सहसंबद्ध यादृच्छिक चर के अंतर पर सीमाएँ

दो अत्यधिक सहसंबद्ध यादृच्छिक चर और को देखते हुए , मैं इस संभावना को बांधना चाहूंगा कि अंतरकुछ राशि से अधिक: $X$ $Y$ $|X - Y|$

पी (| एक्स - Y | > क) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

सादगी के लिए मान लें कि:

सहसंबंध गुणांक "उच्च" के रूप में जाना जाता है, कहते हैं: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ शून्य माध्य हैं: $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (या यदि यह कोई आसान है) $0 \leq x_i, y_i \leq 1$
(यदि इससे चीजें आसान हो जाती हैं, तो लें कि का समान रूप है: ) $X,Y$ $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

यह सुनिश्चित नहीं है कि केवल उपरोक्त जानकारी दिए गए अंतर पर एक बाध्यता प्राप्त करना कितना संभव है (मैं निश्चित रूप से कहीं भी प्राप्त नहीं कर सकता)। एक विशिष्ट समाधान (यदि कोई हो), वितरण पर लगाने के लिए अतिरिक्त प्रतिबंध अनिवार्य है, या एक दृष्टिकोण पर सिर्फ सलाह महान होगी।

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
स्रोत

उन सरल मान्यताओं के बिना भी, सामान्य उपकरणों के एक जोड़े को जोड़कर एक बाउंड प्राप्त किया जा सकता है:

दो सहसंबद्ध चर के अंतर का विचरण । यह हमें दो चरों की समस्या को एक अविभाज्य समस्या में बदलने की अनुमति देता है।
चेबीशेव की असमानता । यह किसी दिए गए मूल्य से अधिक होने की संभावना पर एक बाध्यता रखता है।

कुछ विस्तार से:

σ_{एक्स - Y}^{2} = σ_{एक्स}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot सी ओ v (एक्स, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

सी ओ v (एक्स, Y) = σ_{एक्स} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{एक्स Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{एक्स - Y}^{2} = σ_{एक्स}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{एक्स} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{एक्स, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

चेबीशेव की असमानता के अनुसार, किसी भी यादृच्छिक चर : $Z$

पीआर (| जेड - μ | \geq क σ) \leq \frac{1}{क^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

तब और उस : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

पीआर (| एक्स - Y - μ_{एक्स} + μ_{Y} | \geq क \cdot \sqrt{σ_{एक्स}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{एक्स} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{एक्स, Y}}) \leq \frac{1}{क^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

हम सरल अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए प्रस्तावित सरलीकृत मान्यताओं का उपयोग कर सकते हैं। कब:

ρ_{एक्स, Y} = सी ओ v ए आर (एक्स, Y) / σ_{एक्स} σ_{Y} = 1 - ε

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{एक्स} = μ_{y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{एक्स}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

फिर:

σ_{एक्स}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{एक्स} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{एक्स, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ε)) = 2 σ^{2} ε

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

और इसीलिए:

पीआर (| एक्स - Y | \geq क \cdot σ \sqrt{2 ε}) \leq \frac{1}{क^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

दिलचस्प बात यह है कि यह परिणाम तब भी होता है जब छोटा नहीं होता है, और यदि सहसंबंध के लिए स्थिति से बदल जाती है, तो परिणाम नहीं बदलता है (क्योंकि यह पहले से ही एक असमानता है)। $\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— पेरे
स्रोत