सामान्य वितरण

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एक आँकड़े समस्या है, जिसका मुझे दुर्भाग्य से कोई पता नहीं है कि कहाँ से शुरू करना है (मैं अपने दम पर पढ़ रहा हूँ इसलिए कोई भी ऐसा नहीं है जिसे मैं पूछ सकता हूँ, अगर मुझे कुछ समझ में नहीं आता है।

प्रश्न है

$X,Y$ आईआईडी $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

self-study normal-distribution random-variable

— आंग
स्रोत

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जब से आप IID सामान्य डेटा के साथ काम कर रहे हैं, तो आपकी समस्या को सामान्य करने के लायक है कि आप उस मामले को देखें जहां आपके पास और आप चाहते हैं । (आपका प्रश्न उस मामले से मेल खाता है जहां ) जैसा कि अन्य उपयोगकर्ताओं ने बताया है, IID सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों का योग एक छोटा गैर-केंद्रीय ची-वर्ग यादृच्छिक यादृच्छिक है, और इसलिए ब्याज का भिन्नता प्राप्त की जा सकती है। उस वितरण के ज्ञान से। हालांकि, सामान्य वितरण के क्षणों के ज्ञान के साथ संयुक्त साधारण नियमों का उपयोग करके आवश्यक विचरण प्राप्त करना भी संभव है । मैं आपको नीचे दिए गए चरणों में यह दिखाने का तरीका बताऊंगा। $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$ $n=2$

सामान्य वितरण के क्षणों का उपयोग करके विचरण ढूंढना: चूंकि मान IID हैं (और इस वितरण से एक सामान्य मूल्य होने के लिए ले रहे हैं ) आपके पास: जहाँ हम कच्चे क्षणों को रूप में । इन कच्चे पलों को केंद्रीय क्षणों के संदर्भ में लिखा जा सकता है और माध्य का उपयोग कर $X_1, ..., X_n$ $X$
$\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}) & = \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}^{2}) \\ = n V (X^{2}) \\ = n (E (X^{4}) - E (X^{2})^{2}) \\ = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}), \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$ $\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$ मानक रूपांतरण सूत्र , और फिर हम सामान्य वितरण के केंद्रीय क्षणों को देख सकते हैं और उन्हें प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

आपके द्वारा प्राप्त किए जाने वाले क्षण रूपांतरण फ़ार्मुलों का उपयोग करके: वितरण हमारा मतलब है और उच्च-क्रम केंद्रीय क्षण , और । यह हमें कच्चे क्षण देता है:
$\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = μ_{2} + μ_{1}^{' 2}, \\ μ_{3}^{'} & = μ_{3} + 3 μ_{1}^{'} μ_{2} + μ_{1}^{' 3}, \\ μ_{4}^{'} & = μ_{4} + 4 μ_{1}^{'} μ_{3} + 6 μ_{1}^{' 2} μ_{2} + μ_{1}^{' 4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$ $\mu_1' = a$ $\mu_2 = b^2$ $\mu_3 = 0$ $\mu_4 = 3 b^4$ $\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = b^{2} + a^{2}, \\ μ_{3}^{'} & = 3 a b^{2} + a^{3}, \\ μ_{4}^{'} & = 3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ अब, ब्याज की भिन्नता को खोजने के लिए मूल अभिव्यक्ति में इन वापस प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।

पहली अभिव्यक्ति में वापस देते हुए: विशेष मामले के लिए जहाँ आपके पास । यह दिखाया जा सकता है कि यदि आप अपने परिणाम को गैर-केंद्रीय ची-चुकता वितरण से प्राप्त करने की वैकल्पिक विधि का उपयोग करते हैं, तो यह परिणाम आपको प्राप्त होने वाले समाधान के साथ जमा होता है।
$\begin{aligned} Q_{n} & = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}) \\ = n [(3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4}) - (b^{2} + a^{2})^{2}] \\ = n [(3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4}) - (b^{4} + 2 a^{2} b^{2} + a^{4})] \\ = n [2 b^{4} + 4 a^{2} b^{2}] \\ = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 a^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $n=2$ $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

गैर-केंद्रीय ची-चुकता वितरण के उपयोग के आधार पर वैकल्पिक कार्य: चूंकि हमारे पास है:इस वितरण के ज्ञात प्रसरण का उपयोग करते हुए हमारे पास: यह परिणाम उपरोक्त परिणाम के साथ मेल खाता है। $X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$
$\sum_{i = 1}^{n} (\frac{X_{i}}{b})^{2} \sim Non-central Chi-Sq (k = n, λ = \frac{n a^{2}}{b^{2}}) .$ $\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$ $\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}) & = b^{4} \cdot V (\sum_{i = 1}^{n} (\frac{X_{i}}{b})^{2}) \\ = b^{4} \cdot 2 (k + 2 λ) \\ = 2 b^{4} (n + 2 \frac{n a^{2}}{b^{2}}) \\ = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 a^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

— बेन - बहाल मोनिका
स्रोत

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स्पॉयलर टैग अनावश्यक और विचलित करने वाले हैं।

— एलेक्सिस

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तो और हैं स्वतंत्र यादृच्छिक चर, तो a यादृच्छिक चर है। $X$ $Y$ $\text{N} (a, b^2)$ $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ $\chi ^2(2)$

क्या आपको लगता है कि आप इसे वहां से ले जा सकते हैं?

— SOULed_Outt
स्रोत

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उत्तर गैर-केंद्रीय ची-चुकता वितरण में है ।

उदाहरण के लिए, यदि b = 1, आपके प्रश्न का उत्तर है: , जहां घटकों की संख्या ( और ) है। $2(k + 2(a^2))$ $k=2$ $X$ $Y$

— idnavid
स्रोत