"चूंकि निकट-गौसियन है, इसलिए इसकी PDF को ..." लिखा जा सकता है।

लघु प्रश्न: यह सच क्यों है ??

लंबा सवाल:

बहुत सरलता से, मैं यह जानने की कोशिश कर रहा हूं कि इस पहले समीकरण का क्या औचित्य है। पुस्तक का लेखक, जो मैं पढ़ रहा हूँ, ( यदि आप इसे चाहते हैं तो संदर्भ यहाँ है, लेकिन आवश्यक नहीं), निम्नलिखित का दावा करता है:

निकट-गौसंसिटी की धारणा के कारण, हम लिख सकते हैं:

$p_{0} (ξ) = A ϕ (ξ) e x p (a_{n + 1} ξ + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) ξ^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (ξ))$ $p_0(\xi) = A \; \phi(\xi) \; exp( a_{n+1}\xi + (a_{n+2} + \frac{1}{2})\xi^2 + \sum_{i=1}^{n} a_i G_i(\xi))$

जहां आपके द्वारा देखे गए डेटा का पीडीएफ है जिसमें अधिकतम एन्ट्रॉपी है, यह देखते हुए कि आपने केवल उम्मीदों की एक श्रृंखला (सरल संख्या) , जहाँ , और एक मानकीकृत गाऊसी चर का पीडीएफ है, अर्थात, 0 का मतलब है, और इकाई विचरण है। $p_0(\xi)$ $c_i, i = 1 ... n$ $c_i = \mathbb{E}\{G_i(\xi)\}$ $\phi(\xi)$

जहां यह सब चल रहा है कि वह PDF, सरल बनाने के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में उपरोक्त समीकरण का उपयोग करता है, और मुझे लगता है कि वह यह कैसे करता है, लेकिन मुझे नहीं मिलता कि वह कैसे उपरोक्त समीकरण को सही ठहराता है, अर्थात। प्रारंभिक बिंदु। $p_0(\xi)$

मैंने इसे संक्षिप्त रूप में रखने की कोशिश की है ताकि किसी को भी आपत्ति न हो, लेकिन यदि आप अतिरिक्त विवरण चाहते हैं तो कृपया मुझे टिप्पणियों में बताएं। धन्यवाद!

— स्पेसी
स्रोत

(नोट: मैंने आपका से बदल दिया है ।) $\xi$ $x$

एक यादृच्छिक चर के लिए घनत्व के साथ , अगर आप की कमी है के लिए , अधिकतम एन्ट्रापी घनत्व है जहां के से निर्धारित होते हैं s ', और एक सामान्य स्थिर है। $X$ $p$

\int G_{i} (x) p (x) d x = c_{i},

$\int G_i(x)\,p(x)\,dx=c_i \, ,$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

p_{0} (x) = A \exp (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(\sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

a_{i}

$a_i$

c_{i}

$c_i$

A

$A$

इस संदर्भ में, गाऊसी सन्निकटन ("निकट-गौसियनिटी") का अर्थ है दो बातें:

1) आप दो नई बाधाओं को स्वीकार करना स्वीकार करते हैं: का मतलब और विचरण (कहना); $X$ $0$ $1$

2) संबंधित (bellow देखें) अन्य की तुलना में बहुत बड़ा है । $a_{n+2}$ $a_i$

इन अतिरिक्त बाधाओं को उपज जिसे फिर से लिखा जा सकता है (घातांक में केवल "शून्य जोड़ें") तुम क्या करने के लिए अग्रणी चाहते हैं: टेलर का विस्तार करने के लिए तैयार (गाऊसी सन्निकटन की दूसरी स्थिति का उपयोग करके)।

G_{n + 1} (x) = x, c_{n + 1} = 0,

$G_{n+1}(x)=x \, , \qquad c_{n+1}=0 \, ,$

G_{n + 2} (x) = x^{2}, c_{n + 2} = 1,

$G_{n+2}(x)=x^2 \, , \qquad c_{n+2}=1 \, ,$

{पी}_{0} (एक्स) = ए \exp (ए_{n + 2} {एक्स}^{2} + ए_{n + 1} एक्स + Σ_{मैं = 1}^{n} ए_{मैं} {जी}_{मैं} (एक्स)),

$p_0(x)=A\exp\left(a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

{पी}_{0} (एक्स) = ए \exp (\frac{{एक्स}^{2}}{2} - \frac{{एक्स}^{2}}{2} + ए_{n + 2} {एक्स}^{2} + ए_{n + 1} एक्स + Σ_{मैं = 1}^{n} ए_{मैं} {जी}_{मैं} (एक्स)),

$p_0(x)=A\exp\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} + a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

