेनक लैंगवेल्ड

हमारे अंतर्ज्ञान के साथ समस्या यह है कि यह एक बकरी का खुलासा करने वाले क्विजमास्टर पर आधारित निर्णय के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। लेकिन हम जानते हैं कि हम पहले से एक बकरी देखेंगे, इसलिए हमें पहले से तय करने की आवश्यकता है।

— हेनक लैंगवेल्ड

यह जवाब मेरे लिए मददगार था। एक बकरी की संभावना शुरू में 2/3 है। अगर हम एक बकरी चुनते हैं और स्विच करते हैं तो हमें एक जीत का आश्वासन दिया जाता है। उस पसंद के अंतर अभी भी 2/3 हैं।

— daniel

Answer 4

जवाब नहीं है, "हां! हां!" सही उत्तर है, "मुझे नहीं पता, क्या आप अधिक विशिष्ट हो सकते हैं?"

केवल यही कारण है कि आपको लगता है कि यह सही है, ऐसा इसलिए है क्योंकि मार्लिन वोस सावंत ने ऐसा कहा। 9 सितंबर, 1990 को परेड पत्रिका में उनके प्रश्न का मूल उत्तर (हालाँकि यह प्रश्न व्यापक रूप से उनके सामने था) । उसने लिखा कि इस सवाल का "सही" उत्तर दरवाजों को स्विच करने के लिए था, क्योंकि स्विचिंग दरवाजे ने आपको कार जीतने की अधिक संभावना दी (1/3 के बजाय 2/3)। उन्हें गणित पीएचडी और अन्य बुद्धिमान लोगों से बहुत सारी प्रतिक्रियाएं मिलीं, उन्होंने कहा कि वह गलत थी (हालांकि उनमें से कई गलत भी थे)।

मान लीजिए कि आप गेम शो में हैं, और आपको तीन दरवाजों का विकल्प दिया गया है। एक दरवाजे के पीछे एक कार है, दूसरों के पीछे, बकरियां। आप एक दरवाजा चुनते हैं, # 1 कहते हैं, और मेजबान, जो जानता है कि दरवाजों के पीछे क्या है, एक और दरवाजा खोलता है, # 3 कहते हैं , जिसमें एक बकरी है। वह आपसे कहता है, "क्या आप दरवाजा # 2 चुनना चाहते हैं?" दरवाजे के लिए अपनी पसंद स्विच करने के लिए अपने लाभ के लिए है? - क्रेग एफ। व्हिटकेर कोलंबिया, मैरीलैंड

मैंने इस तर्क प्रश्न के महत्वपूर्ण हिस्से को बोल्ड किया है। उस कथन में अस्पष्ट क्या है:

क्या मोंटी हॉल हमेशा एक दरवाजा खोलता है? (दरवाजे को स्विच करने के लिए आपके लाभ के लिए क्या होगा यदि वह केवल एक हारने वाला दरवाजा खोलता है जब आपने एक विजेता दरवाजा उठाया था? उत्तर : नहीं)

क्या मोंटी हॉल हमेशा एक हारता हुआ दरवाजा खोलता है? (प्रश्न यह निर्दिष्ट करता है कि वह जानता है कि कार कहाँ है, और इस विशेष समय में उसने एक के पीछे एक बकरी दिखाई। अगर वह बेतरतीब ढंग से एक दरवाजा खोले तो आपका क्या होगा? यानी मोंटी फॉल सवाल या क्या होगा यदि वह कभी-कभी जीतने वाले दरवाजे दिखाने का विकल्प चुनता है? ।)

क्या मोंटी हॉल हमेशा एक दरवाजा खोलते हैं जिसे आपने नहीं चुना है?

