क्या हम अशक्त परिकल्पना के बजाय नमूने के माध्यम से उत्पन्न आत्मविश्वास अंतराल के साथ एक अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार कर सकते हैं?

Question

मुझे सिखाया गया है कि हम जनसंख्या से नमूना लेने के बाद एक विश्वास अंतराल के रूप में एक पैरामीटर अनुमान का उत्पादन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, ९ ५% आत्मविश्वास अंतराल, बिना किसी उल्लंघन के मान्यताओं के साथ, ९ ५% सफलता दर होनी चाहिए जिसमें जो भी सही पैरामीटर हम अनुमान लगा रहे हैं वह आबादी में है।

अर्थात,

1. एक नमूना से एक बिंदु अनुमान का उत्पादन करें।
2. उन मूल्यों की एक श्रृंखला का निर्माण करें, जो सैद्धांतिक रूप से सही मान रखने की 95% संभावना है जिसे हम अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं।

हालाँकि, जब विषय परिकल्पना परीक्षण के लिए बदल गया है, तो चरणों को निम्नलिखित के रूप में वर्णित किया गया था:

1. शून्य परिकल्पना के रूप में कुछ पैरामीटर मान लें।
2. इस अशक्त परिकल्पना को सत्य मानकर विभिन्न बिंदु अनुमान प्राप्त करने की संभावना के वितरण की संभावना पैदा करें।
3. अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करें यदि बिंदु अनुमान हमें प्राप्त होता है, तो यह समय 5% से कम उत्पादन होगा यदि अशक्त परिकल्पना सत्य है।

मेरा सवाल यह है:

क्या शून्य को अस्वीकार करने के लिए अशक्त परिकल्पना का उपयोग करते हुए हमारे विश्वास अंतराल का उत्पादन करना आवश्यक है? केवल पहली प्रक्रिया क्यों न करें और सच्चे पैरामीटर के लिए हमारा अनुमान प्राप्त करें (विश्वास अंतराल की गणना में हमारे परिकल्पित मूल्य का स्पष्ट रूप से उपयोग नहीं करते हैं) तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना अगर यह इस अंतराल के भीतर नहीं आता है?

यह तार्किक रूप से मेरे लिए सहज रूप से समतुल्य लगता है, लेकिन मुझे डर है कि मैं कुछ मौलिक याद कर रहा हूं क्योंकि शायद एक कारण है जो इस तरह से सिखाया जाता है।

Comments

अस्पष्ट होने के लिए मेरी क्षमा याचना, मार्टिज़न। मैं जल्द ही अपनी पोस्ट को संपादित करूंगा ताकि भविष्य में समान प्रश्नों को देखने वाले लोगों के लिए यह स्पष्ट हो। मेरा मतलब है कि हम एक नमूने से एक पैरामीटर अनुमान की गणना कर सकते हैं, या हम अनुमानों की एक श्रृंखला की गणना कर सकते हैं कि हम अशक्त परिकल्पना का उपयोग करते हुए अशक्त परिकल्पना का समर्थन करेंगे । मुझे समझ नहीं आया कि यह देखने के लिए कि यह बिंदु अंतराल में था या नहीं, यह देखने के लिए कि हमारा पैरामीटर अनुमान का उपयोग कर रहा है या नहीं, यह देखने के लिए कि क्या पैरामीटर पैरामीटर अनुमान की सीमा के भीतर है। मुझे उम्मीद है कि इसका कोई अर्थ है!

— निकली

एक दिलचस्प विचार प्रयोग है अगर कोई आपको वजन वाले पासे बेचने की कोशिश करता है। वे उन्हें रोल करते हैं, फिर बताते हैं कि वे आपके द्वारा निरीक्षण की गई दिशा में भारित हैं (उदाहरण के लिए 6 समय का 20% आता है)। क्या उन्हें भारित किया गया (क्या पर्याप्त नमूना फेंक दिया गया था), कितना, और क्या यह आपके खुद के (अतिरिक्त) फेंकने वाले परीक्षणों को करने के लिए लायक है? विक्रेता और खरीदार के अलग-अलग लक्ष्य हैं ...