{पी}_{0} (एक्स) = ए^{'} φ (एक्स) \exp (ए_{n + 1} एक्स + (ए_{n + 2} + \frac{1}{2}) {एक्स}^{2} + Σ_{मैं = 1}^{n} ए_{मैं} {जी}_{मैं} (एक्स));

$p_0(x)=A'\,\phi(x)\exp\left(a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ;$

एक भौतिक विज्ञानी की तरह सन्निकटन (जिसका अर्थ है कि हम त्रुटि अवधि के आदेश की परवाह नहीं करते हैं), का उपयोग करके , हमारे पास अनुमानित घनत्व समाप्त करने के लिए, हमें और के मूल्यों को निर्धारित करना होगा । यह शर्तों को लागू करने के लिए किया जाता है समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करने के लिए, जिसका समाधान देता है और ' s। $\exp(t)\approx 1+t$

{पी}_{0} (एक्स) \approx ए^{'} φ (एक्स) (1 + ए_{n + 1} एक्स + (ए_{n + 2} + \frac{1}{2}) {एक्स}^{2} + Σ_{मैं = 1}^{n} ए_{मैं} {जी}_{मैं} (एक्स)) ।

$p_0(x) \approx A'\,\phi(x)\left(1+a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, .$

A^{'}

$A'$

a_{i}

$a_i$

\int {पी}_{0} (एक्स) घ एक्स = 1, \int एक्स {पी}_{0} (एक्स) घ एक्स = 0, \int {एक्स}^{2} {पी}_{0} (एक्स) घ एक्स = 1

$\int p_0(x)\,dx=1 \, , \qquad \int x \,p_0(x)\,dx=0 \, , \qquad \int x^2 \,p_0(x)\,dx=1$

\int {जी}_{मैं} (एक्स) {पी}_{0} (एक्स) घ एक्स = {सी}_{मैं}, मैं = 1, ..., n,

$\int G_i(x)\, p_0(x)\,dx=c_i \, , \quad i=1,\dots,n \, ,$

A^{'}

$A'$

a_{i}

$a_i$

की अतिरिक्त शर्तों को लागू किए बिना , मैं नहीं मानता कि बंद रूप में एक सरल समाधान है। $G_i$

पीएस मोहम्मद ने एक बातचीत के दौरान स्पष्ट किया कि की अतिरिक्त orthogonality शर्तों के साथ हम सिस्टम को हल कर सकते हैं। $G_i$

— जेन
स्रोत

झेन, बहुत बहुत धन्यवाद। मैं (कुछ) अब समझ गया हूं। हालांकि मेरे लिए यह स्पष्ट नहीं है, जब आप कहते हैं "इस संदर्भ में, गाऊसी सन्निकटन (" निकट-गौसियनिटी ") का मतलब है कि आप दो नए अवरोधों को स्वीकार करना स्वीकार करते हैं: एक्स का मतलब 0 है और विचरण है (कहना ) 1. " , मुझे समझ में नहीं आता है, क्यों कुछ के लिए 'के पास होने के लिए गाऊसी', इसका मतलब है के लिए और । क्या होगा अगर यह सिर्फ एक और आरवी था जो उन समान मूल्यों के साथ हुआ?

μ = 0

$\mu=0$

σ^{2} = 1

$\sigma^2=1$

— स्पेसी

हाय मोहम्मद। मैंने उत्तर में अधिक जानकारी जोड़ी है। की पूर्व अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए आप केवल उसी चीज़ का उपयोग करते हैं जिसे मैंने गाऊसी सन्निकटन की पहली स्थिति कहा है। जब आप इस का टेलर विस्तार करते हैं तो आप दूसरी शर्त का उपयोग करेंगे । आशा है कि ये आपकी मदद करेगा।

p_{0} (x)

$p_0(x)$

p_{0} (x)

$p_0(x)$

— ज़ेन

क्या आप शेष संगणना करने के बाद लिए अंतिम अभिव्यक्ति के रूप में एक टिप्पणी पोस्ट करना चाहेंगे ? धन्यवाद।

p_{0} (x)

$p_0(x)$

— ज़ेन

हाँ, वह कह रहा है कि अंतिम अभिव्यक्ति है:

p_{0} (z) \approx ϕ (z) (1 + \sum_{i = 1}^{N} c_{i} F_{i} (z))

$p_0(z) \approx \phi(z) (1 + \sum_{i=1}^{N} c_i F_i(z))$

— Spacey

मुझे लगता है कि आखिरी समीकरण में एक टाइपो है? ... दो बार हो रहा है? ...

a_{n + 1} x

$a_{n+1}x$

— Spacey