इस तर्क पहेली की मूल बातें एक से अधिक बार दोहराई गई हैं, और कई बार उन्हें 2/3 के "सही" उत्तर देने के लिए पर्याप्त रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जाता है।

एक दुकानदार का कहना है कि उसके पास आपको दिखाने के लिए दो नए बेबी बीगल हैं, लेकिन वह नहीं जानती कि वे पुरुष, महिला या एक जोड़ी हैं। आप उसे बताएं कि आप केवल एक पुरुष चाहते हैं, और वह उस साथी को टेलीफोन करती है जो उन्हें नहला रहा है। "कम से कम एक पुरुष है?" वह उससे पूछती है। "हाँ!" वह आपको एक मुस्कान के साथ सूचित करता है। क्या संभावना है कि अन्य एक पुरुष है? - स्टीफन आई। गेलर, पासाडेना, कैलिफोर्निया

क्या साथी ने "हां" का जवाब देने से पहले दोनों कुत्तों को देखा या क्या उन्होंने एक यादृच्छिक कुत्ते को उठाया और पता चला कि यह एक नर था और फिर "हां।"

कहें कि एक महिला और एक पुरुष (जो असंबंधित हैं) प्रत्येक के दो बच्चे हैं। हम जानते हैं कि महिला के बच्चों में से कम से कम एक लड़का है और उस आदमी का सबसे पुराना बच्चा एक लड़का है। क्या आप बता सकते हैं कि महिला के दो लड़के होने की संभावना क्यों नहीं है? मेरे बीजगणित शिक्षक जोर देते हैं कि संभावना अधिक है कि आदमी के दो लड़के हैं, लेकिन मुझे लगता है कि संभावनाएं समान हो सकती हैं। तुम क्या सोचते हो?

हमें कैसे पता चलेगा कि महिलाओं का कम से कम एक लड़का है? क्या हमने एक दिन बाड़ को देखा, और उनमें से एक को देखा? ( उत्तर: 50%, मनुष्य के समान )

इस सवाल ने हमारे जेफ एटवुड को भी उलझा दिया है । उन्होंने इस सवाल का जवाब दिया :

मान लीजिए, काल्पनिक रूप से, आप किसी ऐसे व्यक्ति से मिले, जिसने आपको बताया था कि उनके दो बच्चे हैं, और उनमें से एक लड़की है। वे कौन सी बाधाएँ हैं जिनसे व्यक्ति को लड़का और लड़की होती है।

जेफ का तर्क है कि यह एक सरल प्रश्न था, सरल भाषा में पूछा गया था और कुछ की आपत्तियों को अलग करते हुए कहते हैं कि यदि आप 2/3 का उत्तर चाहते हैं तो प्रश्न गलत है।

हालांकि इससे भी महत्वपूर्ण यह है कि महिला ने सूचना को स्वेच्छा से क्यों दिया। अगर वह सामान्य लोगों की तरह बोल रही थी , जब कोई कहता है कि "उनमें से एक लड़की है," अनिवार्य रूप से दूसरा लड़का है। अगर हम यह मान लें कि यह एक तर्क प्रश्न है, तो हमें ट्रिप करने के इरादे से, हमें यह पूछना चाहिए कि प्रश्न अधिक स्पष्ट रूप से परिभाषित है। क्या महिला ने अपने बच्चों में से एक का लिंग बेतरतीब ढंग से चुना है, या वह अपने दो बच्चों के सेट के बारे में बात कर रही है।

यह स्पष्ट है कि प्रश्न खराब शब्द है, लेकिन लोगों को इसका एहसास नहीं है। जब इसी तरह के प्रश्न पूछे जाते हैं, जहां स्विच करने के लिए ऑड्स बहुत अधिक होते हैं, तो लोग यह महसूस करते हैं कि यह एक ट्रिक होनी चाहिए (और होस्ट के मकसद पर सवाल उठाना), या स्विचिंग का "सही" उत्तर प्राप्त करें जैसा कि एक सौ दरवाजों के सवाल में है । यह इस तथ्य से और अधिक समर्थित है कि जब डॉक्टरों को सकारात्मक परीक्षण करने के बाद एक विशेष बीमारी होने वाली महिला की संभावना के बारे में पूछा गया था (उन्हें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या वह बीमारी है, या यह एक झूठी सकारात्मक है), तो वे पहुंचने में बेहतर हैं सही उत्तर, इस सवाल पर निर्भर करता है कि सवाल कैसे किया जाता है। वहाँ एक अद्भुत टेड टॉक है कि आधे रास्ते में यह बहुत ही मामले को कवर करता है।