— फिलिप ओकले

Answer 1

एक साधारण समस्या, उदाहरण के रूप में, ज्ञात प्रसरण के साथ एक सामान्य आबादी के माध्यम के लिए परीक्षण द्वारा दी गई है $\sigma^2=1$। फिर, एक धुरी - एक मात्रा जिसका वितरण पैरामीटर पर निर्भर नहीं करता है, द्वारा दिया जाता है$\bar{Y}-\mu\sim N(0,1/n)$। महत्वपूर्ण मूल्य$z_{\alpha/2}$ संतुष्ट, इस सममित मामले में, $\Phi(-z_{\alpha/2})=\alpha/2$ तथा $\Phi(z_{\alpha/2})=1-\alpha/2$।

इसलिये,

$$\begin{eqnarray*} 1-\alpha&=&\Pr\{(\bar{X}-\mu)/(1/\sqrt{n})\in(-z_{\alpha/2},z_{\alpha/2})\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}\leqslant(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}\leqslant z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{z_{\alpha/2}\geqslant(\mu-\bar{X})\sqrt{n}\geqslant -z_{\alpha/2}\}\\ &=&\Pr\{-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu-\bar{X}\leqslant z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\leqslant\mu\leqslant \bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n}\}\\ &=&\Pr\{(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})\ni\mu\} \end{eqnarray*}$$ ताकि स्तर के एक विश्वास अंतराल है । $$(\bar{X}-z_{\alpha/2}/\sqrt{n},\bar{X}+z_{\alpha/2}/\sqrt{n})$$ $1-\alpha$

इसी समय, प्रदर्शन की पहली पंक्ति में घटना भी ठीक ऐसी घटना है कि इस लिए अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार नहीं किया गया है । चूंकि बाकी में केवल समान सुधार होते हैं, इसलिए ci में वास्तव में all , जिसके लिए नल अस्वीकार नहीं किया जाता है, और "null के तहत" किसी भी संदर्भ की आवश्यकता नहीं है।$\mu$$\mu$

यहां मार्टिज्न के +1 विज़ुअलाइज़ेशन के अनुरूप एक प्लॉट दिखाया गया है, जो यह दिखाने के लिए है कि आत्मविश्वास अंतराल और परीक्षणों के बीच द्वंद्व के रूप में क्या जाना जाता है। कुछ और से संबंधित विश्वास अंतराल को कुछ परिकल्पना से संबंधित स्वीकृति क्षेत्र ।$C$$\bar{x}^*$$A(\mu_0)$$\mu=\mu_0$

Answer 2

हाँ, आप एक परिकल्पना परीक्षण (परीक्षण परिणामों के एक काल्पनिक वितरण के साथ नमूना की तुलना) नमूना से गणना की गई आत्मविश्वास अंतराल की तुलना कर सकते हैं। लेकिन परोक्ष रूप से एक विश्वास अंतराल पहले से ही एक तरह की परिकल्पना परीक्षण है, अर्थात्:

• आप मानों की एक सीमा के रूप में निर्मित होने के रूप में विश्वास अंतराल देख सकते हैं $\alpha$स्तर की परिकल्पना परीक्षण सफल होगा और सीमा के बाहर ए$\alpha$ स्तर परिकल्पना परीक्षण विफल हो जाएगा।

इस तरह की सीमा बनाने का परिणाम यह है कि सीमा केवल एक अंश को विफल करती है $\alpha$ समय की।

उदाहरण

मैं नीचे दिए गए प्रश्न के उत्तर से एक छवि का उपयोग कर रहा हूं: आत्मविश्वास अंतराल: औपचारिक रूप से कैसे निपटें$P(L(\textbf{X}) \leq \theta, U(\textbf{X})\geq\theta) = 1-\alpha$

यह क्लॉपर-पीयरसन के एक ग्राफ का रूपांतर है । 100 बर्नौली परीक्षणों के मामले की कल्पना करें जहां सफलता की संभावना है$\theta$ और हम सफलताओं की कुल संख्या का निरीक्षण करते हैं $X$।

ध्यान दें कि:

• ऊर्ध्वाधर दिशा में आप परिकल्पना परीक्षण देखते हैं। जैसे किसी दिए गए परिकल्पित मूल्य के लिए$\theta$ यदि आप मापा परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं $X$ लाल या हरे रंग की बिंदीदार रेखाओं के ऊपर या नीचे होता है।

• क्षैतिज दिशा में आप क्लॉपर-पियर्सन आत्मविश्वास अंतराल देखते हैं। यदि किसी दिए गए अवलोकन एक्स के लिए आप इन आत्मविश्वास अंतरालों का उपयोग करते हैं तो आप केवल 5% समय गलत होंगे

  (क्योंकि आप केवल ऐसे एक्स का निरीक्षण करेंगे, जिस पर आप एक 'गलत' अंतराल, 5% समय)