क्या कॉची के अलावा कोई ऐसा वितरण है जिसके लिए नमूना का अंकगणित माध्य समान वितरण का अनुसरण करता है?

यदि फिर एक कॉची वितरण इस प्रकार $X$ भी बिल्कुल के रूप में एक ही वितरण इस प्रकार; इस धागे कोदेखें। $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

क्या इस संपत्ति का कोई नाम है?
क्या कोई अन्य वितरण है जिसके लिए यह सच है?

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इस प्रश्न को पूछने का दूसरा तरीका:

को प्रायिकता घनत्व साथ रैंडम वेरिएबल होने दें । $X$ $f(x)$

जाने , जहांके ith अवलोकन दर्शाता है। $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

को किसी भी विशिष्ट मूल्यों पर कंडीशनिंग के बिना, एक यादृच्छिक चर माना जा सकता है। $Y$ $X$

अगर एक कॉची वितरण इस प्रकार, की तो प्रायिकता घनत्व समारोह है $X$ $Y$ $f(x)$

क्या कोई अन्य प्रकार के (गैर तुच्छ *) संभाव्यता घनत्व कार्य हैं $f(x)$ जिसके परिणामस्वरूप $Y$ में की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है $f(x)$ ?

* एक मात्र तुच्छ उदाहरण मैं सोच सकता हूं कि यह एक डीरेल डेल्टा है। यानी रैंडम वैरिएबल नहीं।

— चेची लेवास
स्रोत

आपका शीर्षक थोड़ा समझ में आता है, क्योंकि "नमूना का अपेक्षित मूल्य" एक संख्या है। क्या आप नमूने के अंकगणित माध्य का मतलब है? सवाल यह भी अस्पष्ट है: "वितरण" से क्या आपका मतलब विशिष्ट वितरण है या आपका मतलब है - जैसा कि "कॉची" शब्द द्वारा सुझाया गया है - वितरण का परिवार ? यह कुछ मामूली सूक्ष्मता नहीं है: इसका मतलब पूरी तरह से बदल जाता है जो आपके मतलब के आधार पर होता है। कृपया इसे स्पष्ट करने के लिए अपनी पोस्ट को संपादित करें।

— whuber

@whuber, मैंने सवाल का दूसरा भाग जोड़ा है, जो संभावित व्याख्याओं की सीमा को कसता है।

— चेची लेवस

n

$n$

n .

$n.$

n

$n$

n

$n$

यह वास्तव में एक उत्तर नहीं है, लेकिन कम से कम एक स्थिर वितरण से इस तरह के उदाहरण को बनाना आसान नहीं लगता है। हमें एक आरवी का उत्पादन करने की आवश्यकता होगी जिसकी विशेषता फ़ंक्शन उसके औसत के समान है।

सामान्य तौर पर, एक iid ड्रा के लिए, औसत का cf होता है

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— क्रिस्टोफ हांक
स्रोत

तो क्या यह कहना उचित है कि आपके विश्लेषण के आधार पर, कॉची एक = 1 के लिए एकमात्र समाधान है?

— चेची लेवास

इन परिणामों से यही मेरी धारणा है, लेकिन मुझे पूरा यकीन है कि यहां के लोग स्थिर वितरण के बारे में अधिक जानकार हैं।

— क्रिस्टोफ़ हैनक

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$