उन्होंने एक स्तन कैंसर परीक्षण से जुड़ी संभावनाओं का वर्णन किया: परीक्षण की गई 1% महिलाओं में बीमारी है, और 9% झूठी सकारात्मक दर के साथ परीक्षण 90 प्रतिशत सटीक है। उस सारी जानकारी के साथ, आप एक महिला को क्या बताते हैं जो इस बीमारी के होने की संभावना के बारे में सकारात्मक परीक्षण करती है?

यदि यह मदद करता है, तो यहां एक ही सवाल एक और तरीका है:

चालीस की उम्र में 10,000 महिलाओं में से 100 जो नियमित जांच में भाग लेती हैं, उन्हें स्तन कैंसर होता है। स्तन कैंसर से पीड़ित हर 100 में से 90 महिलाओं को एक सकारात्मक मैमोग्राफी मिलेगी। स्तन कैंसर के बिना 9,900 में से 891 महिलाओं को भी एक सकारात्मक मैमोग्राफी मिलेगी। यदि इस आयु वर्ग की 10,000 महिलाएं एक नियमित जांच से गुजरती हैं, तो सकारात्मक मैमोग्राफी वाली महिलाओं का प्रतिशत वास्तव में स्तन कैंसर कैसे होगा?

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(+1) यह एक सुगम उत्तर है, जो पढ़ने लायक है। यह स्पष्ट रूप से बताता है कि लोग अलग-अलग उत्तरों की रक्षा कैसे और क्यों कर सकते हैं। धन्यवाद!

— whuber

मैं आमतौर पर सभी "सीमा स्थितियों" को स्पष्ट करने का प्रयास करता हूं (जैसे कि मोंटी हमेशा दो दरवाजों से एक बकरी का दरवाजा खोलने जा रहा है जिसे चुना नहीं गया था, अगर दोनों के पास एक बकरी है, तो वह दोनों के बीच यादृच्छिक रूप से समान संभावना के साथ चुन लेगा, ।। ।) लेकिन लोग अभी भी पहेली पर यात्रा करते हैं। इसलिए मुझे लगता है कि हां, फॉर्मूलेशन में बहुत सटीक और सटीक होना बहुत महत्वपूर्ण है, लेकिन फिर भी हम में से अधिकांश शोर के रूप में बहुत बढ़िया प्रिंट विवरणों को दूर करेंगे , जैसे कि एक वेबसाइट में कुकीज़ के साथ ठीक प्रिंट के साथ क्या होता है या एक DSL सेवा की सदस्यता लें। हालांकि बहुत दिलचस्प विचार।

— पोलेटिक्स

Answer 5

मैं संशोधित करता हूं कि ग्राहम कुकसन ने क्या कहा। मुझे लगता है कि वास्तव में महत्वपूर्ण बात यह है कि लोगों की अनदेखी उनकी पहली पसंद नहीं है, लेकिन मेजबान की पसंद, और यह धारणा कि मेजबान ने कार को प्रकट नहीं करना सुनिश्चित किया है ।

वास्तव में, जब मैं एक कक्षा में इस समस्या पर चर्चा करता हूं, तो मैं इसे आपकी धारणाओं पर स्पष्ट होने के लिए एक केस स्टडी के रूप में प्रस्तुत करता हूं। यदि मेजबान केवल एक बकरी प्रकट करना सुनिश्चित कर रहा है तो स्विच करना आपके लाभ के लिए है । दूसरी ओर, यदि मेजबान ने दरवाजे 2 और 3 के बीच बेतरतीब ढंग से उठाया, और एक बकरी को प्रकट करने के लिए हुआ, तो स्विच करने का कोई फायदा नहीं है।

