गामा वितरण से आंकड़ों की स्वतंत्रता

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चलो गामा वितरण से नमूने के तौर पर हो सकता है । $X_1,...,X_n$ $\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Let और क्रमशः नमूना माध्य और नमूना विचरण करते हैं। $\bar{X}$ $S^2$

फिर उस और को स्वतंत्र या सिद्ध करें । $\bar{X}$ $S^2/\bar{X}^2$

मेरा प्रयास: चूंकि , हमें और , की स्वतंत्रता की जांच करने की आवश्यकता है लेकिन मुझे उनके बीच स्वतंत्रता कैसे स्थापित करनी चाहिए? $S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$ $\bar{X}$ $\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

— bellcircle
स्रोत

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योग के संयुक्त लाप्लास परिवर्तन पर विचार करें

U := \sum_{i} X_{i}

$U:= \sum_i X_i$ और वेक्टर

W

$\mathbf{W}$ के अनुपात में

W_{i} := X_{i} / U

$W_i := X_i / U$ । ये है

E {\exp [- t U - z^{⊤} W]}

$\text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}]\}$ ; आप यह दिखा सकते हैं कि यह एक फ़ंक्शन का उत्पाद है

t

$t$ और का एक समारोह

z

$\mathbf{z}$ ।

— यवेस

@ क्या आप नीचे पोस्ट किए गए मेरे उत्तर की जांच कर सकते हैं?

— घंटाघर

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अभिन्न के लिए एक प्यारा, सरल, सहज ज्ञान युक्त प्रदर्शन है $\alpha.$ यह केवल समान वितरण, गामा वितरण, पॉसन प्रक्रियाओं और यादृच्छिक चर के जाने-पहचाने गुणों पर निर्भर करता है:

से प्रत्येक $X_i$ जब तक प्रतीक्षा समय है $\alpha$ एक पॉइसन प्रक्रिया के बिंदु होते हैं।
योग $Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ इसलिए इंतजार का समय है $n\alpha$ उस प्रक्रिया के बिंदु घटित होते हैं। चलो इन बिंदुओं को कहते हैं $Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$
सशर्त $Y$ , सबसे पहला $n\alpha-1$ अंक स्वतंत्र रूप से समान रूप से बीच वितरित किए जाते हैं $0$ तथा $Y.$
इसलिए अनुपात $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$ के बीच स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित किए जाते हैं $0$ तथा $1.$ विशेष रूप से, उनके वितरण निर्भर नहीं करते हैं $Y.$
नतीजतन, किसी भी (औसत दर्जे का) का कार्य $Z_i/Y$ से स्वतंत्र है $Y.$
इस तरह के कार्यों के बीच हैं
$\begin{aligned} X_{1} / Y & = Z_{[α]} / Y \\ X_{2} / Y & = Z_{[2 α]} / Y - Z_{[α]} / Y \\ \dots \\ X_{n - 1} / Y & = Z_{[(n - 1) α]} / Y - Z_{[(n - 2) α]} / Y \\ X_{n} / Y & = 1 - Z_{[(n - 1) α]} / Y \end{aligned}$ $\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$ (जहां कोष्ठक $[]$ के आदेश आँकड़ों को निरूपित करते हैं $Z_i$ )।

इस बिंदु पर, बस ध्यान दें $S^2/\bar X^2$ स्पष्ट रूप से (औसत दर्जे का) फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है $X_i/Y$ और इसलिए स्वतंत्र है $\bar X = Y/n.$

— व्हीबर
स्रोत

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आप इसका मतलब साबित करना चाहते हैं $\bar{X}$ और यह $n$ rv.s $X_i/\bar{X}$ स्वतंत्र हैं, या समतुल्य हैं कि योग $U := \sum X_i$ और यह $n$ अनुपात $W_i := X_i / U$ स्वतंत्र हैं। हम यह मानकर कि थोड़ा और सामान्य परिणाम साबित कर सकते हैं $X_i$ संभवतः विभिन्न आकार हैं $\alpha_i$ , लेकिन उसी पैमाने पर $\beta>0$ जो माना जा सकता है $\beta = 1$ ।

के संयुक्त लाप्लास परिवर्तन पर विचार करें $U$ तथा $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$ अर्थात,

ψ (t, z) := E {\exp [- t U - z^{⊤} W} = E {\exp [- t \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} z_{i} \frac{X_{i}}{U}]}

$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$ यह एक के रूप में व्यक्त करता है

n

$n$ -डिमेटिक इंटीग्रल ओवर

(0, \infty)^{n}

$(0, \infty)^n$

Cst \int \exp [- (1 + t) (x_{1} + \dots + x_{n}) - \frac{z_{1} x_{1} + \dots + z_{n} x_{n}}{x_{1} + \dots + x_{n}}] x_{1}^{α_{1} - 1} \dots x_{n}^{α_{n} - 1} d x

$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$ जहां स्थिर के सापेक्ष है

x

$\mathbf{x}$ । अगर हम सेटिंग द्वारा इंटीग्रल साइन के तहत नए वेरिएबल को पेश करते हैं

y := (1 + t) x

$\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$ , हम आसानी से देखते हैं कि अभिन्न को दो कार्यों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, एक पर निर्भर करता है

t

$t$ वेक्टर के आधार पर अन्य

z

$\mathbf{z}$ । इससे यह साबित होता है

U

$U$ तथा

W

$\mathbf{W}$ स्वतंत्र हैं।

अस्वीकरण । यह प्रश्न अनुपात-योग स्वतंत्रता पर लुकास की प्रमेय से संबंधित है , इसलिए यूजीन लुकास द्वारा गामा वितरण की एक विशेषता के लेख के लिए । मैंने इस लेख के प्रासंगिक भाग (अर्थात पृष्ठ ३२४) को यहां निकाला, जिसमें कुछ बदलावों को देखा गया है। मैंने लैपल के रूपांतरण की विशेषता फ़ंक्शन के उपयोग को भी जटिल संख्याओं वाले चर से बचने के लिए बदल दिया।

— यवेस
स्रोत

1

(+1) गामा वितरण के लक्षण वर्णन पर कागज के लिए।

— स्टबबोर्नटॉम

1

चलो $U=\sum_i X_i$ । ध्यान दें कि $(X_i /U)_i$ की सांख्यिकीय संख्या है $\beta$ , यानी इसका वितरण निर्भर नहीं करता है $\beta$ ।

जबसे $U$ की एक पूरी पर्याप्त संख्या है $\beta$ , यह स्वतंत्र है $(X_i /U)_i$ बसु के प्रमेय द्वारा, इसलिए निष्कर्ष इस प्रकार है।

मैं सहायक सांख्यिकीय के निर्माण के बारे में सुनिश्चित नहीं हूं, क्योंकि यह केवल स्वतंत्र है $\beta$ , नहीं $\alpha$ ।

— bellcircle
स्रोत

अच्छा। प्रमेय के साथ लागू किया जा सकता है

α

$\alpha$ एक-पैरामीटर सांख्यिकीय मॉडल पर विचार करते हुए इसे निश्चित माना जाता है।

— यवेस