(निश्चित रूप से, व्यावहारिक उत्थान यह है कि यदि आप मेजबान की रणनीति को नहीं जानते हैं, तो आपको वैसे भी स्विच करना चाहिए।)

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मुझे यह स्वीकार करना होगा कि यहां तक ​​कि एक आश्वस्त बायेसियन होने के नाते, इस विषय के कई उपचारों (लोकप्रिय विज्ञान वाले, विशेष रूप से Mlodinow's, और पाठ्य पुस्तकों) को पढ़ने के साथ-साथ अंतर्निहित आँकड़ों को समझने के बाद, इस परिणाम ने मुझे आश्चर्यचकित किया। अब, यह देखना आसान है कि यह वास्तव में सच है - दोनों सभी संभावित परिदृश्यों को व्यवस्थित रूप से लागू करके या अनुकरण करके (मैंने दोनों किया)। लेकिन फिर भी आश्चर्य की बात है।

— कोनराड रुडोल्फ

Answer 6

यह एक सामान्य नियम नहीं देता है, लेकिन मुझे लगता है कि एक कारण यह चुनौतीपूर्ण पहेली है कि हमारा अंतर्ज्ञान सशर्त संभाव्यता को बहुत अच्छी तरह से संभाल नहीं पाता है। बहुत सारी अन्य संभावनाएं हैं जो एक ही घटना पर खेलती हैं । चूंकि मैं अपने ब्लॉग से लिंक कर रहा हूँ, यहाँ विशेष रूप से मोंटी हॉल पर एक पोस्ट है ।

Answer 7

मैं मानता हूं कि छात्रों को यह समस्या बहुत कठिन लगती है। मुझे जो विशिष्ट प्रतिक्रिया मिलती है, वह यह है कि जब आपको एक बकरी दिखाई गई है, तो कार पाने का 50:50 मौका है तो यह क्यों मायने रखता है? छात्र अपनी पहली पसंद को उस निर्णय से तलाक देते हैं जो अब उन्हें बनाने के लिए कहा जा रहा है यानी वे इन दोनों कार्यों को स्वतंत्र मानते हैं। फिर मैं उन्हें याद दिलाता हूं कि वे दो बार शुरू में गलत दरवाजा चुनने की संभावना रखते थे इसलिए वे स्विचिंग से बेहतर हैं।

हाल के वर्षों में मैंने वास्तव में ग्लास में गेम खेलना शुरू कर दिया है और यह छात्रों को समस्या को बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है। मैं तीन कार्डबोर्ड टॉयलेट रोल "मिडल" का उपयोग करता हूं और उनमें से दो पेपर क्लिप हैं और तीसरे में £ 5 का नोट है।

Answer 8

मेरा मानना ​​है कि यह तर्क के साथ कठिनाई का एक प्रश्न है, संभावना के साथ एक कठिनाई है जो मोंटी हॉल समाधान को आश्चर्यजनक बनाती है। समस्या के निम्नलिखित विवरण पर विचार करें।

आप टीवी शो में जाने से पहले घर पर निर्णय लेते हैं, अगर आप दरवाजे पर स्विच करने जा रहे हैं या अपनी पहली पसंद के साथ रहना चाहते हैं, जो भी शो के दौरान होता है। यही है, आप गेम खेलने से पहले रणनीतियों "रहना" या "स्विच" के बीच चयन करते हैं। रणनीति के इस विकल्प में कोई अनिश्चितता शामिल नहीं है। अभी तक संभावनाएं शुरू करने की कोई जरूरत नहीं है।

आइए दो रणनीतियों के बीच अंतर को समझते हैं। फिर, हम संभावनाओं के बारे में बात नहीं करेंगे।

रणनीति "रहो" के तहत, आप जीतते हैं अगर और केवल अगर आपकी पहली पसंद "अच्छा" दरवाजा है। दूसरी ओर, रणनीति "स्विच" के तहत, आप जीतते हैं अगर और केवल अगर आपकी पहली पसंद एक "बुरा" दरवाजा है। कृपया, एक मिनट के लिए इन दो मामलों पर ध्यान से सोचें, विशेष रूप से दूसरा। दोबारा, ध्यान दें कि हमने अभी तक संभावनाओं के बारे में बात नहीं की है। यह सिर्फ तर्क की बात है।

अब बात करते हैं संभावनाओं की। यह मानते हुए कि आपने शुरू में प्रायिकता को प्रत्येक दरवाजे के पीछे पुरस्कार के लिए दिया था, यह स्पष्ट है कि रणनीति के तहत "रहना" आपकी जीतने की संभावना (यह "अच्छा" दरवाजा चुनने की संभावना है)। लेकिन, रणनीति "स्विच" के तहत आपके जीतने की संभावना (यह "खराब" दरवाजा चुनने की संभावना है)। और यही कारण है कि रणनीति "स्विच" बेहतर है।$1/3$$1/3$$2/3$

PS 1990 में, प्रो। लैरी डेनबर्ग ने टीवी शो के होस्ट मोंटी हॉल को एक पत्र भेजा, जिसमें उन्होंने एक पुस्तक का उपयोग करने की अनुमति दी, जो कि तीन प्रसिद्ध दरवाजों की समस्या के विवरण में है।

यहाँ मोंटी के उस पत्र के उत्तर की एक छवि है, जहाँ हम पढ़ सकते हैं:

"जैसा कि मैं देख रहा हूं, खिलाड़ी द्वारा डोर ए का चयन किए जाने के बाद इससे कोई फर्क नहीं पड़ेगा, और डोर सी दिखाया गया है - तो उसे डोर बी में स्विच करने का प्रयास क्यों करना चाहिए?"

इसलिए, हम सुरक्षित रूप से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मोंटी हॉल (स्वयं व्यक्ति) ने मोंटी हॉल की समस्या को नहीं समझा!

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मुझे यह एक उपयोगी अभ्यास लगता है। एक तर्क के रूप में, हालांकि, यह असंबद्ध है क्योंकि यह एक अस्थिर धारणा पर निर्भर करता है: अर्थात्, श्री हॉल भी स्विच करने का अवसर प्रदान करेगा और यदि वह करता है, तो उसकी पसंद आपकी स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, यदि मिस्टर हॉल को पता चला कि आप स्विच करना चाहते हैं (और वह अपने नुकसान को कम करना चाहता है), तो वह केवल एक दरवाजा खोलने का चुनाव कर सकता है, अगर स्विच करने से आपको नुकसान होगा! इस मामले में, आपके खोने की संभावना 100% हो जाती है।

— whuber

समस्या पर एक दिलचस्प संस्करण। मुझे आश्चर्य नहीं है कि मोंटी हॉल को भी मूर्ख बनाया जाएगा। इसके अलावा, मैं यह नहीं जानता कि समस्या कहां से उत्पन्न हुई है। मर्लिन वोस सावंत को यह किसी और से मिला। हालाँकि, "द डील ऑफ़ द डे" कहा जाने वाला तीन दरवाजे थे, मोंटे ने यह नहीं दिखाया कि पर्दे के पीछे क्या है और फिर उन्हें स्विच करने की अनुमति दें।

— माइकल चेरिक

इस तरह के सट्टेबाजी के खेल जहां खिलाड़ियों ने अन्य अज्ञात पुरस्कारों के लिए पुरस्कार दिए, वे पूरे खेल में चले गए, अंत में नाटकीय प्रभाव के लिए वे एक पर्दा दिखाते थे जो आपका नहीं था और बड़ा सौदा नहीं था लेकिन स्विचिंग की पेशकश कभी नहीं की गई थी।

— माइकल चेरिक

क्या आप सुनिश्चित हैं कि मूल टीवी शो से पता नहीं चला कि "खराब" दरवाजों में से एक माइकल के पीछे क्या था? यदि हां, तो मुझे मोंटी हॉल समस्या के रूप में तीन दरवाजों की समस्या को संदर्भित करने का कोई कारण नहीं दिखता है।

— ज़ेन

Answer 9

किसी को सशर्त संभावना या बेयस प्रमेय के बारे में जानने की जरूरत नहीं है कि यह आपके उत्तर को बदलने के लिए सबसे अच्छा है।

मान लीजिए कि आप शुरू में डोर 1 चुनते हैं। तब डोर 1 के विजेता होने की संभावना 1/3 है और दरवाजे 2 या 3 के विजेता होने की संभावना 2/3 है। यदि डोर 2 को मेजबान की पसंद से हारा हुआ दिखाया जाता है, तो संभावना है कि 2 या 3 एक विजेता अभी भी 2/3 है। लेकिन चूंकि डोर 2 हारने वाला है, इसलिए डोर 3 में विजेता होने की 2/3 संभावना होनी चाहिए।

Answer 10

पाठ? प्रश्न को सुधारें, और स्थिति को देखने के बजाय एक रणनीति खोजें। बात को उसके सिर पर घुमाएं, पीछे की ओर काम करें ...

लोग आम तौर पर मौका के साथ काम करने में बुरे होते हैं। पशु आमतौर पर बेहतर किराया देते हैं, एक बार जब उन्हें पता चलता है कि ए या बी औसत रूप से अधिक भुगतान करते हैं ; वे बेहतर औसत के साथ पसंद से चिपके रहते हैं। (कोई संदर्भ तैयार नहीं है - क्षमा करें।)

पहली बात यह है कि 80/20 वितरण को देखते हुए लोगों को ऐसा करने के लिए लुभाया जाता है, पे-आउट से मिलान करने के लिए अपने विकल्पों को फैलाना है: बेहतर विकल्प पर 80%, और दूसरे पर 20%। इसके परिणामस्वरूप 68% का भुगतान किया जाएगा।

फिर, लोगों के लिए इस तरह की रणनीति चुनने का एक वैध परिदृश्य है: यदि समय के साथ बदलाव होता है, तो जांच भेजने और सफलता की कम संभावना के साथ चुनाव करने का एक अच्छा कारण है।

गणितीय सांख्यिकी का एक महत्वपूर्ण हिस्सा वास्तव में निर्धारित करने के लिए कि क्या वे प्रक्रियाओं के व्यवहार का अध्ययन कर रहे हैं यादृच्छिक या नहीं।

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"पशु आमतौर पर बेहतर किराया देते हैं, एक बार जब उन्हें पता चलता है कि ए या बी औसत रूप से अधिक भुगतान करते हैं"। मुझे नहीं लगता कि मानव समान रूप से समान डेटा तक पहुंच को बदतर कर देगा। एक क्विज शो प्रतियोगी, हालांकि, एक बार खेल खेलता है , एन बार नहीं ।

— फ्रैंक

Answer 11

मुझे लगता है कि कई चीजें चल रही हैं।

एक के लिए, सेटअप का अर्थ है अधिक जानकारी तब समाधान को ध्यान में रखा जाता है। यह एक गेम शो है, और मेजबान हमसे पूछ रहा है कि क्या हम स्विच करना चाहते हैं।

यदि आप मानते हैं कि मेजबान नहीं चाहता है कि शो अतिरिक्त धन खर्च करे (जो उचित है), तो आप मानेंगे कि वह आपको बदलने की कोशिश करेगा यदि आपके पास सही दरवाजा था।

यह उस समस्या को देखने का एक सामान्य ज्ञान तरीका है जो लोगों को भ्रमित कर सकता है, हालांकि मुझे लगता है कि मुख्य मुद्दा यह नहीं समझ रहा है कि नई पसंद कैसे अलग है, पहले (जो 100 दरवाजा मामले में अधिक स्पष्ट है)।

Answer 12

मैं इस महान लेख को कमतर पर उद्धृत करूँगा:

संभावित परिकल्पनाएं कार इन डोर 1, कार इन डोर 2, और कार इन डोर 3 हैं; खेल शुरू होने से पहले, यह मानने का कोई कारण नहीं है कि तीन दरवाजों में से किसी में भी कार को शामिल करने की तुलना में अधिक संभावना है, और इसलिए इनमें से प्रत्येक परिकल्पना में 1/3 पूर्व संभावना है।

खेल हमारे दरवाजे के चयन के साथ शुरू होता है। वह खुद इस बात का सबूत नहीं है कि कार कहां है, निश्चित रूप से - हम मान रहे हैं कि हमें इसके बारे में कोई विशेष जानकारी नहीं है, इसके अलावा यह एक दरवाजे के पीछे है (यह गेम का पूरा बिंदु है!)। एक बार जब हमने ऐसा कर लिया है, तो हमारे पास कुछ "प्रायोगिक डेटा" हासिल करने के लिए "एक परीक्षण चलाने" का अवसर होगा: मेजबान एक द्वार खोलने के अपने कार्य को करेगा जिसमें एक बकरी को शामिल करने की गारंटी है। हम परिणाम का प्रतिनिधित्व करेंगे त्रिभुज द्वारा होस्ट ओपनेंस डोर 1, एक वर्ग द्वारा परिणाम होस्ट ओपनिंग डोर 2, और परिणाम होस्ट ओपनिंग डोर 3 एक पंचकोण द्वारा - इस प्रकार हमारे परिकल्पना स्थान को और अधिक सूक्ष्मता से नक्काशी जैसे "कार में डोर 1 और होस्ट ओपन डोर 2 "," कार इन डोर 1 और होस्ट ओपन्स डोर 3 ", आदि:

इससे पहले कि हम अपने दरवाजे का प्रारंभिक चयन करें, मेजबान को भी बकरी के दरवाजे खोलने की संभावना है। इस प्रकार, खेल की शुरुआत में, फॉर्म "प्रत्येक कार की डोर एक्स और होस्ट ओपन्स डोर वाई" में संभावना है, जैसा कि दिखाया गया है, 1/6 की संभावना है। अब तक सब ठीक है; सब कुछ अभी भी पूरी तरह से सही है।

अब हम एक दरवाजे का चयन करते हैं; हम दरवाजा 2 चुनते हैं। मेजबान एक बकरी प्रकट करने के लिए या तो दरवाजा 1 या दरवाजा 3 खोलता है। मान लीजिए कि वह दरवाजा 1 खोलता है; हमारा आरेख अब इस तरह दिखता है:

लेकिन यह कार की डोर 2 और डोर 3 के पीछे होने की बराबर संभावनाएं दिखाता है!

क्या आपने गलती पकड़ी?

वहां आप जाते हैं, यही आपका अंतर्ज्ञान आपको विफल करता है।

पूर्ण लेख में सही समाधान देखें । उसमे समाविष्ट हैं :

• बेयस प्रमेय की व्याख्या
• मोंटी हॉल का गलत दृष्टिकोण
• मोंटी हॉल का सही तरीका
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Answer 13

मेरे अनुभव में, यह तथ्य है कि लोग स्वचालित रूप से गणित से शब्दों की छलांग नहीं लगाते हैं। आम तौर पर, जब मैं पहली बार इसे प्रस्तुत करता हूं, तो लोग इसे गलत समझ लेते हैं। हालाँकि, मैं तब 52 कार्डों का एक डेक निकालता हूँ और उन्हें एक चुनता हूँ। मैं तब पचास कार्ड प्रकट करता हूं और उनसे पूछता हूं कि क्या वे स्विच करना चाहते हैं। ज्यादातर लोगों को तो मिलता है। वे सहज रूप से जानते हैं कि शायद उन्हें गलत कार्ड मिला है जब उनमें से 52 हैं और जब वे देखते हैं कि उनमें से पचास पलट गए हैं, तो निर्णय बहुत सरल है। मुझे नहीं लगता कि यह गणित की समस्याओं में दिमाग को बंद करने की प्रवृत्ति के रूप में इतना विरोधाभास है।